摩擦市场投资组合选择的极大极小方法

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引 言
引 言
金融决策的核心问题是如何在不确定的环境下对资源进行分配和利用．为了
解决这样一类问题，金融学应运而生．它是作为经济学的应用分支学科发展起来
的，在西方已经历经了百余年的历史．由于其自身充足的特征，金融学从20世纪
50年代起逐步从经济学中分离出来而成为一门独立的学科．金融学的发展经历了
三个主要阶段，即定性描述阶段、定量分析阶段和工程化阶段．金融数学的问世
标志金融学开始摆脱纯粹描述性的研究和单凭经验操作的状态，进入了定量分析
的阶段．而金融工程的诞生，使金融学进入了工程化和产品化的更高阶段，并带
着鲜明的知识经济的印记而展现出无可限量的发展前途．
一代数学大师David Hilbert曾说过：“凡遵从科学思维者，当其准备发展一
门理论时，即进入公理化研究的范畴，就能够进行数学的处理和讨论．”现在绝
大多数金融学家是赞赏数学的作用的．
但是用数学方法处理某些社会科学问题时，经常遇到许多困难．所要研究的
事物是错综复杂的，需要考虑的因素甚多，对其自身的认识往往很不充分，所表
达的规律还可能含糊其词．因此，在使用数学工具时，就不能象处理自然科学那
样得心应手．在用数学解决金融问题时，总是要排除一些次要因素，把问题限制
在某个范围内加以研究和论证．与数学进入其他学科（如医学和生物学）的初期
相仿，常常会招致人们的怀疑和贬低．尽管如此，坚冰毕竟打破，数学在金融领
域大有用武之地，实践也证明了这一点．实际上，自1969年设立诺贝尔经济学奖
以来，已有多人因在金融理论中有效地运用数学而获得成功．Tobin因创立投资
决策的数学模型而获1981年度诺贝尔经济学奖，Markowitz，Sharpe和Miller三人
因创立投资组合理论和资本资产定价模型而获1990年度诺贝尔经济学奖，
Merton和Scholes因创立期权定价理论而获1997年度诺贝尔经济学奖．可见，数学
给金融学的研究带来了巨大的活力．现在许多金融学家已经看出，数学语言和工
具对于进一步发展金融理论是十分有效的．同时，许多数学家发现，金融学为应
用他们的数学技巧提供了一个重要而有价值的领域，并且看到金融学已导致如金
融数学、金融工程这样一些重要的新兴学科的诞生．实践将继续证明，数学在金
融理论中会发挥越来越大的作用．
近年来，国际金融界发生的一系列重大事件：墨西哥金融危机、美国橙县金
融衍生产品失败导致的破产、英国巴林银行的倒闭、法国里昂信贷银行巨额亏损
日本东京三菱银行的合并、东南亚金融危机，使人们对于金融变革中的问题产生
了极大的警觉，对于金融理论的研究和应用产生了极大的关注．
人们越来越认识到，要继续开展投资组合理论、资本资产定价模型、套利定
价理论、套期保值理论、期权定价理论、有效市场理论等现代金融学的基本理论
的研究，并加以发展和完善．要从企业和市场出发，开展金融学的实证研究．面
向实际问题，从数据出发，通过建立模型来揭示数据所隐含的规律，从中提取新
的金融概念；或者在问题中发现新的金融特性，建立模型来描述它，进而利用实
际数据来检验其正确性．
由于我国的金融市场起步较晚，对现代金融学理论和方法的研究相对落后，
在应用方面更是如此．但是，在改革开放和经济持续高速增长的过程中，我国金
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摩擦市场投资组合选择的极大极小方法
融市场不断发育成长并逐渐与国际接轨，各种新型金融产品的出现和新型金融交
易的引入是势不可挡的．加强金融监管，规范市场行为，防范和控制总体金融风
险，保持金融系统的稳定和发展，已经到了刻不容缓的地步．因此，要全面开展
适合我国国情的金融学研究，为发展充满生机和活力的新兴的中国金融产业贡献
力量．
本文所讨论的模型是在一种新的投资组合选择原理——极大极小原理[1, 2]
的基础上，结合考虑交易成本的投资组合优化模型[3, 4]，提出了一种新的投资组
合选择的极大极小方法，即在市场因素多变的情况下，我们最大化这多种市场情
况的最小可能预期收益率，并考虑了交易成本这种摩擦．一般的投资组合优化方
面的文献[4-11]，或者只给出了解的存在性证明，或者是用线性规划来求解模型的
解，都没有对模型的数值解法进行研究，而极大极小优化问题是一种典型的不可
微优化问题，线性规划方法是不可能求解的．本文将致力于这一模型的数值解法
第一种方法是对极大极小问题应用K-T条件将其转化为一个非线性方程组系统，
然后通过光滑化牛顿法来求解；第二种方法是用极大熵算法来将不可微优化转化
成可微优化．
2
第一章 投资组合优化理论概述
第一章 投资组合优化理论概述
§1.1 投资组合理论研究的历史和现状
§1.1.1 历史
现代证券组合选择理论经过四十年的蓬勃发展，取得了丰硕的成果，基于不
同的风险刻画（如方差、半方差、绝对偏差、系数、模糊数等）和不同的投资
准则（如最大化期望收益率、最小化风险、最大化几何平均收益率、最大化单位
风险收益、安全第一准则等）下的证券组合选择理论和模型如雨后春笋．其中最
具有代表性和广为采用的是M-V理论、效用理论和随机序方法[12]．
Markowitz的均值－方差（简记为M-V）证券投资组合理论的基本思想是投资
者都是风险厌恶的，并且假设收益率方差是证券（证券组合）风险的恰当度量．
该模型中用收益率（它是一个随机变量）的两个数字特征：均值与方差来刻画一
个证券，这隐含着一个重要假设，即证券收益率服从正态分布，而大量实证分析
表明，一般情形下证券收益具有不对称性．因此，Markowitz模型虽然具有简洁
的数学形式、直观的经济意义和良好的解的性态（在较一般的假设下它是一个凸
二次规划），但它只是一个近似模型．
期望效用理论是证券组合分析另一强有力工具．效用是在有风险的情况下决
策人对后果的偏好的量化，可用一数值来表示．因此，一旦效用函数确定以后，
就可以比较各种后果的优劣，从而确定出最佳方案．将这种思想引入到证券组合
中去，形成了证券组合的期望效用理论．期望效用理论认为，投资者面临的不仅
仅是投资问题，还有消费问题，即：（1）如何分配起初的资产于消费和投资；
（2）如何选择投资组合，使投资者的边际效用达到最大．因此，投资者所追求
的目标应为期望效用最大： ，这里表示期望算子， 表示投
资者的效用函数，而 和 分别表示期初的消费和投资期末时财富．
随机序理论是本世纪六十年代创立的，当初主要应用于风险决策分析．七十
年代中期Bawa和Ali等将其应用到证券组合分析，形成了最优证券组合选择随机
序方法．该理论认为，只要投资者对证券组合收益分布函数具有完善的信息，就
可以比较各种组合的优劣，从而确定最优证券组合．
这三种方法各有优缺点，主要表现在如下几个方面．
M-V理论合理地解释了投资分散现象，深刻地揭示了有效证券组合的内部结
构（基金分离定理）和有效边缘的形态，其实用性和可操作性是其它两种方法所
不可比拟的．Markowitz证明了当收益率服从正态分布或效用函数为二次函数时
M-V理论与效用理论等价．但它依赖于较强的假设，而且在某些情况下，M-V准
则显得无能为力．
期望效用理论放宽了对市场和投资行为的假设，并将消费和偏好等引入投资
决策过程，使证券组合理论分析更接近现实的证券市场，解决了M-V所不能解决
的一些问题．但其缺点在于消费数据很难准确获取，实证分析比较困难．此外，
不同的投资者往往具有不同的效用函数和不同的偏好，因此一般情况下不可能得
到象M-V理论那样明确的有效边缘．
3
摩擦市场投资组合选择的极大极小方法
随机序理论将假设放宽到最大限度，只需知道有关收益分布较完善的信息，
就可以比较不同证券组合的优劣．但由于假设太一般，所以无法得到关于市场投
资行为和资产价格行为一般性的结果．此外，该方法仅适用于两两之间的比较，
对一个具有较多选择机会的投资行为来说，该方法将显得无能为力．
§1.1.2 现状
目前关于证券组合投资分析是将多种方法有机地结合在一起，选择多种准则
下的最优证券组合，以弥补各自的不足．自六十年代以来，大批学者致力于该理
论的研究与创新工作，取得了丰富的成果．这些研究工作主要集中在[12]：
1．将单期证券组合选择理论推广到多期，形成了动态资产组合选择理论．
无论是Markowitz，还是Tobin，他们的早期研究工作仅局限于单阶段资产组
合选择理论的研究，即不考虑投资期间证券组合的调整问题，投资者在期初购买
某一证券组合并将其持有到投资期结束，也没有考虑税收、消费等因素对投资行
为的影响，这显然与实际的投资行为不吻合．以Merton，Fama，Ruhinstein等为
代表的一大批金融经济学家将单期M-V证券组合选择理论推广到多期，得到了离
散时间和连续时间多阶段模型，并将消费、税收、交易成本、通货膨胀等因素引
人证券组合选择模型，使之更加贴近现实的证券市场，取得了丰硕的成果．
2．探讨新的风险度量标准和新的投资准则，以及大规模证券组合的有效算
法．
Markowitz的M-V证券组合选择理论于本世纪五十年代初期就提出来了，但真
正被金融机构和投资者广为采用则是在八十年代初期，其主要原因是协方差矩阵
的估计和计算问题．绝大多数金融机构一般情形下只能将其注意力局限于150-
250种证券之间．为了构造最优证券组合，就必须估计150-250个证券的收益率，
150-250个收益率方差，11175-31125个协方差，而每个参数的估计至少要使用一
年以上的历史数据，而且还要计算150-250阶矩阵的逆，这无疑是令人头痛的问
题．因此在Markowitz提出M-V证券组合理论以后的四十多年来，大批学者致力
于证券组合基本理论与方法的研究和改进，以及有效算法的探讨等问题．其工作
大致可分为三类：一类是探讨大规模证券组合有效算法问题；第二类则侧重于如
何简化计算最优证券组合所需要的数据类型、数据量和计算过程，如Sharpe[13]
的单指数模型和Ross的多因子模型等；第三类则侧重于寻求新的风险度量标准以
及在新的投资准则下的最优证券组合选择问题．
§1.2 几个基本的投资组合选择模型
为了分散风险并取得适当的投资收益，投资者往往采用组合投资的方式，即
把一笔资金同时投资于若干不同的证券．这就需要利用适当的模型来进行决策分
析，本节将扼要地介绍几个最基本的投资组合选择模型．
§1.2.1 均值－方差模型
它是用均值（即数学期望）来表示收益的好坏，用方差来度量风险的大小．
设有种证券，它们的收益率分别用 来表示，这些 都是随机变量
4
第一章 投资组合优化理论概述
并且假定 的期望值和它们的协方差都是已知的．记
， ，
，
则和 是已知的．考虑一个投资组合 ，其在各个证券上的投资比例用向量
表示，自然有 ．如果不允许买空，还有约束条件 ．
投资组合 的收益为 ，期望收益为 ，收益率的方差（代表风
险）为 ．
Markowitz提出，理性的投资者总是寻求这样的投资组合 ，它在给定的期望
收益水平的条件下使风险最小，即求解
或在给定风险水平的条件下使期望收益达到最大，即求解
上述两种模型实际上是等价的．
在上述模型中，风险是用方差来度量的．如果改用绝对偏差
5
摘要：

引言引言金融决策的核心问题是如何在不确定的环境下对资源进行分配和利用．为了解决这样一类问题，金融学应运而生．它是作为经济学的应用分支学科发展起来的，在西方已经历经了百余年的历史．由于其自身充足的特征，金融学从20世纪50年代起逐步从经济学中分离出来而成为一门独立的学科．金融学的发展经历了三个主要阶，即定性描述阶段、定量分析阶段和工程化阶段．金融数学的问世标志金融学开始摆脱纯粹描述性的研究和单凭经验操作的状态，进入了定量分析的阶段．而金融工程的诞生，使金融学进入了工程化和产品化的更高阶，并带着鲜明的知识经济的印记而展现出无可限量的发展前途．一代数学大师DavidHilbert曾说过：“凡遵从科学...

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