八年级数学【考点培优尖子生专用】（沪教版）-专题02一元二次方程的解法重难点专练（解析版）

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3.0 李佳 2024-10-12 4 4 2.41MB 84 页 15积分
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专题 02 一元二次方程的解法重难点专练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2020·全国九年级单元测试）如图，在△ABC 中，AB⊥BE，BD⊥BC，DE＝BE，
设BE＝a，AB＝b，AE＝c，则以 AD 和AC 的长为根的一元二次方程是（　　）
A．x22﹣cx+b2＝0 B．x2﹣cx+b2＝0
C．x22﹣cx+b＝0 D．x2﹣cx+b＝0
【答案】A
【分析】
根据题意，先要表示出 AD、AC 的长，AD=AE-DE，然后利用等腰三角形的性质证出
DE=BE=CE，则 AC=AE+CE，求出 AD、AC 之后，根据韦达定理判断以它们的长为根
的一元二次方程．
【详解】
解：∵AB BE⊥，BD BC⊥，
ABE∴∠ ＝∠DBC＝90°，
在Rt ABE△中，a2+b2＝c2，
DE∵＝BE＝a，
EBD∴∠ ＝∠EDB，
EBD+ EBC∵∠ ∠ ＝90°，∠EDB+ C∠＝90°，
EBC∴∠ ＝∠C，
CE∴＝BE＝a，
AC∴＝AE+CE＝c+a，
AD+AC∵＝c a+c+a﹣＝2c，AD×AC＝（c a﹣）（c+a）＝c2a﹣2＝b2，
∴以AD 和AC 的长为根的一元二次方程可为 x22cx+b﹣2＝0．
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理，等腰三角形的性质以及一元二次方程根与系数的关系，解题的关
键是利用数形结合的方法，先表示出线段长度再根据韦达定理判断原方程．
2．（2019·上海民办张江集团学校七年级期中）多项式
的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先将多项式 2x22﹣xy+5y2+12x24﹣y+51 分组配方，根据偶次方的非负性可得答案．
【详解】
2x22﹣xy+5y2+12x24﹣y+51
=x24﹣xy+4y2+12x24﹣y+36+x2+2xy+y2+15
=(x2﹣y)2+12(x2﹣y)+36+(x+y)2+15
=(x2﹣y+6)2+(x+y)2+15
(∵x2﹣y+6)2≥0，(x+y)2≥0，
(∴x2﹣y+6)2+(x+y)2+15≥15．
故选：C．
【点睛】
本题考查了配方法在多项式最值中的应用，熟练掌握配方法并灵活运用及恰当分组，
是解答本题的关键．
3．（2019·浙江杭州市·九年级二模）关于代数式 ，有以下几种说法，
①当 时，则 的值为-4.
②若 值为 2，则 .
③若 ，则 存在最小值且最小值为 0.
在上述说法中正确的是（　　）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】
①将 代入 计算验证即可；②根据题意 =2，解得 a的值即可
作出判断；③若 a＞-2，则 a+2＞0，则对 配方，利用偶次方的非负性可得答
案．
【详解】
解：①当 时，
．
故①正确；
②若 值为 2，
则 ，
a∴2+2a+1=2a+4，
a∴2=3，
∴．
故②错误；
③若a＞-2，则 a+2＞0，
∴=
=
= ≥0．
∴若a＞-2，则 存在最小值且最小值为 0．
故③正确．
综上，正确的有①③．
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式
及运算法则是解题的关键．
二、解答题
4．（2021·全国九年级）已知 、 是关于 的一元二次方程
的两实数根．
（1）若 ，求 n的值；
（2）已知等腰三角形 的一边长为 7，若 、 恰好是△ 另外两边的长，
求这个三角形的周长．
【答案】（1）6；（2）17.
【分析】
（1）根据根与系数的关系得 ， ，接着利用
，解得 ,根据判别式的意义 b2-4ac≥0 可得 n≥2，于是
可得 n的值；
（2）分类讨论：若 7为底，即 时，根据判别式得到 n=2，方程化为
，解得 ，根据三角形三边的关系，n=2 舍去；若 7为腰，即
时，把 x=7 代入方程得 49-14(n+1)+n2+5=0，解得 ，当 时，
=10，解得 ，则三角形的周长为 3+7+7=17；当 时，由
根与系数的关系得 =22，解得 ，根据三角形的三边关系，
舍去．
【详解】
解：（1）由题意得： ，
∴
解得：
∵、 是关于 的一元二次方程 的两实数根，
∴得：
∴
（2）①当 7为底，即 时，则 ，
即
解得
把n=2 代入方程得
∴
3+3∵＜7（舍去）
②当7为腰，，即 时，将 x = 7 代入方程得 49-14(n+1)+n2+5=0，
解得
当 时， =22，
解得 ，
∴三角形的周长为 3+7+7=17；
当 时， =10，
解得
7+7∵＜15（舍去）
综上，三角形的周长为 17．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，根的判别式等知识．牢记“两根之
和等于 ，两根之积等于 ”是解题的关键．
5．（2020·山东中考真题）实际问题：
某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时
可以从 100 张面值分别为 1元、2元、3元、…、100 元的奖券中（面值为整数），一
次任意抽取 2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．
某顾客获得了一次抽取 5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金
额？
问题建模：
从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取 个整数，
这 个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解
决问题的方法．
探究一：
（1）从 1，2，3这3个整数中任取 2个整数，这 2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
所取的 2个整数 1，2 1，3，2，3
2个整数之和 3 4 5
如表①，所取的 2个整数之和可以为 3，4，5，也就是从 3到5的连续整数，其中最小
是3，最大是5，所以共有 3种不同的结果．
（2）从 1，2，3，4这4个整数中任取 2个整数，这 2个整数之和共有多少种不同的结
果？
表②
所取的 2个整数 1，2 1，3，1，4 2，3 2，4 3，4
2个整数之和 3 4 5 5 6 7
如表②，所取的 2个整数之和可以为 3，4，5，6，7，也就是从 3到7的连续整数，其
中最小是 3，最大是7，所以共有 5种不同的结果．
（3）从 1，2，3，4，5这5个整数中任取 2个整数，这 2个整数之和共有______种不
同的结果．
（4）从 1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取 2个整数，这 2个
整数之和共有______种不同的结果．
探究二：
（1）从 1，2，3，4这4个整数中任取 3个整数，这 3个整数之和共有______种不同的
结果．
（2）从 1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取 3个整数，这 3个
整数之和共有______种不同的结果．
探究三：
从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取 4个整数，这 4个整数
之和共有______种不同的结果．
归纳结论：
从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取 个整数，
这 个整数之和共有______种不同的结果．
问题解决：
从100 张面值分别为 1元、2元、3元、…、100 元的奖券中（面值为整数），一次任
意抽取 5张奖券，共有______种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1）从 1，2，3，…，36 这36 个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和
共有 204 种不同的结果？（写出解答过程）
（2）从 3，4，5，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取
个整数，这 个整数之和共有______种不同的结果．
【答案】探究一：（3） ；（4） （ ， 为整数）；探究二：（1）
（2） ；探究三： 归纳结论： （ 为整数，且 ， ＜
＜ ）；问题解决： ；拓展延伸：（1） 个或个；（2）
．
【分析】
探究一：
（3）根据（1）（2）的提示列表，可得答案；
（4）仔细观察（1）（2）（3）的结果，归纳出规律，从而可得答案；
探究二：
（1）仿探究一的方法列表可得答案；
（2）由前面的探究概括出规律即可得到答案；
探究三：
根据探究一，探究二，归纳出从 1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数
中任取 4个整数的和的结果数，
再根据上面探究归纳出从 1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取
个整数，这 个整数之和的结果数；
问题解决：
利用前面的探究计算出这 5张奖券和的最小值与最大值，从而可得答案；
拓展延伸：
（1）直接利用前面的探究规律，列方程求解即可，
（2）找到与问题等价的模型，直接利用规律得到答案．
【详解】
解：探究一：
（3）如下表：
取的
2个
整数
2个
整数
之和
所取的 2个整数之和可以为 3，4，5，6，7，8，9也就是从 3到9的连续整数，其中最
小是 3，最大是9，所以共有 7种不同的结果．
（4）从 1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取 2个整数，这 2个
整数之和的最小值是 3，和的最大值是 所以一共有 种．
探究二：
（1）从 1，2，3，4这4个整数中任取 3个整数，如下表：
取的 3个整数 1,2,3 1,2,4 1,3,4 2,3,4
3个整数之和 6 7 8 9
从1，2，3，4这4个整数中任取 3个整数，这 3个整数之和共有 4种，
（2）从 1，2，3，4，5这5个整数中任取 3个整数，
这3个整数之和的最小值是 6，和的最大值是 12,
所以从 1，2，3，4，5这5个整数中任取 3个整数，这 3个整数之和共有 7种，
从而从1，2，3，…， （ 为整数，且 ）这 个整数中任取 3个整数，
这3个整数之和的最小值是 6，和的最大值是
所以一共有 种，
探究三：
从1，2，3，4，5这5个整数中任取 4个整数， 这 4个整数之和最小是 最大是 ，
所以这 4个整数之和一共有 5种，
从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取 4个整数， 这 4个整数之和最小是 最大
是 ，
摘要：

专题02一元二次方程的解法重难点专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2020·全国九年级单元测试）如图，在△ABC中，AB⊥BE，BD⊥BC，DE＝BE，设BE＝a，AB＝b，AE＝c，则以AD和AC的长为根的一元二次方程是（　　）A．x22﹣cx+b2＝0B．x2﹣cx+b2＝0C．x22﹣cx+b＝0D．x2﹣cx+b＝0【答案】A【分析】根据题意，先要表示出AD、AC的长，AD=AE-DE，然后利用等腰三角形的性质证出DE=BE=CE，则AC=AE+CE，求出AD、AC之后，根据韦达定理判断以...

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