广义对称正则长波方程孤波解的轨道稳定性与不稳定性

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3.0 牛悦 2024-11-19 4 4 655.36KB 51 页 15积分

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摘要

本文运用 Grillaks-Shatah-Strauss 提出的轨道稳定性理论着重研究具两个非线

性项的广义对称正则长波方程

2 3

( )

constant, 0, 2,3

xxt t x

t x

u u v b u b u

b b i

v u

   

  



 



孤波解的轨道稳定性与不稳定性．

首先将广义对称正则长波方程转化为 Hamilton 系统，证明了其孤波解的局部

存在性，通过定义单参数酉算子群

 

T s

得到了算子

，利用 Sturm-Liouville 定理

及Weyl 的本质谱定理对算子

进行谱分析，验证了广义对称正则长波方程及其

孤波解满足 Grillakis-Shatah-Strauss 提出的轨道稳定性理论的要求，并利用已求出

的精确孤波解导出了关于孤波解轨道稳定判别式的显式精确表达式，进一步利用

分析方法给出了较为容易判别两个孤波解轨道稳定的若干充分条件．

文中还讨论了广义对称正则长波方程孤波解的轨道不稳定性．由于算子

不

是映上的,不能将 Grillakis-Shatah-Strauss 的轨道稳定性理论直接应用于所研系

统．我们引入新守恒泛函

( ) R

I = dx



u u

，对解的初值进行估计，并构造了一个形式

上的 Lyapunov 函数，从而给出了广义对称正则长波方程孤波解不稳定的充分条件．

本文最后研究了广义对称正则长波方程当

30b

时，即下列方程

 

0 constant

xxt t x

t x

u u v b u

v u b

  



  





渐近值不为零且满足代数方程

 

2 2

21 0b cx c x  

时的孤波解轨道稳定性问题．通

过平移变换把对上述方程渐近值不为零的孤波解

轨道稳定性的研究转化为一个

新的非线性方程渐近值为零的孤波解来研究．应用 Grillakis-Shatah-Strauss 的轨道

稳定性理论及对不稳定性的证明，我们得到结论：当

1c

时，渐近值为零的孤波

解是轨道稳定的；当

0 1c 

时，方程的渐近值为



的孤波解是轨道不稳定的．

关键词：广义对称正则长波方程轨道稳定性孤立波谱分析不稳定

ABSTRACT

In this paper, we using the orbital stability theory which was put forward by

Grillakis-Shatah-Strauss study the orbital stability of solitary wave solutions of the

generalized symmetric regularized-long-wave equations with two items of nonlinear.

2 3

( )

constant, 0, 2,3

xxt t x

t x

u u v b u b u

b b i

v u

   

  



 



First of all, we transform the generalized symmetric regularized-long-wave

equations into Hamilton systems, and demonstrate the existence of the local solutions

about initial value problem. We obtained two conservational functional about the system

and operator

, by defining a special one-parameter group of unitary operators

 

T s

Using Sturm-Liouville theorem and Weyl’s essence spectrum theorem we analysis the

spectrum of

. Verify the equation (1.1.1) and its solitary wave solutions to meet the

requirements of the Grillakis-Shatah-Strauss's theory of orbital stability. By using the

two precise solitary wave solutions of the given equations, we obtain the explicit

expression which can determine their orbital stability. Furthermore, we give several

sufficient conditions of the orbital stability of the two solitary wave solutions with

analysis methods.

We also concern the orbital instability of solitary wave solution of generalized

symmetric regularized long-wave equation. Since

is not onto, we cannot apply

directly Grillakis-Shatah-Strauss’ theory on the system. We define a new conservational

functional

( ) R

I dx

u u

and estimate the primitive of solutions. A formal Lyapunov

function is constructed. So the sufficient condition on orbital instability of solitary wave

solutions is obtained.

In chapter 4, we consider the orbital stability of the the generalized symmetric

regularized-long-wave equations

 

0 constant

xxt t x

t x

u u v b u

v u b

  



  





when

30b

and the asymptotic value which satisfy the algebraic equation

 

2 2

21 0b cx c x  

is not zero. By translation transformation, we translate the

problem of the orbital stability of solitary wave solution

to the problem of the

orbital stability of a new equation’s solitary wave solution



whose asymptotic value

is zero. Using the methods of the Grillakis-Shatah-Strauss's theory of orbital stability,

we got the result that the solitary wave solution whose asymptotic value is zero is

orbital stability, when

1c

.The solitary wave solution whose asymptotic value is



is orbital instability when

0 1c 

Key Word: Generalized symmetric regularized long-wave equation,

Orbital stability, Solitary wave, spectral analysis, instability

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论 .................................................... 1

§1.1 引言 ...................................................... 1

§1.2 轨道稳定性的定义 .......................................... 1

§1.3 国内外主要研究成果 ........................................ 3

§1.4 本文的研究内容与意义 ...................................... 5

第二章广义对称正则长波方程孤波解的轨道稳定性 .................... 8

§2.1 方程(1.1.1)钟状孤波解及柯西问题解的局部存在性 ............... 8

§2.2 孤波解轨道稳定的一般性结论 ............................... 12

§2.3 孤波解轨道稳定性的充分条件 ............................... 17

§2.3.1 关于



轨道稳定的判别式 ................................ 17

§2.3.2 关于

与

的讨论 .................................... 19

§2.3.3

2 0c k 

时孤波解轨道稳定的充分条件 ................... 20

§2.3.4

2 0c k 

时孤波解轨道稳定的充分条件 ................... 21

§2.4 (2.3.10)式与(2.3.11)式成立的充分条件 ........................ 21

§2.4.1 (2.3.10)式成立的充分条件 ................................ 21

§2.4.2 (2.3.11)式成立的充分条件 ................................ 22

第三章广义对称正则长波方程孤波解的不稳定性 ..................... 25

§3.1 广义对称正则长波方程初值问题解的估计 ..................... 25

§3.2 不稳定性的证明 ........................................... 30

§3.3 广义对称正则长波方程孤波解不稳定的充分条件 ................ 35

§3.3.1

2 0c k 

时孤波解轨道不稳定的充分条件 ................. 35

§3.3.2

2 0c k 

时孤波解轨道不稳定的充分条件 ................. 36

第四章广义对称正则长波方程渐近值不为零孤波解的轨道稳定性 ....... 38

§4.1 方程(4.1.1)的精确孤波解 .................................... 39

§4.2 方程(4.1.1)孤波解的轨道稳定性 .............................. 40

参考文献 ........................................................ 44

在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果 .................. 47

致谢 .......................................................... 48

第一章绪论

§1.1 引言

本文主要研究广义对称正则方程

2 3

( )

constant, 0, 2,3

xxt t x

t x

u u v b u b u

b b i

v u

   

  



 



(1.1.1)

孤波解的轨道稳定性问题.

自本世纪六十年代以来，作为一门研究非线性现象共性的基础学科——非线

性科学是在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学

科，被誉为本世纪自然科学的“第三次革命”.非线性科学的研究不仅具有重要的科

学意义，而且在人类生存环境的利用等方面也具有实际意义.由非线性科学所引起

的对确定论和随机论、有序与无序、偶然性与必然性等范畴和概念的重新认识，

形成了一种新的自然观，将深刻地影响人类的思维方法，并涉及现代科学逻辑体

系的根本性问题.混沌（Chaos）、分形（Fractral）、孤子（Soliton）共同组成了非

线性科学的主体.

随着非线性科学成为一门重要的前沿学科，孤立波的研究也随之成为当今的

重大研究课题．孤立波最初出现在流体力学，粒子物理等领域中，为一种特殊的

相干结构，它是系统中的色散与非线性两种作用相互平衡的结果．孤立波也叫定

域行波，也就是一个孤零零的波在传播．而在应用数学和工程中，孤立子被理解

为非线性演化方程局部化的行波解，经过互相碰撞后不改变波形和速度（或许相

位发生变化）．孤立子被看作是具有某个“安全系数”的特殊孤立波，在相互作用时，

波形与速度只有微弱改变的孤立波．孤立子的特点是，有出奇的稳定性，如同刚

性粒子一样.在空间上局域，在时间上长寿．目前对于孤波的求解已经有了很多种

方法，如逆散射方法、Hirota 双线性法、Darboux 变换法与齐次平衡法等[1-6]．但

讨论孤波解稳定性的文献相对而言较少．在非线性发展方程的研究中，具有某种

意义的稳定性的解才更具有应用价值，因此研究孤立波的稳定性是非常有意义的．

§1.2 轨道稳定性的定义

孤波解的稳定性可分为线性稳定性和非线性稳定性两大类，轨道稳定性属于

非线性稳定性中较弱的一种，它们之间的关系及定义见文献[7]．孤波稳定性在 1987

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摘要：

摘要本文运用Grillaks-Shatah-Strauss提出的轨道稳定性理论着重研究具两个非线性项的广义对称正则长波方程23233()constant,0,2,30xxttxitxuuvbububbivu孤波解的轨道稳定性与不稳定性．首先将广义对称正则长波方程转化为Hamilton系统，证明了其孤波解的局部存在性，通过定义单参数酉算子群Ts得到了算子cH，利用Sturm-Liouville定理及Weyl的本质谱定理对算子cH进行谱分析，验证了广义对称正则长波方程及其孤波解满足Grillakis-Shatah-Strauss提出的轨道稳定性理论的要求，并利用已求...

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