【沪教版数学9年级下】 习题试卷-第2讲垂径定理(解析版）（沪教版）

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3.0 周伟光 2024-09-30 4 4 1.29MB 47 页 5积分
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第17讲 垂径定理
1.垂径定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧．
2.相关结论
（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧．
（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦．
（3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．
（4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦．
（5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦．
知识梳理、垂径定理
总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组
关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立．
【例 1】下列命题中不正确的是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦； B．垂直平分弦的直线必经过圆心；
C．垂直与弦的直径垂直平分这条弦对应的弧； D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．
【例 2】如图，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为
图中的(　　)
A．M B．P C．Q D．R
【例 3】往水平放置的半径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度
，则水的最大深度为（ ）
A．B．C．D．
题型探究
【例 4】如图，已知 AB 是⊙O的直径，弦 CD 交AB 于点 E，∠CEA＝30°，OF CD⊥，垂足为点
F，DE＝5，OF＝1，那么 CD＝______．
【例 5】（1）如图，在圆 O中，AB 是弦，点 C是劣弧 AB 的中点，连接 OC，AB 平分 OC，连接
OA、OB，那么∠AOB＝_____度．
【答案】120
【解析】
解：连接 AC．
∵，
∴OC⊥AB，∠AOC＝∠BOC，
∵AB 平分 OC，
∴AB 是线段 OC 的垂直平分线，
∴AO＝AC，
∵OA＝OC，
∴OA＝OC＝AC，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°．
故答案为 120．
（2）如图，点 A、B、C在圆 O上，弦 AC 与半径 OB 互相平分，那么∠AOC 度数为_____度．
【答案】120．
【解析】
解：∵弦 AC 与半径 OB 互相平分，
OA=AB∴，
OA=OC∵，
OAB∴△是等边三角形，
AOB=60°∴∠ ，
AOC=120°∴∠ ，
故答案为 120．
【例 6】已知：如图，圆 O是等腰△ABC 的外接圆，AB＝AC，AB＝10，CD＝BC，tanD＝ ．求：
（1）线段 BC 的长；
（2）圆 O的半径．
【答案】（1）BC＝12；（2）圆 O的半径为 ．
【解析】
（1）过 A作AE⊥BC 于E，交⊙O于F，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
∴AE 过圆心 O，
∵CD＝BC，
∴BE＝CE＝CD，
在Rt△AED 中，
tan∵D＝ ＝ ＝ ，
∴＝ ，
设AE＝4x，BE＝3x，
在Rt△BE 中，
摘要：

第17讲垂径定理1.垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧．2.相关结论（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧．（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦．（3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．（4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦．（5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦．知识梳理、垂径定理总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦...

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