奇异拟线性椭圆方程解的存在性

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摘要

本文主要借助 Shapiro V L 在加权空间中建立的 Sobolev 嵌入定理，利用

Galerkin 方法及推广的 Brouwer 定理分别讨论了加权奇异拟线性椭圆方程非平凡解

的存在性问题及含扰动项的加权奇异拟线性椭圆方程共振问题，并得到了一系列

有价值的结论.论文共分四章.

第一章中，主要概述了非线性偏微分方程问题的研究背景、研究目的以及现

阶段非线性偏微分方程问题研究的先进水平. 同时，本章还介绍了本文所得到的

研究成果.

第二章中，主要介绍了预备知识，即本文证明过程中所要使用的关键定理及

重要不等式.

第三章中，通过引入 Shapiro V L 建立的非线性算子与线性算子之间#-关系的

概念，利用 Galerkin 方法，得到了加权奇异拟线性椭圆方程

( , ) , ,

u f x u x

u x



 



 



的非平凡解的存在性定理，这里

1 1

2 2

0 0

, 1

( ( ) ( ) )

i i j i j ij j

i j

u D p p u u b D u b u

   



  



，

非线性项满足线性增长条件.

第四章中，通过引入近特征值的概念，在非线性算子与线性算子间满足*-相

关的条件下，结合推广的 Landersman-Lazer 条件，利用 Galerkin 方法，Brouwer

定理及 Shapiro V L 建立的 Sobolev 嵌入定理，得到了含扰动项的加权奇异拟线性

椭圆方程

1( , ) ( , ) , ,

u u b x u u f x u G x

u x

   



    

 



非平凡解的存在性定理，这里

1 1 1 1

2 2 2 2

0 0

, 1

( ( ) ( ) )

i i j i j ij j

i j

u D p p u u a D u a qu

  



  



，

而



是关于算子

的近特征值. Shapiro V L 在论文“Singular Quasilinearity and

Higher Eigenvalues”中，对算子

进行了广泛的研究，而本章改进了 Shapiro V L

在关于算子

证明中所需要的##-相关等条件，借助*-相关对一类含扰动项的加权

奇异拟线性椭圆方程非平凡解的存在性问题进行证明，得到了更具一般性的结论.

关键词：加权 Sobolev 空间奇异拟线性椭圆方程 Galerkin 方法

Brouwer 定理近特征值 Landersman-Lazer 条件

ABSTRACT

In this paper ，we discuss the existence of nontrivial solutions for a kind of

weighted quasilinear elliptic equations and the resonance problem for a kind of

weighted quasilinear elliptic equations with disturbance term in weighted Sobolev

spaces. Then，some useful results have been obtained by using Galerkin method，the

generalized Brouwer’s theorem and a weighted compact Sobolev-type embedding

theorem established by Shapiro V L. The paper is separated into 4 chapters.

In Chapter 1，we mainly introduce the background and the purposes for the study

of the nonlinear partial differential equations. Meanwhile，the main achievements and

the advanced levels at the present stage are provided. Also ，a synopsis of the main

results from this paper are included.

In Chapter 2，for the need of our proof，we provide some key theorems and basic

inequalities.

In Chapter 3 ，we prove the existence of nontrivial solutions for the weighted

singular quasilinear elliptic equation

( , ) , ,

Qu f x u x

u x



 



 



by using the definition of the #-relationship between the nonlinear operator and the

linear operator by Shapiro V L ，Galerkin methods and the generalized Brouwer’s

theorem，where

1 1

2 2

0 0

, 1

( ( ) ( ) ) ,

i i j i j ij j

i j

Qu D p p u u b D u b u

   



  



the nonlinear term satisfies the linear growth condition.

In Chapter 4，we prove the existence of nontrivial solutions for a kind of weighted

singular quasilinear elliptic equations with disturbance term

1( , ) ( , ) , ,

u u b x u u f x u G x

u x

   



    

 



where

1 1 1 1

2 2 2 2

0 0

, 1

( ( ) ( ) ) .

i i j i j ij j

i j

u D p p u u b D u b qu

  



  



The result is obtained by using *-relationship between the nonlinear operator and the

linear operator ，Galerkin methods ，the generalized Brouwer’s theorem and a new

weighted compact Sobolev-type embedding theorem established by Shapiro V L under

the generalized Landesman-Lazer conditions. The notation of near-eigenvalue

established by Shapiro V L is used ，where



is the near-eigenvalue of

. The

operator

has been studied widely in “Singular Quasilinearity and Higher

Eigenvales” by Shapiro V L. We get more general conclution by *-relationship in place

of ##-relationship.

Key Words: Weighted Sobolev Spaces，Singular quasilinear elliptic

equations，Landersman-Lazer type conditions，Galerkin

method，Brouwer’s theorem，Near-eigenvalue

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摘要：

摘要本文主要借助ShapiroVL在加权空间中建立的Sobolev嵌入定理，利用Galerkin方法及推广的Brouwer定理分别讨论了加权奇异拟线性椭圆方程非平凡解的存在性问题及含扰动项的加权奇异拟线性椭圆方程共振问题，并得到了一系列有价值的结论.论文共分四章.第一章中，主要概述了非线性偏微分方程问题的研究背景、研究目的以及现阶段非线性偏微分方程问题研究的先进水平.同时，本章还介绍了本文所得到的研究成果.第二章中，主要介绍了预备知识，即本文证明过程中所要使用的关键定理及重要不等式.第三章中，通过引入ShapiroVL建立的非线性算子与线性算子之间#-关系的概念，利用Galerkin方法，得到...

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