【沪教版数学9年级下】 专项练习-第5讲正多边形与圆（解析版）（沪教版）

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3.0 周伟光 2024-09-30 4 4 1.21MB 37 页 5积分
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第20 讲 正多边形与圆
1.正多边形
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
有n条边的正多边形（n是正整数，且 ）就称作正 n边形．
2.正n边形的对称性
正n边形是轴对称图形，对称轴的条数 = n．
当n为偶数时，正 n边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点．
3.正多边形的外接圆和内切圆
任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对
称轴的交点．
正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心．
知识一、直线与圆的位置关
系
正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距．
正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．
每一个中心角=
3600
n
=它的每一个外角
4.正多边形的性质
　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成 2ｎ个全等的直角三角形.
　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正 n边形的中心；当
边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
　　　　　　　　
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似
比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆
的外切正多边形.
5.正多边形的画法
（1）用量角器等分圆
　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等
分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正 n边形.
（2）用尺规等分圆
　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
　　　①正四、八边形。
　　
　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成 4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边
所对的弧(即作∠AOB 的平分线交 于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。
　　
② 正六、三、十二边形的作法。
　　
　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙ O中，任画一条直径 AB，分别以
A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于 C、D和E、F，则 A、C、E、B、F、D是⊙O的6
等分点。
　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12 等分……。
要点诠释：画正 n边形的方法：（1）将一个圆 n等份，（2）顺次连结各等分点.
【例 1】（1）正十边形有______条对称轴，它不仅是______对称图形，还是______对称图形，它的中
题型探究
心角是______°．
【答案】10；轴；中心；36．
【解析】正 n边形是轴对称图形，对称轴的条数 = n，如果 为偶数，则正 n边形也是中心对称图形，中
心角 ．
（2）正九边形的中心角等于____________________ ．
【答案】
【解析】
正九边形的中心角等于：
故答案为：40.
（3）一个正 n边形的中心角等于 18°，那么 n＝_____．
【答案】20
【解析】
∵正n边形的中心角为 18°，
18n=360∴，
n=20.∴
故答案为 20.
（4）如图， 分别为 的内接正方形、内接正三角形的边， 是圆内接正 边形的一边，则
的值为_______________________．
摘要：

第20讲正多边形与圆1.正多边形各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．有n条边的正多边形（n是正整数，且）就称作正n边形．2.正n边形的对称性正n边形是轴对称图形，对称轴的条数=n．当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点．3.正多边形的外接圆和内切圆任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交点．正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心．知识一、直线与圆的位置关系正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距．正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．...

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