专练07（函数大题）（30题）2021高考数学考点必杀500题（上海专用）（解析版）
VIP免费
2021 高考考点必杀 500 题
专练 07（函数大题）（30 道）
1．（2021·上海静安区·高三一模）设 ，其中常数 .
（1）设 ， ，求函数 ( )的反函数；
（2）求证：当且仅当 时，函数 为奇函数.
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）设 ，得 .利用分离常数和对数函数的性质求得原函数的值域，得到反函数的
定义域；
（2）先证明若 ， ，利用函数的奇偶性的定义为奇函数；接下来证明 为奇函数，
必有 .可以根据奇函数的定义，利用特值法求得 ；也可以利用反证法;假设 ，利用特值法得
出矛盾；也可以根据奇函数的定义 ，进行恒等式的变形推导出 .
【详解】
解：（1）由已知，设 ，得 .
又 ，所以，函数 ( )单调递增.
因为 ,所以 的值域 .
故 ， ；
（2）证明：
i)函数 的定义域为 .
若 ， ，对于任意的 ，有
.
所以， 是奇函数.
ii)方法 1：由 是奇函数，有 ，解得 .
方法 2：若 ，则 ， ，
(否则 )， 不是奇函数.
方法 3：若 为奇函数，则对于任意的 ，有
，即， .
即. .
【点睛】
本题考查反函数的求法和奇函数的判定与性质，涉及指数函数的性质和指数运算，属中等难度.关键是要注
意通过求原函数的值域确定反函数的定义域，再就是注意(2)中的证明的逻辑方向是双向的，证明 为
奇函数，必有 时可以使用多种方法，要灵活运用.
2．（2021·上海金山区·高三一模）已知定义域为 的函数 .
（1）试判断函数 在 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（2）若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）函数 在 上单调递减，证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用证明函数单调性的步骤，取值、作差、变形、等号、下结论即可证明 在 上的单调性；
（2）首先利用定义证明 的奇偶性，再根据奇偶性和单调性脱掉 ，转化为关于 的一元二次不等式
恒成立，分离 转化为最值问题即可求解.
【详解】
（1）函数 在 上单调递减.
证明如下：任取 ，且 ，
，
因为 ，所以 ， ， ，
即 ，故函数 在 上单调递减.
（2）因为 ，
故 为奇函数，
所以 ，
由（1）知，函数 在 上单调递减，
故 ，即 对于任意 恒成立，
所以 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即实数 的取值范围是 .
【点睛】
方法点睛：定义法判定函数 在区间 上的单调性的一般步骤
1.取值：任取 ， ，规定 ，
2.作差：计算 ，
3.定号：确定 的正负，
4.得出结论：根据同增异减得出结论.
3．（2021·长宁区·上海市延安中学高三期中）函数 是定义在实数集 上的奇函数，当 时，
，
（1）求 的解析式；
（2）若函数 ，求 的值域.
【答案】（1） ；（2）.
【分析】
（1） ，则 ，由奇函数的性质即可求出；
（2）分别求出 和 时函数的最值，即可求出值域.
【详解】
（1）因为 是定义在实数集 上的奇函数，所以 ，
设 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以 ；
（2）当 时， ，
当且仅当 时取等号，
当 时， 单调递增，此时 ，
所以 的值域为 .
【点睛】
关键点睛：本题考查奇函数解析式的求解，考查分段函数的值域的求解，解题的关键是利用好奇函数的性
质，会判断函数的单调性.
4．（2021·上海高三专题练习）已知函数 .
摘要：
展开>>
收起<<
2021高考考点必杀500题专练07（函数大题）（30道）1．（2021·上海静安区·高三一模）设，其中常数.（1）设，，求函数()的反函数；（2）求证：当且仅当时，函数为奇函数.【答案】（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）设，得.利用分离常数和对数函数的性质求得原函数的值域，得到反函数的定义域；（2）先证明若，，利用函数的奇偶性的定义为奇函数；接下来证明为奇函数，必有.可以根据奇函数的定义，利用特值法求得；也可以利用反证法;假设，利用特值法得出矛盾；也可以根据奇函数的定义，进行恒等式的变形推导出.【详解】解：（1）由已知，设，得.又，所以，函数()单调递增.因为,所以的值域.故，；（2...
相关推荐
作者：周伟光
分类：中小学教育资料
价格：5积分
属性：41 页
大小：1.38MB
格式：DOCX
时间：2024-11-07
