八年级数学【考点培优尖子生专用】（沪教版）-专题02一元二次方程的解法重难点专练（解析版）

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3.0 李佳 2024-10-12 4 4 2.41MB 84 页 15积分

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专题 02 一元二次方程的解法重难点专练

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2020·全国九年级单元测试）如图，在△ABC 中，AB⊥BE，BD⊥BC，DE＝BE，

设BE＝a，AB＝b，AE＝c，则以 AD 和AC 的长为根的一元二次方程是（　　）

A．x22﹣cx+b2＝0 B．x2﹣cx+b2＝0

C．x22﹣cx+b＝0 D．x2﹣cx+b＝0

【答案】A

【分析】

根据题意，先要表示出 AD、AC 的长，AD=AE-DE，然后利用等腰三角形的性质证出

DE=BE=CE，则 AC=AE+CE，求出 AD、AC 之后，根据韦达定理判断以它们的长为根

的一元二次方程．

【详解】

解：∵AB BE⊥，BD BC⊥，

ABE∴∠ ＝∠DBC＝90°，

在Rt ABE△中，a2+b2＝c2，

DE∵＝BE＝a，

EBD∴∠ ＝∠EDB，

EBD+ EBC∵∠ ∠ ＝90°，∠EDB+ C∠＝90°，

EBC∴∠ ＝∠C，

CE∴＝BE＝a，

AC∴＝AE+CE＝c+a，

AD+AC∵＝c a+c+a﹣＝2c，AD×AC＝（c a﹣）（c+a）＝c2a﹣2＝b2，

∴以AD 和AC 的长为根的一元二次方程可为 x22cx+b﹣2＝0．

故选：A．

【点睛】

本题考查勾股定理，等腰三角形的性质以及一元二次方程根与系数的关系，解题的关

键是利用数形结合的方法，先表示出线段长度再根据韦达定理判断原方程．

2．（2019·上海民办张江集团学校七年级期中）多项式

的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】

先将多项式 2x22﹣xy+5y2+12x24﹣y+51 分组配方，根据偶次方的非负性可得答案．

【详解】

2x22﹣xy+5y2+12x24﹣y+51

=x24﹣xy+4y2+12x24﹣y+36+x2+2xy+y2+15

=(x2﹣y)2+12(x2﹣y)+36+(x+y)2+15

=(x2﹣y+6)2+(x+y)2+15

(∵x2﹣y+6)2≥0，(x+y)2≥0，

(∴x2﹣y+6)2+(x+y)2+15≥15．

故选：C．

【点睛】

本题考查了配方法在多项式最值中的应用，熟练掌握配方法并灵活运用及恰当分组，

是解答本题的关键．

3．（2019·浙江杭州市·九年级二模）关于代数式，有以下几种说法，

①当时，则的值为-4.

②若值为 2，则 .

③若，则存在最小值且最小值为 0.

在上述说法中正确的是（　　）

A．① B．①② C．①③ D．①②③

【答案】C

【分析】

①将代入计算验证即可；②根据题意 =2，解得 a的值即可

作出判断；③若 a＞-2，则 a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答

案．

【详解】

解：①当时，

．

故①正确；

②若值为 2，

则，

a∴2+2a+1=2a+4，

a∴2=3，

∴．

故②错误；

③若a＞-2，则 a+2＞0，

∴=

= ≥0．

∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为 0．

故③正确．

综上，正确的有①③．

故选：C．

【点睛】

本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式

及运算法则是解题的关键．

二、解答题

4．（2021·全国九年级）已知、是关于的一元二次方程

的两实数根．

（1）若，求 n的值；

（2）已知等腰三角形的一边长为 7，若、恰好是△ 另外两边的长，

求这个三角形的周长．

【答案】（1）6；（2）17.

【分析】

（1）根据根与系数的关系得，，接着利用

，解得 ,根据判别式的意义 b2-4ac≥0 可得 n≥2，于是

可得 n的值；

（2）分类讨论：若 7为底，即时，根据判别式得到 n=2，方程化为

，解得，根据三角形三边的关系，n=2 舍去；若 7为腰，即

时，把 x=7 代入方程得 49-14(n+1)+n2+5=0，解得，当时，

=10，解得，则三角形的周长为 3+7+7=17；当时，由

根与系数的关系得 =22，解得，根据三角形的三边关系，

舍去．

【详解】

解：（1）由题意得：，

∴

解得：

∵、是关于的一元二次方程的两实数根，

∴得：

∴

（2）①当 7为底，即时，则，

即

解得

把n=2 代入方程得

∴

3+3∵＜7（舍去）

②当7为腰，，即时，将 x = 7 代入方程得 49-14(n+1)+n2+5=0，

解得

当时， =22，

解得，

∴三角形的周长为 3+7+7=17；

当时， =10，

解得

7+7∵＜15（舍去）

综上，三角形的周长为 17．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，根的判别式等知识．牢记“两根之

和等于，两根之积等于 ”是解题的关键．

5．（2020·山东中考真题）实际问题：

某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时

可以从 100 张面值分别为 1元、2元、3元、…、100 元的奖券中（面值为整数），一

次任意抽取 2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．

某顾客获得了一次抽取 5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金

额？

问题建模：

从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，

这个整数之和共有多少种不同的结果？

模型探究：

我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解

决问题的方法．

探究一：

（1）从 1，2，3这3个整数中任取 2个整数，这 2个整数之和共有多少种不同的结果？

表①

所取的 2个整数 1，2 1，3，2，3

2个整数之和 3 4 5

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摘要：

专题02一元二次方程的解法重难点专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2020·全国九年级单元测试）如图，在△ABC中，AB⊥BE，BD⊥BC，DE＝BE，设BE＝a，AB＝b，AE＝c，则以AD和AC的长为根的一元二次方程是（　　）A．x22﹣cx+b2＝0B．x2﹣cx+b2＝0C．x22﹣cx+b＝0D．x2﹣cx+b＝0【答案】A【分析】根据题意，先要表示出AD、AC的长，AD=AE-DE，然后利用等腰三角形的性质证出DE=BE=CE，则AC=AE+CE，求出AD、AC之后，根据韦达定理判断以...

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