专练08（空间向量和立体几何大题）（30题）2021高考数学考点必杀500题（上海专用）（解析版）

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3.0 周伟光 2024-11-07 20 4 3.01MB 60 页 5积分
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2021 高考考点必杀 500 题
专练 08（空间向量和立体几何大题）（30 道）
1．（2021·上海黄浦区·高三一模）已知正方体 的棱长为 ，点 是侧面 的中心.
（1）连接 ，求三棱锥 的体积 的数值；
（2）求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
【答案】（1） ；（2）.
【分析】
（1）计算出 的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥 的体积；
（2）由 可得出异面直线 与 所成角为 ，然后在 中计算出
，利用反正切可得出所求角.
【详解】
（1） 正方体 的棱长为 ，点 是侧面 的中心，
，
平面 ， ；
（2）在正方体 中， ，
就是异面直线 与 所成的角（或补角），
平面 ， 平面 ，所以， .
，所以， ，即 .
所以，异面直线 与 所成的角的大小是 .
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题
化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异
面直线所成的角．
2．（2021·上海静安区·高三一模）如图所示，等腰梯形 是由正方形 和两个全等的 Rt△FCB
和Rt△EDA 组成， ， .现将 Rt△FCB 沿BC 所在的直线折起，点 移至点 ，使二面角
的大小为 .
（1）求四棱锥 的体积；
（2）求异面直线 与 所成角的大小.
【答案】（1） ；（2）.
【分析】
（1）先证明 ， ，利用线面垂直的判定定理证明 平面 ABCE 得到 就是四棱
锥 的高，可以求出四棱锥 的体积；
（2）取 的中点 ，连结 ､，得到 （或其补角）就是 与 所成角，利用余弦定
理求出求异面直线 与 所成角的大小.
【详解】
解：（1）由已知，有 所以
连结 ，由 ， ， 有 ①
由 有 所以， ②
由①②知，又 ，所以
所以 就是四棱锥 的高，
在Rt 中，
故
（2）取 的中点 ，连结 ､，
则 ，故 （或其补角）就是 与 所成角.
在 中， ， ，
则
故异面直线 与 所成角的大小为 .
【点睛】
（1）基本位置关系的证明用判定定理；
（2）求异面直线所成的角
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题
化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；
(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面
直线所成的角．
3．（2021·上海松江区·高三一模）如图 1在三棱柱 中，已知
，且 平面 ，过 三点作平面截此三棱柱，截得一个
三棱锥和一个四棱锥(如图 2).
（1）求异面直线 与 所成角的大小(结果用反三角函数表示)；
（2）求四棱锥 的体积和表面积.
【答案】（1） ；（2）.
【分析】
（1）利用棱柱的几何性质，结合异面直线所成角的定义进行求解即可；
（2）利用棱锥的体积公式、表面积公式进行求解即可.
【详解】
（1）∵ ∴ 即为异面直线 与 所成的角，
∵平面 ，∴ 平面 ，
∴，
∵，
∴ ∴ ，
即异面直线 与 所成的角为 .
（2）四棱锥 的体积为： ，
四棱锥 的表面积
4．（2021·上海金山区·高三一模）如图，在三棱锥 中， 底面 ， 是边长为 2
的正三角形，侧棱 与底面所成的角为 .
摘要：

2021高考考点必杀500题专练08（空间向量和立体几何大题）（30道）1．（2021·上海黄浦区·高三一模）已知正方体的棱长为，点是侧面的中心.（1）连接，求三棱锥的体积的数值；（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）计算出的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积；（2）由可得出异面直线与所成角为，然后在中计算出，利用反正切可得出所求角.【详解】（1）正方体的棱长为，点是侧面的中心，，平面，；（2）在正方体中，，就是异面直线与所成的角（或补角），平面，平面，所以，.，所以，，即.所以，异面直线与所成的角的大小是.【点睛】思路点睛：平...

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