基于极小极大风险函数的投资问题研究

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3.0 陈辉 2024-11-19 6 4 1.99MB 61 页 15积分

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摘　要

诺贝尔经济学奖获得者Markowitz的一篇“投资组合的选择”论文开创了现代

投资组合理论的先河．经过50余年的发展，投资组合理论已取得了诸多标志性的成

果．然而，随着投资环境的复杂化和技术的不断进步，新模型的建立与求解仍是该

领域的重中之重．

本文所讨论的极小极大模型是一种新的投资组合选择模型，是在多种风险并存

的情况下，控制最大风险，在此基础上寻求市场投资组合的最大收益率．用多期的

极小极大函数来描述风险，更加真实地刻画了广大投资者避险大于趋利的投资理念

当然，极小极大优化问题是一种典型的非光滑优化问题，无法直接应用传统的

约束优化方法进行求解．但是，极小极大模型具有很好的优化性质与经济意义，本

文便是研究这一模型的均衡关系与数值解法．第一种方法是运用非光滑优化理论求

解极小极大问题，并结合风险收益率的概念讨论该模型的均衡关系；第二种是运用

函数的光滑化方法将不可微问题转化为可微问题，简化该模型，进而给出可行算法

进行求解．

关键词：投资组合风险函数极小极大问题非光滑优化均衡关系

光滑化

ABSTRACT

The modern portfolio theory is initiated from a paper by Markowitz, the winner of

Nobel Prize for Economics．After more than 50 years of development, portfolio theory

h a s m a d e a n u m b e r o f l a n d m a r k r e s u l t s．H o w e v e r , w i t h t h e c o m p l i c a t i o n o f

investment environment and continuous advancement of technology, the new model and

its solution is still the top priority in this area．

The minimax model discussed in this article is a new portfolio selection model that

is to seek the maximum return of portfolio on the basis of controling the greatest risk

when a variety of risk situations coexist．The risk function described with multi-stage

minmax function portrays the investor’s philosophy that avoiding risk is greater than

pursuiting the interest more realistically．

Of course,the minimax optimization problem is a typical non-smooth optimization

p r o b l e m s o t h a t t h e t r a d i t i o n a l c o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o n m e t h o d c a n n o t b e d i r e c t l y

applied for solving this problem．H o w e v e r , t h e m i n i m a x m o d e l h a s a g o o d

optimization nature and economic significance, so this paper is to reserch the equilibrium

relation and numerical solution of of this model．The first method is to use the non-

s m o o t h o p t i m i z a t i o n t h e o r y f o r s o l v i n g m i n i m a x p r o b l e m s , a n d t o d i s c u s s t h e

equilibrium relation combined with the concept of return of risk; the second is that

transform the nondifferentiable problem into the differentiable problem to simplify the

m o d e l b y a s m o o t h i n g m e t h o d , f u r t h e r p r o v i d e a f e a s i b l e a l g o r i t h m t o s o l v e

it．

K e y W o r d s : P o r t f o l i o S e l e c t i o n , R i s k F u n c t i o n , M i n i m a x P r o b l e m s ,

Nonsmoothing optimization, Equilibrium relation, Smoothing

目  录
中文摘要
ABSTRACT
第一章 绪论........................................................1
§1．1 引言......................................................1
§1．2 国内外研究状况及其发展趋势................................2
§1．3 本文主要研究工作与取得的成果..............................5
§1．3．1 本文主要研究工作.....................................5
§1．3．2 本文主要的研究成果...................................6
§1．4 本文的结构安排............................................6
第二章 现代投资组合理论的主要模型..................................9
§2．1 Markowitz模型——风险函数的演变...........................9
§2．1．1 Markowitz模型........................................9
§2．1．2 风险函数的演变......................................11
§2．2 简化投资组合模型.........................................13
§2．2．1单指数模型...........................................13
§2．2．2 多指数模型..........................................20
§2．2．3 资本资产定价模型....................................21
§2．3 本章小节.................................................22
第三章 非光滑优化基础.............................................23
§3．1 凸函数及其相关性质.......................................23
§3．2 凸函数的次微分定义.......................................24
§3．3 次微分下凸函数的极值条件.................................25
§3．4 极大值函数的次微分.......................................25
§3．5 本章小节.................................................27
第四章基于非光滑优化的极小极大投资组合模型研究....................29
§4．1 模型的构建...............................................29
§4．1．1 极大风险函数的建立..................................29
§4．1．2 模型的建立..........................................30
§4．2 风险-收益的均衡关系......................................31
§4．2．1 风险收益率的定义....................................31
§4．2．2模型均衡关系的求解...................................32
§4．3 实证分析.................................................35
§4．4 本章小节.................................................38
第五章基于光滑化方法的极小极大投资组合模型研究....................39
§5．1 模型的构建...............................................39
§5．2 光滑化方法...............................................40
§5．2．1 光滑化方法引例......................................40
§5．2．2 极小极大模型的光滑化................................41
§5．2．3 误差分析............................................44

§5．3 算法.....................................................45
§5．3．1 算法的基本概念......................................46
§5．3．2 改进的梯度投影算法..................................48
§5．4 实证分析.................................................49
§5．5 本章小结.................................................50
第六章 结束语.....................................................53
§6．1 成果评价.................................................53
§6．2 进一步研究方向...........................................53
参 考 文 献.......................................................55

参考文献

第一章绪论

§1．1 引言

华尔街上赫赫有名的投行雷曼兄弟控股在经历了百余年的风霜洗礼后，在

美国金融风暴愈演愈烈之时申请破产保护；不仅如此，美国华盛顿互助银行等九

十多家银行相继倒闭；韩国双龙、通用汽车、克莱斯勒等大公司也都无一幸免，

濒临破产重组．这次大规模的金融风暴对全球金融市场的影响是长远深刻并耐人

深思的．这不得不让所有投资者、投资机构认识到：投资风险无处不在．

投资学研究的核心问题就是在不确定的情况下，如何对资产进行有效的配

置和优化，这种不确定性在投资理论中便集中表现为对风险的度量，并可将其分

为定性描述和定量分析．定性分析，是人们认识事物的一种理念、一种方式，早

在古希腊时代就得到了很好的应用与发展．亚里士多德，便是其中的典型代表．

抛开唯心、唯物的思想争论，他给予了许多自然现象以形象的概括与生动的总

结，但在其洋洋洒洒的文章中全都是描述性质的，未曾出现过一个公式．在如今

的数学界与金融界中，为一种未探知事物定义是一件具有卓越贡献的事，是难能

可贵的．随着投资环境复杂性的日益提升及投资研究的深入，对风险的定性分析

已经不能充分满足投资者精益求精的投资理念，投资者无法满足于这种浮于事物

表面或是深藏于内的描述，而更加需要的是对事物细致入微的刻画，以准确判断

未来的发展趋势，定量分析正是对社会现象的数量特征、关系与数量变化的分析

与归纳．定量分析具有丰富的度量方式与手段和强大的计算与处理数据能力，其

强大的优势相对于定性分析的确很明显，因为它把事物定义在了人类能理解的范

围内，故而愈发为广大投资者所接受．

数学大师David Hilbert 有句经典的名言：“凡遵从科学思维者，当其准备发

展一门理论时，即进入公理化研究的范畴，就能够进行数学的处理和讨论．”对

于投资组合的探讨，无论是模型的建立，还是理论的完善，又或是算法的改良…

…都是在进行着数学范畴的研究，因此数学是定量分析的主体与灵魂．

本文所讨论的极小极大模型是一种新的投资组合选择模型，是在多种风险并

存的情况下，控制最大风险，在此基础上寻求市场投资组合的最大收益率．用数

学上的极小、极大函数来建立该模型，更加真实地刻画了广大投资者渴望控制风

险的初衷．当然，极小极大优化问题是一种典型的不可微优化问题，若直接应用

光滑优化的方法是不可能求解的，但极小极大函数模型具有很好的优化性质，本

基于极小极大风险函数的投资问题研究

文便是研究这一模型的数值解法．第一种是运用非光滑优化理论求解极小极大问

题，并结合资产定价模型讨论模型的风险；第二种是运用函数的光滑化方法将不

可微问题转化为可微问题，简化该模型，进而给出可行算法进行求解．

§1．2 国内外研究状况及其发展趋势

证券投资组合是对最佳风险管理的定量分析，其基本思想是通过资本的化整

为零来对冲掉一部分非系统风险，因此是分散投资风险的有效途径．无论单位、

家庭或是公司，还是其他组织，都涉及其中．为了寻求最优方案，需要在扩大收

益与控制风险之间进行权衡，这种取舍、规划的过程，即投资组合管理．现代证

券组合理论发展至今，取得了骄人的成果，它出人意料地迅速为广大投资者和研

究机构所接受，并且建立了根深蒂固的地位．

现代证券投资组合理论开始于1952年Harry Markowitz[1]的均值-方差理论，一

篇题为“投资组合选择”的论文开启了现代投资理论的先河．作者本人也因此获

得了1990年度的诺贝尔经济学奖，这是金融投资界的首次获奖，在理论界被称为

20世纪发生在华尔街的第一次金融革命．文中阐述了如何利用投资组合来构造更

多不同收益水平与风险水平的投资品种，从而在可接受的风险水平下选择最大预

期收益率的投资方式．这不仅是一篇重要的学术文献，其内在的经济价值也迅速

被不同类别的投资者与研究人员所发现，因此，该论文引发了一系列的对现代证

券组合的分析工作，研究成果层出不穷．后来的资本资产定价模型（CAPM）也

是基于均值-方差模型的．1958年，Tobin[2]于给出了均值一方差理论所需依据的

投资者效用函数和资产收益分布的必要条件，即认为资产配置中，投资组合选择

过程与资金筹集过程是相互独立的，投资者决定是否借入或贷出资金完全取决于

其对风险的偏好程度．1959年，Markowitz[3]在计量收益-风险方面的研究（均值-

方差分析和双参数分析）又进一步丰富了现代投资组合理论，为投资决策过程提

供了定量分析的基础．

随后，在Markowitz所做的基础上，进行了许多延续性的研究，同时，针对

模型所固有的局限性方面，也提出了许多创新性与批判性并存的新观点．首先，

该模型所要求的计算技术很复杂，尤其是在当时的计算条件下，难度就更加巨

大；另外，该模型存在期望收益率满足正态分布的假设，这在实践中有较大局限

性；并且，模型并没有考虑投资者心态方面的因素．

现代投资理论的研究大致分为三个方向：

1. 在Markowitz的均值-方差模型基础上，改进风险度量标准和创立新的投资准

则，以适应来更加不确定的大规模投资组合选择问题，当然也包括为解决该

问题所要运用的方法与算法，这也是本文的主要研究方向．

参考文献

1963年，由Markowitz的学生Sharpe[4]给出了一种简化投资组合模型，即单因

素（指数）模型．该文认为证券的投资收益率与所选指数线性相关，如市场收益

率、公司财务状况等．因此，其预期收益率可写成指数的线性组合形式，其系数

可由线性回归方法得出．这在理论上是对之前所做工作的突破，也是一种简化，

让投资组合的过程更加实用与经济．1964年，Linter和Sharpe[5]提出了著名的资本

资产定价模型(CAPM)．该模型是用（即用方差衡量风险）风险函数构建的，

并将资产的风险分为两部分，一部分是资产自身的特有风险，另一部分是与市场

整体相联系的系统风险．该理论指出了分散投资对降低非系统性风险具有重要意

义．

Ross(1976)[6]与Roll[1977][7]开始了多因素模型的检验工作，在因素分析中，

发现将5个宏观因素集合起来所构成的宏观因素模型最为显著地反映了收益率变

化的模式．当然，并不是因素越多，越能更好地反映量投资过程，在增加到6个

因素后它的反映程度略有增强，但相对不为明显．Chan等(1999)[8]购买并持有方

差最小的投资足组合若干时间，采用样本协方差矩阵和因素模型预测协方差矩

阵，得到了不同的收益率序列．之后，他们进行了经济意义的比较，发现进一步

增加因素，改善的效果并不明显．

风险的度量越来越收到投资界的追崇，因为它一直以来都是投资组合理论最

核心的问题，不同的风险水平会导致投资者做出不同的投资决策．

以方差度量风险是投资理论诞生之时便产生的，但它也有其明显的缺点——

高于预期收益的情况是投资者所希望看到的，但却被作为风险被排除．考虑到这

一点Markowitz(1959)[3]和Mao(1970)[9]等讨论的半方差模型便显得更为恰当

了．Konno和Yamazaki（1991）[10]提出了用绝对离差函数度量投资组合的风险，

并给出了一个线性规划模型，被称为MAD模型．文中证明当假设资产的收益率

呈正态分布时，绝对离差与方差这两种度量间只相差一个常数．Young(1998)[11]

以投资组合收益的最校顺序统计量作为度量风险的函数，利用极大极小规则建立

了相应的规划模型．Konno(1990)[12]提出了基于（即用标准差衡量风险）风险

函数的资产定价模型，这里假设风险函数是可微的；对于不可微的情形，则由

Konno和Shirakawa(1995)[13]给出．本文便是延续上述文献所做的工作，对给出新

的极小极大投资组合模型，并分别运用非光滑优化理论和光滑化方法进行优化分

析，并给出相应算法与实证分析．

2. 逐步放开Markowitz的均值-方差模型的假设条件，让模型更有效地反映投资

决策过程，如考虑有摩擦情况、允许卖空或是设置最小交易额等．

最初的Markowitz 模型是建立在一系列假设基础上的，其中主要包括完全竞

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摘要：

摘　要诺贝尔经济学奖获得者Markowitz的一篇“投资组合的选择”论文开创了现代投资组合理论的先河．经过50余年的发展，投资组合理论已取得了诸多标志性的成果．然而，随着投资环境的复杂化和技术的不断进步，新模型的建立与求解仍是该领域的重中之重．本文所讨论的极小极大模型是一种新的投资组合选择模型，是在多种风险并存的情况下，控制最大风险，在此基础上寻求市场投资组合的最大收益率．用多期的极小极大函数来描述风险，更加真实地刻画了广大投资者避险大于趋利的投资理念当然，极小极大优化问题是一种典型的非光滑优化问题，无法直接应用传统的约束优化方法进行求解．但是，极小极大模型具有很好的优化性质与经济意义，本文便...

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