拟线性椭圆方程问题解的存在性研究

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3.0 高德中 2024-11-19 5 4 2.48MB 38 页 15积分

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摘要

本文主要研究了拟线性椭圆方程解的存在性问题. 首先研究了带有非线性

边界的拟线性椭圆方程解的存在性问题；其次，研究了带有 Hardy 项的拟线性椭

圆方程特征值性质以及非平凡解的存在性问题.

第一章绪论,论述了本文的变分背景,综述了近年来国内外许多作者在该研究领

域的研究进展和主要结论,并且简要说明了本文研究的基础和需要用到的理论工具

并介绍文章主要内容.

第二章,给出了本文所要用到的定义、定理、引理等基础知识,包括一些最基本

的非线性泛函分析的知识,Sobolev空间的主要概念以及嵌入定理,古典变分原理以

及临界点理论的基本内容.

第三章,考虑下列带有非线性边界的拟线性椭圆方程解的存在性问题：

本文将Paeric J.Meri 的结论应用于含有非线性边界的拟线性椭圆问题, 使得问题

(P)存在有界Palais-Smale 序列, 从而得到问题(P)解的存在性，最后举例说明所给

条件比已有文献有所改进.

第四章, 考虑下列拟线性椭圆方程特征值性质以及非平凡解的存在性问题：

( )

其中是中的有界区域，为是参数，函数 V(x) 满足

.首先证明了其第一特征值的存在性,

以及第一特征值的单重性、单调性和孤立性性质；由于第一特征值具有孤立性，

我们引入第二特征值，并证明了其存在性.最后, 借助 Moser-Trudinger 不等式，

利用山路引理证明当时问题( )非平凡解的存在性; 利用环绕引理证明

当时问题( )非平凡解的存在性.

第五章是总结与展望，综述了本文的主要工作，并对进一步的研究提出了展望

关键词: 拟线性椭圆型方程山路引理 (PS)条件解的存在性

第一章绪论

ABSTRACT

I n t h i s p a p e r , w e i n v e s t i g a te t h e e x i s t e n c e o f n o n t r i v i a l w e a k s o l u t i o ns o f t h e

q u a s i l i n e a r e l l i p t i c e q u a t i o ns . I n t h e f i r s t e q u a t i o n , w e i n v e s t i g a t e a c l a s s o f

q u a s i l i n e a r e l l i p t i c e q u a t i o n w i t h n o n l i n e a r b o u n d a r y c o n d i t i o n. I n t h e s e c o n d

e q u a t i o n , w e i n v e s t i g a t e t h e e i g e n v a l u e p r o b l e m f o r a c l a s s o f q u a s i l i n e a r e l l i p t i c

equation involving critical potential and indefinite weights.

T he Chapter 1 is introduc tion . We introd uce th e bac kground of th is pro blem i n

variational area. We also summarize the works and progress from many researchers in

this field in recent years. Furthermore, we introduce the t h e o r y t o o l used in this

paper.

Then，we introduce some definitions, theorems and lemmas in Chapter 2. We

give the definition of Sobolev spaces and embedding theorems. We also give the

basic contents of critical theorem.

In Chapter 3, we consider the existence of a nontrivial solution of the following

problem:

The existence of bounded Palais-Smale sequences for the corresponding functional

of the equation is obtained under hypotheses weaker than those commonly used in the

l i t e r a t u r e . T h e n , b y a p p l y i n g M o u n t a i n P a s s L e m m a , t h e e x i s t e n c e o f n o n t r i v i a l

solution is confirmed.

In Chapter 4 we consider the existence of of a nontrivial solution of the following

problem:

using Trudinger-Moser inequality, we obtain the existence of nontrivial weak solution

o f t h e q u a s i l i n e a r e l l i p t i c e q u a t i o n i n v o l v i n g c r i t i c a l s i n g u l a r i t y a n d i n d e f i n i t e

w e i g h t s i n t h e c a s e t h a t b y u s i n g M o u n t a i n P a s s L e m m a , a n d t h a t

by using Linking Argument Theorem

III

In Chapter 5, we summarized our research in this article .We also gave our

direction for further research in this chapter.

K e y w o r d : Q u s i l i n e a r e l l i p t i c e q u a t i o n , m o u n t a i n p a s s t h e o r e m ,

(PS)condition, Existence of solutions

目录
中文
摘要
ABSTRACT
第一章 绪论......................................................1
§1.1问题的来源和发展过程.....................................1
§1.2 本文的主要研究内容......................................3
第二章 预备知识....................................................5
§2.1 Sobolev 空间及嵌入定理..................................5
§2.2 极值原理与山路引理......................................6
§2.3 Banach空间中的微分......................................7
§2.4几个常用不等式...........................................9
第三章 关于一类带有非线性边界的拟线性椭圆方程问题...............11
§3.1 引言...................................................11
§3.2主要引理及结论..........................................11
§3.3定理2.4的证明...........................................13
§3.4例子....................................................15
第四章 带有不定权的拟线性椭圆方程及其特征值问题...................17
§4.1引言....................................................17
§4.2一些引理................................................18
§4.3特征值问题..............................................19
§4.4非平凡解的存在性........................................24
第五章 总结和展望.................................................32
参考文献..........................................................33

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摘要：

摘要本文主要研究了拟线性椭圆方程解的存在性问题.首先研究了带有非线性边界的拟线性椭圆方程解的存在性问题；其次，研究了带有Hardy项的拟线性椭圆方程特征值性质以及非平凡解的存在性问题.第一章绪论,论述了本文的变分背景,综述了近年来国内外许多作者在该研究领域的研究进展和主要结论,并且简要说明了本文研究的基础和需要用到的理论工具并介绍文章主要内容.第二章,给出了本文所要用到的定义、定理、引理等基础知识,包括一些最基本的非线性泛函分析的知识,Sobolev空间的主要概念以及嵌入定理,古典变分原理以及临界点理论的基本内容.第三章,考虑下列带有非线性边界的拟线性椭圆方程解的存在性问题：本文将Paeric...

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