七年级数学下册（知识总结+练习）（沪教版）-第02讲 实数的运算（解析版）

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3.0 李佳 2024-10-14 6 4 587.35KB 27 页 15积分
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第 02 讲 实数的运算（核心考点讲与练）
一、用数轴上的点表示实数
1.实数的绝对值、相反数
（1）一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．实数 的绝对值记作
．
（2）绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零．非零实数 的相反数
是 ．
2、两个实数的大小比较
两个实数也可以比较大小，其大小顺序的规定同有理数一样．
负数小于零；零小于正数．
两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小．
从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大．
比较两数大小是中学数学中的基本类型和基本技能，以下介绍几种常用的方法：
1．近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法；
2．平方法：将两个数平方，再来判定两个数大小的方法；
3．求差法：先求两个数的差，用差与 0 作比较来判定两个数大小的方法．
4．求商法：先求两个数的商，用商与 1 作比较判定两个数大小的方法．
5．求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法．即对于符号相
同的 ， 两数，若 ，则 ；若 ，则 ．
3、数轴上两点之间的距离
在数轴上，如果点
A
、点
B
所对应的数分别为
a
、
b
，那么
A
、
B
两点之间的距离为 ．
实数的运算
在实数范围内，可以进行加减乘除乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围
内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，
最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．
实数运算常用到的公式有：
第一组： ； ；
第二组： ； ．
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日期：2022/1/26 19:17:24；用户：15921142042；邮箱：15921142042；学号：32447539
考点一：实数与数轴
【例题 1】（2021 春•奉贤区期中）已知实数 x、y满足（x2﹣）2+＝0．
（1）x＝　 2 　，y＝　﹣ 2 　 ；
（2）在数轴上，若点 A、点 B分别表示实数 x，y，
①在数轴上标出点 A、点 B的大致位置；
②数轴上，若点 C到点 B的距离为 1.5，则点 C所对应的实数为：　﹣ 0.5
或﹣ 3.5 　 ．
【分析】（1）根据若干个非负数的和为 0，则这些非负数均为 0，即可求得答案；
（2）①在数轴上描出点 A，B即可；
②根据数轴上两点之间的距离等于对应的两个实数差的绝对值，列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵（x2﹣）2+＝0，（x2﹣）2≥0， ≥0，
∴（x2﹣）2＝0， ＝0，
∴x＝2，y＝﹣2，
故答案为：2，﹣2；
（2）①点A、点 B的大致位置如图所示：
②设点 C对应的实数为 m，由题意得：
|m﹣（﹣2）|＝1.5，
解得：m＝﹣0.5 或﹣3.5；
故答案为：﹣0.5 或﹣3.5．
【点评】本题考查了数轴和数轴上的点与实数的关系，非负数的性质，算术平方根的性质，
数轴上两点之间的距离，绝对值方程等知识，解题关键是熟练掌握非负数的性质和数轴上两
点之间距离等相关知识．
【变式训练 1】（2021 春•青浦区期中）数轴上 A、B、C、D依次表示四个实数： 、 、
、0．
（1）在数轴上描出点 A、B、C、D的大致位置；
（2）求 AD 两点之间的距离．
【分析】（1）根据 A、B、C、D表示的数描出大致位置即可；
（2）AD 两点之间的距离即是 A、D表示的数的差之绝对值．
【解答】解：（1）数轴上描出点 A、B、C、D的大致位置如图：
（2）AD 两点之间的距离为：|0﹣（﹣ ）|＝ ．
【点评】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是根据各数的近似值描出其在数轴上的大
致位置．
【变式训练 2】．（2021 春•闵行区期末）点 A和点 B是数轴上的两点，点 A表示的数为 ，
点B表示的数为 1，那么 A、B两点间的距离为 　 ﹣ 1 　 ．
【分析】如图，根据数轴的上的点表示的数的意义，由 A表示的数为 ，点 B表示的数为 1，
得OA＝ ，OB＝1，那么 AB＝OA﹣OB＝ ．
【解答】解：如图，
∵A表示的数为 ，点 B表示的数为 1，
∴OA＝ ，OB＝1．
∴AB＝OA﹣OB＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查数轴的上的点表示的数的意义，熟练掌握数轴的上的点表示的数的意
义是解决本题的关键．
【变式训练 3】．（2019•宝山区校级自主招生）如图，数轴上从左到右依次有 A，B，C，D四
个点，它们对应的实数分别为 a，b，c，d，如果存在实数 λ，满足：对线段 AB 和CD 上的任
意一点，其对应的数为 x，实数 对应的点 N仍然在线段 AB 或CD 上，则称（a，b，c，d，
λ）为“完美数组”．例如：（1，2，3，6，6）就是一组“完美数组”，已知|AB|＝1，|BC|＝
5，|CD|＝4，求此时所有的“完美数组”，写出你的结论和推算过程．
【分析】设 A表示的数是 x，则 B表示 x+1，C表示 x+6，D表示 x+10，分三种情况讨论：①
x（x+10）＝（x+1）（x+6）；②x（x+6）＝（x+1）（x+10）；③x（x+1）＝（x+6）（x+
10）；
【解答】解：设 A表示的数是 x，则 B表示 x+1，C表示 x+6，D表示 x+10，
由“完美数组”的定义，可知有如下情况：
①x（x+10）＝（x+1）（x+6）；
∴x＝2，
“∴完美数组”是（2，3，8，12，24）；
摘要：

第02讲实数的运算（核心考点讲与练）一、用数轴上的点表示实数1.实数的绝对值、相反数（1）一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．实数的绝对值记作．（2）绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零．非零实数的相反数是．2、两个实数的大小比较两个实数也可以比较大小，其大小顺序的规定同有理数一样．负数小于零；零小于正数．两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小．从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大．比较两数大小是中学数学中的基本类型和基本技能，以下介绍几种常用的方法：1．近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法；...

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