七年级数学下册（知识总结+练习）（沪教版）-第15讲全等三角形的九种模型（解析版）

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3.0 李佳 2024-10-14 6 4 416.12KB 23 页 15积分

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第 15 讲全等三角形的七种模型（核心考点讲与练）

题型一：一线三等角构造全等模型

一．解答题（共 2小题）

1．（2017 秋•浦东新区期中）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD 上的一点，AC⊥CE，A

B＝CD，求证：BC＝DE．

【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA 即可判定三角形全等．

【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）

∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）

∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）

∠ACE＝90°（已证）

∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性质）

∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形内角和等于 180°）

∠B＝90°（已证）

∴∠BCA+∠A＝90°（等式性质）

∴∠DCE＝∠A （同角的余角相等）

在△ABC 和△CDE 中，

，

∴△ABC≌△CDE（ASA）

∴BC＝DE．（全等三角形对应边相等）

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关

键．

2．（2013 秋•上海期中）如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD 上的一点，BC＝DE，AB＝CD．

求证：AC⊥CE．

【分析】根据垂直的定义得到∠ABC＝∠EDC＝90°，则可根据”SAS“判定△ABC≌△CDE，

根据三角形全等的性质得∠A＝∠DCE，利用∠ACB+∠A＝90°可得∠ACB+∠DCE＝90°，再

利用平角的定义计算出∠ACE＝90°，

然后根据垂直的定义即可得到结论．

【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，

∴∠ABC＝∠EDC＝90°，

在△ABC 和△CDE 中，

，

∴△ABC≌△CDE，

∴∠A＝∠DCE，

∵∠ACB+∠A＝90°，

∴∠ACB+∠DCE＝90°，

∴∠ACE＝90°，

∴AC⊥CE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质

证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

题型二：手拉手模型—旋转型全等

一．填空题（共 1小题）

1．（2021 秋•宝山区校级月考）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AB＝6，

∠DAC＝60°，点 F在线段 AO 上从点 A至点 O运动，连接 DF，以 DF 为边作等边三角形 DFE，

点E和点 A分别位于 DF 两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠

ECF；④点E运动的路程是 2，其中正确结论的序号为　 ①②③④ 　．

【分析】①根据∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD 为等边三角形，再由△DFE 为等边三

角形，得∠DOA＝∠DEF＝60°，再证明△DEG∽△FOG，即可得出结论①正确；

②如图，连接 OE，利用 SAS 证明△DAF≌△DOE，再证明△ODE≌△OCE，即可得出结论

②正确；

③通过等量代换即可得出结论③正确；

④如图，延长 OE 至E′，使 OE′＝OD，连接 DE′，通过△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，可分

析得出点 F在线段 AO 上从点 A至点 O运动时，点 E从点 O沿线段 OE′运动到 E′，从而得出结

论④正确；

【解答】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，

∴△OAD 为等边三角形，

∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，

∵△DFE 为等边三角形，

∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，

∴∠DOA＝∠DEF＝60°，

∵∠∠DGE＝∠FGO，

∴△DEG∽△FOG，

∴∠BDE＝∠EFC，

故结论①正确；

②如图，连接 OE，

在△DAF 和△DOE 中，

，

∴△DAF≌△DOE（SAS），

∴∠DOE＝∠DAF＝60°，

∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，

∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120° 60°﹣＝60°，

∴∠COE＝∠DOE，

在△ODE 和△OCE 中，

，

∴△ODE≌△OCE（SAS），

∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，

故结论②正确；

③∵∠ODE＝∠ADF，

∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，

故结论③正确；

④如图，延长 OE 至E′，使 OE′＝OD，连接 DE′，

∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，

∴点F在线段 AO 上从点 A至点 O运动时，点 E从点 O沿线段 OE′运动到 E′，

∵OE′＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝6•tan30°＝2，

∴点E运动的路程是 2 ，

故结论④正确；

故答案为：①②③④．

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摘要：

第15讲全等三角形的七种模型（核心考点讲与练）题型一：一线三等角构造全等模型一．解答题（共2小题）1．（2017秋•浦东新区期中）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）∠ACE＝90°（已证）∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性质）∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形内角和等于180°）∠B＝90°（已证）∴∠BCA...

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