以权分担公共值的亚纯函数的唯一性

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3.0 陈辉 2024-11-20 10 4 398.3KB 31 页 15积分

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摘要

涉及亚纯函数分担公共值的唯一性问题,最早起源于 Nevanlinna 的一些研究工

作.他所研究的 5IM 值定理和 4CM 值定理等,都是这一领域的经典结果.

近年来,国内外有多位学者对分担值问题进行了研究,比如仪洪勋,Frank G.,

Lahiri I.,Mues E.,张庆彩,李效敏等,都得到了大量的研究成果,是复分析领域的热点

问题.

本文主要用权分担公共值的方式研究亚纯函数的唯一性问题,全文共分为三章.

第一章,主要介绍了 Nevanlinna 基本理论中的常用记号,并叙述亚纯函数唯一性

理论中的一些基本概念、结果和相关问题.

第二章,主要研究了两个亚纯函数以权分担三个公共值的唯一性问题,证明了下

面的结论:

设

和

是两个不同的非常数亚纯函数,分担

(0,1)

(1, )

和

( , ) 

.如果存在一

个无穷线性测度的集合

,使得

1) 1)

1 1

( , ) ( , ) ( , )

limsup 1

( , )

r I

N r f N r m r

f g

T r f





  

那么

( )f z

和

( )g z

满足下列关系之一:

(i)

( 1 )

k s



  





( 1 )

k s





 





(ii)

( 1) 1







( 1) 1



 





(iii)

( 1)









( 1)





 





其中

和

是正整数,满足

1s k 

和

1k

互素,



是一个非常数整函数,并且有

1) 1)

1 1 1

( , ) ( , ) ( , ) (1 ) ( , ) ( , )

N r f N r m r T r f S r f

f g k

    



结论将仪洪勋和吕巍然得到的一个定理的条件:

和

以CM 分担

和



,减

弱为:

和

分担

(0,1)

(1, )

和

( , ) 

,但

和

满足的关系仍然成立.

在第三章中,主要研究了亚纯函数和它的

阶导数权分担两个公共值的唯一性

问题.

1986 年,Frank-Weissenborn 证明了:

设

是一个非常数亚纯函数.如果

和

( )k

CM 分担两个不同的有穷复数

和

,那么

( )k

f f

后来 Frank 猜想,如果将条件“

和

( )k

CM 分担

”减弱为“

和

( )k

IM 分担

”,

是否仍有

( )k

f f

的结论成立呢？李平给出了一个例子,证明 Frank 的猜想是不成立

的,即CM 分担的条件不能减弱为 IM 分担.在本文中我们用权分担的方法研究了这

个问题,得到了下面的结果:

设

( )f z

是一个非常数的亚纯函数,

为正整数,并且

( )f z

的极点重数

2 4k 

.如

果

( )f z

和

( ) ( )

f z

分担

( , )a

( ,1)b

,这里

和

( 0)b

是两个相互判别的有穷复数,那么

( )

( ) ( )

f z f z

关键词：亚纯函数权分担公共值唯一性

ABSTRACT

Uniqueness theory of meromorphic functions with weighted values originated in

some research of Nevanlinna. 5IM values theorems and 4CM values theorems, studied

by Nevanlinna, are classical results in this field.

In recent years, the research on uniqueness of meromorphic functions dealing with

shared values has been studied by many mathematicians, for instance, Yi H.X., Lahiri I.,

Zhang Q.C., Li X.M., Frank G., Mues E.. It’s a hot issue in Nevanlinna theory.

In this thesis, by using Nevanlinna theory, we give some results on uniqueness

theory of meromorphic functions with weighted sharing values.

In Chapter one, we introduce some samples in Nevanlinna theory and give

fundamental definitions, results and related problems.

In Chapter two, we give the following result which prove a result of two

meromorphic functions sharing three weighted values.

Let

and

be two different meromorphic functions sharing

(0,1)

(1, )

and

( , ) 

. If there exists a set

of infinite linear measure such that

1) 1)

1 1

( , ) ( , ) ( , )

limsup 1

( , )

r I

N r f N r m r

f g

T r f





  

then

and

satisfy one of the following relations:

(i)

( 1 )

k s



  





( 1 )

k s





 





(ii)

( 1) 1







( 1) 1



 





(iii)

( 1)









( 1)





 





where

and

are positive integers such that

1s k 

and

1k

are relatively

prime,



is a non-constant entire function, and

1) 1)

1 1 1

( , ) ( , ) ( , ) (1 ) ( , ) ( , )

N r f N r m r T r f S r f

f g k

    



The above result improve the condition of

and

sharing

and



CM,

given by Yi H.X. and Lü W.R..

In Chapter three, we give a result on meromorphic function sharing two weighted

values with its

-th derivative.

In 1986, Frank-Weissenborn proved the following result.

Let

be a non-constant meromorphic function,

and

be two distinct finite

values. If

and

( )k

share values

and

CM, then

( )k

f f

Frank asked the following problem. If we replace the condition “

is shared by

and

( )k

CM” in theorem 2 by “

is shared by

and

( )k

IM”, is it true that

( )k

f f

? Li P. gave an example which shows that the answer to the above problem is

negative.

In this thesis, by using the idea of weighted values, we did some research on this

problem and got the following result.

Let

be a non-constant meromorphic function,

is a positive integer and the

multiplicity of poles of

2 4k 

. If

and

( )k

share values

( , )a

and

( ,1)b

where

and

( 0)b

are two distinct finite values, then

( )k

f f

Key Word：

Meromorphic Functions, Weighted Sharing, Shared Values,

Unicity Theorem

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摘要：

摘要涉及亚纯函数分担公共值的唯一性问题,最早起源于Nevanlinna的一些研究工作.他所研究的5IM值定理和4CM值定理等,都是这一领域的经典结果.近年来,国内外有多位学者对分担值问题进行了研究,比如仪洪勋,FrankG.,LahiriI.,MuesE.,张庆彩,李效敏等,都得到了大量的研究成果,是复分析领域的热点问题.本文主要用权分担公共值的方式研究亚纯函数的唯一性问题,全文共分为三章.第一章,主要介绍了Nevanlinna基本理论中的常用记号,并叙述亚纯函数唯一性理论中的一些基本概念、结果和相关问题.第二章,主要研究了两个亚纯函数以权分担三个公共值的唯一性问题,证明了下面的结论:设f和g...

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