专练07（函数大题）（30题）2021高考数学考点必杀500题（上海专用）（解析版）

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3.0 周伟光 2024-11-07 23 4 1.38MB 41 页 5积分

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2021 高考考点必杀 500 题

专练 07（函数大题）（30 道）

1．（2021·上海静安区·高三一模）设，其中常数 .

（1）设，，求函数 ( )的反函数；

（2）求证：当且仅当时，函数为奇函数.

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【分析】

（1）设，得 .利用分离常数和对数函数的性质求得原函数的值域，得到反函数的

定义域；

（2）先证明若，，利用函数的奇偶性的定义为奇函数；接下来证明为奇函数，

必有 .可以根据奇函数的定义，利用特值法求得；也可以利用反证法;假设，利用特值法得

出矛盾；也可以根据奇函数的定义，进行恒等式的变形推导出 .

【详解】

解：（1）由已知，设，得 .

又，所以，函数 ( )单调递增.

因为 ,所以的值域 .

故，；

（2）证明：

i)函数的定义域为 .

若，，对于任意的，有

所以，是奇函数.

ii)方法 1：由是奇函数，有，解得 .

方法 2：若，则，，

(否则 )，不是奇函数.

方法 3：若为奇函数，则对于任意的，有

，即， .

即. .

【点睛】

本题考查反函数的求法和奇函数的判定与性质，涉及指数函数的性质和指数运算，属中等难度.关键是要注

意通过求原函数的值域确定反函数的定义域，再就是注意(2)中的证明的逻辑方向是双向的，证明为

奇函数，必有时可以使用多种方法，要灵活运用.

2．（2021·上海金山区·高三一模）已知定义域为的函数 .

（1）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；

（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）函数在上单调递减，证明见解析；（2）.

【分析】

（1）利用证明函数单调性的步骤，取值、作差、变形、等号、下结论即可证明在上的单调性；

（2）首先利用定义证明的奇偶性，再根据奇偶性和单调性脱掉，转化为关于的一元二次不等式

恒成立，分离转化为最值问题即可求解.

【详解】

（1）函数在上单调递减.

证明如下：任取，且，

，

因为，所以，，，

即，故函数在上单调递减.

（2）因为，

故为奇函数，

所以，

由（1）知，函数在上单调递减，

故，即对于任意恒成立，

所以，令，则，

因为，所以，

所以，

即实数的取值范围是 .

【点睛】

方法点睛：定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤

1.取值：任取，，规定，

2.作差：计算，

3.定号：确定的正负，

4.得出结论：根据同增异减得出结论.

3．（2021·长宁区·上海市延安中学高三期中）函数是定义在实数集上的奇函数，当时，

，

（1）求的解析式；

（2）若函数，求的值域.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1），则，由奇函数的性质即可求出；

（2）分别求出和时函数的最值，即可求出值域.

【详解】

（1）因为是定义在实数集上的奇函数，所以，

设，则，所以，

所以，

所以；

（2）当时，，

当且仅当时取等号，

当时，单调递增，此时，

所以的值域为 .

【点睛】

关键点睛：本题考查奇函数解析式的求解，考查分段函数的值域的求解，解题的关键是利用好奇函数的性

质，会判断函数的单调性.

4．（2021·上海高三专题练习）已知函数 .

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摘要：

2021高考考点必杀500题专练07（函数大题）（30道）1．（2021·上海静安区·高三一模）设，其中常数.（1）设，，求函数()的反函数；（2）求证：当且仅当时，函数为奇函数.【答案】（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）设，得.利用分离常数和对数函数的性质求得原函数的值域，得到反函数的定义域；（2）先证明若，，利用函数的奇偶性的定义为奇函数；接下来证明为奇函数，必有.可以根据奇函数的定义，利用特值法求得；也可以利用反证法;假设，利用特值法得出矛盾；也可以根据奇函数的定义，进行恒等式的变形推导出.【详解】解：（1）由已知，设，得.又，所以，函数()单调递增.因为,所以的值域.故，；（2...

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