专练08（空间向量和立体几何大题）（30题）2021高考数学考点必杀500题（上海专用）（解析版）

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3.0 周伟光 2024-11-07 23 4 3.01MB 60 页 5积分

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2021 高考考点必杀 500 题

专练 08（空间向量和立体几何大题）（30 道）

1．（2021·上海黄浦区·高三一模）已知正方体的棱长为，点是侧面的中心.

（1）连接，求三棱锥的体积的数值；

（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）计算出的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积；

（2）由可得出异面直线与所成角为，然后在中计算出

，利用反正切可得出所求角.

【详解】

（1）正方体的棱长为，点是侧面的中心，

，

平面，；

（2）在正方体中，，

就是异面直线与所成的角（或补角），

平面，平面，所以， .

，所以，，即 .

所以，异面直线与所成的角的大小是 .

【点睛】

思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题

化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异

面直线所成的角．

2．（2021·上海静安区·高三一模）如图所示，等腰梯形是由正方形和两个全等的 Rt△FCB

和Rt△EDA 组成，， .现将 Rt△FCB 沿BC 所在的直线折起，点移至点，使二面角

的大小为 .

（1）求四棱锥的体积；

（2）求异面直线与所成角的大小.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）先证明，，利用线面垂直的判定定理证明平面 ABCE 得到就是四棱

锥的高，可以求出四棱锥的体积；

（2）取的中点，连结､，得到（或其补角）就是与所成角，利用余弦定

理求出求异面直线与所成角的大小.

【详解】

解：（1）由已知，有所以

连结，由，，有 ①

由有所以， ②

由①②知，又，所以

所以就是四棱锥的高，

在Rt 中，

故

（2）取的中点，连结､，

则，故（或其补角）就是与所成角.

在中，，，

则

故异面直线与所成角的大小为 .

【点睛】

（1）基本位置关系的证明用判定定理；

（2）求异面直线所成的角

思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题

化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面

直线所成的角．

3．（2021·上海松江区·高三一模）如图 1在三棱柱中，已知

，且平面，过三点作平面截此三棱柱，截得一个

三棱锥和一个四棱锥(如图 2).

（1）求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数表示)；

（2）求四棱锥的体积和表面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用棱柱的几何性质，结合异面直线所成角的定义进行求解即可；

（2）利用棱锥的体积公式、表面积公式进行求解即可.

【详解】

（1）∵ ∴ 即为异面直线与所成的角，

∵平面，∴ 平面，

∴，

∵，

∴ ∴ ，

即异面直线与所成的角为 .

（2）四棱锥的体积为：，

四棱锥的表面积

4．（2021·上海金山区·高三一模）如图，在三棱锥中，底面，是边长为 2

的正三角形，侧棱与底面所成的角为 .

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摘要：

2021高考考点必杀500题专练08（空间向量和立体几何大题）（30道）1．（2021·上海黄浦区·高三一模）已知正方体的棱长为，点是侧面的中心.（1）连接，求三棱锥的体积的数值；（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）计算出的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积；（2）由可得出异面直线与所成角为，然后在中计算出，利用反正切可得出所求角.【详解】（1）正方体的棱长为，点是侧面的中心，，平面，；（2）在正方体中，，就是异面直线与所成的角（或补角），平面，平面，所以，.，所以，，即.所以，异面直线与所成的角的大小是.【点睛】思路点睛：平...

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