【沪科版数学9年级上】 专项练习-专题08 比例线段重难点题型专训（6大题型）（解析版）

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3.0 周伟光 2024-09-30 4 4 2.7MB 51 页 5积分
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专题 08 比例线段重难点题型专训（6大题型）
【题型目录】
题型一 比例的性质
题型二 线段的比
题型三 成比例线段
题型四 由平行判断成比例的线段
题型五 由平行截线求相关线段的长或比值
题型六 黄金分割
【知识梳理】
知识点一、线段的比与成比例线段
线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）．
成比例线段
四条线段
a
b=c
d
、
a
b=c
d
、
a
b=c
d
、
a
b=c
d
中，如果
a
b=c
d
，那么这四条线段
d
、
d
、
d
、
d
叫做成比例
线段，简称比例线段．
知识点二、比例的性质
基本性质
合比的性质
a
b=c
d⇔a±b
b=c±d
d
等比性质
a
b=c
d=⋯= m
n=k
(
b+d+⋯+n≠0
)
⇔
a+c+⋯+m
b+d+⋯+n=k
知识点三、黄金分割
黄金分割
若线段 AB 上一点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 与 BC（AC>BC），如果
AC
AB =BC
AC
，这
时称点 C 是 AB 的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为
√
5−1
2≈0 . 618
．
知识点四、相似图形
相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形 (similar figures).
要点诠释：
(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两
个图形是全等；
相似多边形
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
知识点五、平行线分线段成比例定理
定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
图形：
l
3
l
4
l
1
l
2
l
5
C
E
F
D
B
A
几何语言：
∵l1∥l2∥l3，
∴
AB
BC =DE
EF
，
AB
AC =DE
DF
，
BC
AC =EF
DF
推论
平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
图形：
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
几何语言：
∵DE∥BC，∴
AD
DB =AE
EC
，
AD
AB =AE
AC
，
BD
AB =CE
AC
【经典例题一 比例的性质】
1．（2023 秋·全国·九年级专题练习）若 ，则下列运算不正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用设 法进行计算，即可解答．
【详解】解：∵ ，设 ，则 ，
A、 ，故选项正确，不符合题意；
B、 ，故选项错误，符合题意；
C、 ，故选项正确，不符合题意；
D、 ，故选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，解题关键是熟练掌握设 法．
2．（2023 秋·陕西西安·九年级校考开学考试）若 ，则 的值为（）
A．B．1 C．1.5 D．3
【答案】A
【分析】先用 b、d、f分别表示出 a、c、e，再代入要求的式子即可．
【详解】解： 由 ，
，
，
故选：A．
【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义．
3．（2023 秋·八年级课时练习）已知 （ ， ， 均不为 0），则式子 的值是．
【答案】1
【分析】设 ，则 ， ， ，然后把 ， ， 代入代数式中进行分式
的化简运算即可．
【详解】解：设 ，则 ， ， ，
所以 ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性
质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．
4．（2023 秋·全国·九年级专题练习）已知 ，则 的值为．
【答案】 /
【分析】先求出 ，再根据比例的性质即可得．
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．
5．（2023 秋·全国·九年级专题练习）已知 a，b，c为 的三边长，且 ， ．
(1)求线段 a，b，c的长；
(2)若线段 x是线段 a，b的比例中顶（即 ），求线段 x的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，则 ，再结合题意可列出关于 k的等式，解出 k的值，
即可求出线段 a，b，c的长；
（2）由题意可直接得出 ，解出 x的值（舍去负值）即可．
【详解】（1）由题意可设 ，则 ，
∵，
∴，
解得： ，
∴；
（2）∵ ，
∴，
整理，得： ，
解得： （舍去负值）．
【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设 k法”是解题关键．
【经典例题二 线段的比】
1．（2023 秋·全国·九年级专题练习）在比例尺为 的图纸上画出的某个零件的长是 ，这个零件的
实际长是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离列比例式即可解题.
【详解】解：设零件的实际长度为 x,由题可得：
1:20=32：x,
解得：x=640,
640mm=64cm,
故选 C.
【点睛】本题考查了比例尺的实际应用,属于简单题,列比例式是解题关键.
2．（2023 秋·全国·九年级专题练习）四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图
1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有 角．小明发现可以将四巧板拼搭成如
图2的字形和 字形，那么 字形图中高与宽的比值 为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图 1与图 2的拼图结果先得出线段间的相等关系，求得 h与l，此题即可得解．
【详解】解：如图，图 1由一个长方形分割而成，且图中只有 角，
则根据题意可知：a∥b，
∴a＝b，
由图 2可知 c＝2a，
∴l＝a＋b＝2a，h＝a＋2a，
摘要：

专题08比例线段重难点题型专训（6大题型）【题型目录】题型一比例的性质题型二线段的比题型三成比例线段题型四由平行判断成比例的线段题型五由平行截线求相关线段的长或比值题型六黄金分割【知识梳理】知识点一、线段的比与成比例线段线段的比两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）．成比例线段四条线段ab=cd、ab=cd、ab=cd、ab=cd中，如果ab=cd，那么这四条线段d、d、d、d叫做成比例线段，简称比例线段．知识点二、比例的性质基本性质ab=cd⇔ad=bc合比的性质ab=cd⇔a±bb=c±dd等比性质ab=cd=⋯=mn=k(b+d+⋯+n≠0)⇔a+c+⋯+...

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