专练03（填空题-压轴）（30题）2021高考数学考点必杀500题（上海专用）（解析版）
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2021 高考考点必杀 500 题
专练 09（填空题-压轴）（30 道）
1．（2021·上海市实验学校高三开学考试）已知 ､与､是4个不同的实数，若关于 的方程
的解集 不是无限集，则集合 中元素的个数构成的集合为________
___.
【答案】
【分析】
将该题转化为两个函数图像的交点问题，为了简化问题，特殊化成研究关于 的方程
，也即是函数 和 的图像的交点问
题.画出分段函数的图像，通过取特殊值可以判断出有 1个交点，而 0个交点和 2个交点都是不可能的，需
要用反证法去证明.设点 ， ， ， ，借助斜率公式、绝对值三角不等式以
及不等式的性质，导出矛盾，从而说明 0个交点和 2个交点是不可能的，最终得出集合 只能有 1个元素.
【详解】
转化为 和 图像交点，
为了简化问题，我们可以研究 ，
，
设 ， ，
设 ， ， ， ，
①由图像易知，1个交点容易得到，
如 时，可求得唯一一个交点为
而0个交点和 2个交点都是不可能的.
②假设有 0个交点，
由题意 ， ，
∴， ，
∴，
而由三角不等式， ，
故矛盾，∴不可能有 0个交点；
③假设有 2个交点，
， ，
∴， ，
∴，明显矛盾，
∴不可能有 2个交点.
其他 0个交点和 2个交点的情况均可化归为以上两类.
综上所述，解集 不是无限集时，集合 的元素个数只有 1个.
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是将方程的解的个数转化为两个函数图像的交点个数，其中两个分段函数可以用
特值法固定一个，再讨论另一个函数的情况.
2．（2021·上海市实验学校高三开学考试）对任意闭区间 ，用 表示函数 在 上的最大值，
若有且仅有一个正数 使得 成立，则实数 的取值范围是_________.
【答案】
【分析】
讨论 的范围得出 的表达式，求出 的值域即可.
【详解】
①当 时， ，
由 ，得 ，所以 ，
此时 ，即 ，则 ，即 ；
②当 时， ，
由 ，得 ，
此时 ，即 ；
③当 时， ，
由 ，得 ，所以 ，
此时 ，则 ，即 ；
④当 时， ，则 ，
由 ，得 不成立，此时 不存在；
⑤当 时， ，
由 ，得 ，所以 ，
此时 ，则 ，即 ；
⑥当 时， ，
由 ，得 ，
综上，由有且仅有一个正数 使得 成立，实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查三角函数最值的求解，解题的关键是分段讨论 的范围，根据 的不同取值范围得出 的表达式，
再利用三角函数的性质求解.
3．（2021·上海高三专题练习）函数 的图象绕着原点旋转弧度 ，
若得到的图象仍是函数图象，则 可取值的集合为_________.
【答案】
【分析】
先画出 的图象，在旋转过程依据函数的定义可得 可取值的集合.
【详解】
摘要：
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2021高考考点必杀500题专练09（填空题-压轴）（30道）1．（2021·上海市实验学校高三开学考试）已知､与､是4个不同的实数，若关于的方程的解集不是无限集，则集合中元素的个数构成的集合为___________.【答案】【分析】将该题转化为两个函数图像的交点问题，为了简化问题，特殊化成研究关于的方程，也即是函数和的图像的交点问题.画出分段函数的图像，通过取特殊值可以判断出有1个交点，而0个交点和2个交点都是不可能的，需要用反证法去证明.设点，，，，借助斜率公式、绝对值三角不等式以及不等式的性质，导出矛盾，从而说明0个交点和2个交点是不可能的，最终得出集合只能有1个元素.【详解】转化为和图...
作者：周伟光
分类：中小学教育资料
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