二阶常微分方程积分边值问题正解存在性

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3.0 侯斌 2024-11-19 9 4 512.06KB 51 页 15积分
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摘 要
近几年来，在泛函分析理论和实际问题的推动下，常微分方程积分边值问题
受到人们的重视.从微积分的角度来看，积分边值问题是两点，三点及多点问题的
推广，这样我们就会使一些结论更具有广泛性，因而该类问题的研究具有一定的
理论和现实意义.因此，在本文中，我们研究了具有积分边界条件的二阶常微分方
程边值问题的正解存在性，其主要工具是锥上不动点定理的理论.全文共分为如下
四章.
第一章绪论，主要介绍了常微分方程边值问题的历史背景、研究状况、全文
所用到的一些基本概念和定理及本文所做的工作.在叙述本文工作这一节中，通过
与其它文献进行对比，从而突出每一章工作的创新点.
第二章在边界条件
1
0
(0) 0, (1) ( ) ( )u u g s u s ds
下，我们研究了二阶非线性微
分方程非局部边值问题的正解存在性. 在非线性项允许变号的情况下，利用双锥
上不动点定理，得到了边值问题至少有两个正解的充分条件.
第三章，我们研究了具有奇异性的二阶 Sturm-Liouville 积分边值问题正解存在
性，其边界条件是
1
1 1 0
1
2 2 0
(0) (0) ( ) ( ),
(1) (1) ( ) ( ),
u u u d
u u u d
 
 
 
 
其中
1
0( ) ( )u d
 
和
1
0( ) ( )u d
 
分别是
u
关于
( )t
和
( )t
的Riemann-Stieltjes 积
分， 非线性项
f
在
0, 1t t 
和
0u
处允许有奇异性. 在
1 2
, 0
 
和
10
或
两种情况下，利用锥上不动点指数定理，我们分别得到了边值问题至少有一
个正解存在的充分条件.
第四章利用 Schauder 不动点定理，研究了二阶脉冲方程组边值问题的正解存
在性，在如下的积分边界条件下
1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1
0 0
1 1
1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2
0 0
(0) (0) ( ) ( ) , (1) (1) ( ) ( ) ,
(0) (0) ( ) ( ) , (1) (1) ( ) ( )
u u g s u s ds u u g s u s ds
a u b u h s u s ds a u b u h s u s ds
 
 
 
 
 
 
 
得到边值问题至少一个正解的充分条件.
关键词：积分边值问题 正解 不动点 全连续算子 锥
ABSTRACT
In recent years, with impetus of theories of functional analysis and factual proble-
ms, integral boundary value problems of ordinary differential equations been received a
great deal of attentions. In terms of calculus，integral boundary value problems include
two, three and multipoint boundary value problems as a special case, then we can gain
some extensive conclusions, therefore, this type of boundary value problem has great t-
he oretical and practical significance. In this paper, we study the existence of positive
solutions for integral boundary value problem of second order differential equations.
The main tool is the fixed-point theorem in a cone. The whole paper is made up by four
chapters.
In the first chapter, we introduce the historical background and the current situation
of boundary value problems of ordinary differential equations, some fundamental defin-
itions and theorems in whole paper and the main work of this paper. In the description
of paper’s work, compared with other literatures, we can stand out innovation of evey
chapter.
In the second chapter, on the base of a fixed-point theorem in double cones, we
study existence of multiple positive solutions for boundary value problems of a type of
second order differential equations, with the integral boundary conditions
1
0
(0) 0, (1) ( ) ( )u u g s u s ds
,
the existence of at least two positive solutions to the boundary problem is obtained, a
interesting point is that the non-linear term is allowed to change sign.
In the third chapter, by applying fixed-point index theory in cone, we investigate
the existence of positive solutions for second order nonlinear singular Sturm-Liouville
boundary value problem, with the boundary conditions:
1
1 1 0
1
2 2 0
(0) (0) ( ) ( ),
(1) (1) ( ) ( ).
u u u d
u u u d
 
 
 
 
Where
1
0( ) ( )u d
 
and
1
0( ) ( )u d
 
are respectively
u
with respect to Riemann-
Stieltjes integrals of
( )t
and
( )t
, the nonlinear term
f
is allowed to be singular at
0,1t
and
0u
. We obtain the existence criteria of at least one positive solution for
boundary value problems in the two cases in which
1 2
, 0
 
and
10
or
.
In the fourth chapter, on the base of Schauder fixed-point theory, we study the
existence of positive solutions for second-order impulsive systems, with the following
conditions
1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1
0 0
1 1
1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2
0 0
(0) (0) ( ) ( ) , (1) (1) ( ) ( ) ,
(0) (0) ( ) ( ) , (1) (1) ( ) ( ) .
u u g s u s ds u u g s u s ds
a u b u h s u s ds a u b u h s u s ds
 
 
 
 
 
 
 
We get boundary value problems have sufficient conditions of at least one positive
solution.
Key words: integral boundary value problems, positive solutions, fixed
point, completely continuous operator, cone
目 录
中文摘要
ABSTRACT
第一章 绪 论............................................................................................................1
§1.1 历史背景、研究现状..................................................................................1
§1.2 基本概念及定理..........................................................................................4
§1.3 本文的工作..................................................................................................6
第二章 二阶微分方程积分边值问题正解的存在性............................................10
§2.1 预备知识....................................................................................................10
§2.2 主要结论....................................................................................................13
第三章 二阶奇异的 Sturm-Liouville 积分边值问题正解存在性........................18
§3.1 预备知识....................................................................................................18
§3.2
1, 0
 
时边值问题正解存在性..............................................................25
§3.3
10
或
时边值问题正解存在性................................................... 28
§3.4 例................................................................................................................33
第四章 二阶脉冲方程组积分边值问题正解的存在性........................................35
§4.1 准备工作....................................................................................................35
§4.2 主要结论....................................................................................................43
参考文献..................................................................................................................47
在读期间公开发表的论文和承担科研项目及成果..............................................48
致谢..........................................................................................................................49
第一章 绪论
1
第一章 绪 论
本章中主要介绍了常微分方程边值问题的历史背景、研究状况、一些基本概
念和定理及本文所作的工作.
§ 1.1 常微分方程边值问题的历史背景与研究状况
常微分方程边值问题是常微分方程理论的一个基本问题，在机械工程，热传
导，化学工程，地下水流，核物理以及生物工程等领域有着广泛的应用.在实际问
题中，许多问题是通过建立常微分方程边值问题的模型来实现的，因此对边值问
题的研究和分析十分必要.
在泛函分析理论及实际问题的推动下，常微分方程边值问题的研究在近年来
发展十分迅速. 经典的二阶常微分方程是对两点边值问题的研究，无论是周期边
界条件还是 Sturm-Liouville 边界条件，方程定解条件都是在给定区间的两端施加
限制. 鉴于边界条件的离散化，从 20 世纪 80 年代开始许多学者从事常微分方程
非局部问题或称多点边值问题，也就是所给的两个定解条件涉及端点间其他点上
的函数值的研究，如文献
[1 ~ 10]
. 在文献[1]中，作者研究了
( , , ) 0
(0) (1) ( ) 0
u f t u u
u u u
 
 
 
 
这样一个二阶常微分方程的三点边值问题. 以此类推就有了四点边值问题，
m
点
边值问题.
在文献[8]中，作者运用锥上不动点指数定理，研究了
m
点边值问题
2
1
( ) ( ) 0, (0,1)
(0) 0, (1) ( )
m
i i
i
u a t f u t
u u a u
 
 
的正解存在性，其中对
1, 2, , 3i m 
，
0
i
a
，
20
m
a
，
1 2 2
0 1
m
 
 
.
通过赋予非线性项线性超线性和次线性，得到了边值问题至少有一个正解存在的
充分条件.
近几年来，随着研究的不断深入，带有积分边界条件的常微分方程边值问题
受到人们的重视如文献
[11 ~ 20]
及其参考文献. 文献
[11 ~ 13]
研究了带有 Riemann
积分的边界条件的积分边值问题.
二阶常微分方程积分边值问题正解存在性
2
文献[13]利用 Krasnoselski`s 不动点定理研究了二阶积分边值问题
1
0
0
1
1
0
( ) ( , ( )),0 1,
(0) (0) ( ) ( ) ,
(1) (1) ( ) ( )
y t f t y t t
y ay g s y s ds
y by g s y s ds
 
 
 
正解的存在性，其中
:[0,1]f R R 
是连续的函数，
0 1
, :[0,1] [0, ]g g  
是正的
连续函数，得到了边值问题至少一个正解的存在性.
显然，由 Riemann 积分定义可以知道带有 Riemann 积分边界条件包含了两点，
三点及多点边界的条件的情形.比如文献[2,3]和[4,5]中分别考察了三点和多点边
界条件的情况， 若在文献[4]中令
2
1
01
( ) ( )
m
i i
i
x d x
 
和
2
1
01
( ) ( )
m
i i
i
x d x
 
 
，那
么可以拓宽边界条件的范围.
随着对带有 Riemann 积分边界条件的边值问题进一步的研究，许多学者开始
对带有 Riemann-Stieltjes 积分边界条件的边值问题的研究感兴趣如文献
[14 ~ 20]
.
文献[16]中，作者运用了锥上不动点指数定理和积分核的性质，研究了非线性
方程
( ) ( ) ( , ( )), . , [0,1]u t g t f t u t a e t
 
的正解存在性，分别含有下面的积分边界条件
(0) [ ], (1) [ ],u u u u
 
 
(0) [ ], (1) [ ],u u u u
 
 
(0) [ ], (1) [ ],u u u u
 
 
(0) [ ], (1) [ ],u u u u
 
 
(0) [ ], (1) [ ],u u u u
 
 
分别得到边值问题至少一个正解的存在性，其中
1
0( ) ( )u d
 
和
1
0( ) ( )u d
 
分别
是
u
关于
( )t
和
( )t
的Riemann-Stieltjes 积分.
由Riemann-Stieltjes 定义可知带有 Riemann-Steltjes 积分的边界条件包含了两
摘要：

摘要近几年来，在泛函分析理论和实际问题的推动下，常微分方程积分边值问题受到人们的重视.从微积分的角度来看，积分边值问题是两点，三点及多点问题的推广，这样我们就会使一些结论更具有广泛性，因而该类问题的研究具有一定的理论和现实意义.因此，在本文中，我们研究了具有积分边界条件的二阶常微分方程边值问题的正解存在性，其主要工具是锥上不动点定理的理论.全文共分为如下四章.第一章绪论，主要介绍了常微分方程边值问题的历史背景、研究状况、全文所用到的一些基本概念和定理及本文所做的工作.在叙述本文工作这一节中，通过与其它文献进行对比，从而突出每一章工作的创新点.第二章在边界条件10(0)0,(1)()()uugs...

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