七年级数学下册（知识总结+练习）（沪教版）-第15讲全等三角形的九种模型（解析版）

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3.0 李佳 2024-10-14 4 4 416.12KB 23 页 15积分
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第 15 讲全等三角形的七种模型（核心考点讲与练）
题型一：一线三等角构造全等模型
一．解答题（共 2小题）
1．（2017 秋•浦东新区期中）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD 上的一点，AC⊥CE，A
B＝CD，求证：BC＝DE．
【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA 即可判定三角形全等．
【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）
∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）
∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）
∠ACE＝90°（已证）
∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性质）
∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形内角和等于 180°）
∠B＝90°（已证）
∴∠BCA+∠A＝90°（等式性质）
∴∠DCE＝∠A （同角的余角相等）
在△ABC 和△CDE 中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）
∴BC＝DE．（全等三角形对应边相等）
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关
键．
2．（2013 秋•上海期中）如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD 上的一点，BC＝DE，AB＝CD．
求证：AC⊥CE．
【分析】根据垂直的定义得到∠ABC＝∠EDC＝90°，则可根据”SAS“判定△ABC≌△CDE，
根据三角形全等的性质得∠A＝∠DCE，利用∠ACB+∠A＝90°可得∠ACB+∠DCE＝90°，再
利用平角的定义计算出∠ACE＝90°，
然后根据垂直的定义即可得到结论．
【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC 和△CDE 中，
，
∴△ABC≌△CDE，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠ACB+∠A＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝90°，
∴AC⊥CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质
证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
题型二：手拉手模型—旋转型全等
一．填空题（共 1小题）
1．（2021 秋•宝山区校级月考）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AB＝6，
∠DAC＝60°，点 F在线段 AO 上从点 A至点 O运动，连接 DF，以 DF 为边作等边三角形 DFE，
点E和点 A分别位于 DF 两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠
ECF；④点E运动的路程是 2，其中正确结论的序号为 　 ①②③④ 　 ．
【分析】①根据∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD 为等边三角形，再由△DFE 为等边三
角形，得∠DOA＝∠DEF＝60°，再证明△DEG∽△FOG，即可得出结论①正确；
②如图，连接 OE，利用 SAS 证明△DAF≌△DOE，再证明△ODE≌△OCE，即可得出结论
②正确；
③通过等量代换即可得出结论③正确；
④如图，延长 OE 至E′，使 OE′＝OD，连接 DE′，通过△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，可分
析得出点 F在线段 AO 上从点 A至点 O运动时，点 E从点 O沿线段 OE′运动到 E′，从而得出结
论④正确；
【解答】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，
∴△OAD 为等边三角形，
∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，
∵△DFE 为等边三角形，
∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，
∴∠DOA＝∠DEF＝60°，
∵∠∠DGE＝∠FGO，
∴△DEG∽△FOG，
∴∠BDE＝∠EFC，
故结论①正确；
②如图，连接 OE，
在△DAF 和△DOE 中，
，
∴△DAF≌△DOE（SAS），
∴∠DOE＝∠DAF＝60°，
∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120° 60°﹣＝60°，
∴∠COE＝∠DOE，
在△ODE 和△OCE 中，
，
∴△ODE≌△OCE（SAS），
∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，
故结论②正确；
③∵∠ODE＝∠ADF，
∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，
故结论③正确；
④如图，延长 OE 至E′，使 OE′＝OD，连接 DE′，
∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，
∴点F在线段 AO 上从点 A至点 O运动时，点 E从点 O沿线段 OE′运动到 E′，
∵OE′＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝6•tan30°＝2，
∴点E运动的路程是 2 ，
故结论④正确；
故答案为：①②③④．
摘要：

第15讲全等三角形的七种模型（核心考点讲与练）题型一：一线三等角构造全等模型一．解答题（共2小题）1．（2017秋•浦东新区期中）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）∠ACE＝90°（已证）∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性质）∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形内角和等于180°）∠B＝90°（已证）∴∠BCA...

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