时间序列的自适应估计算法研究系统分析与集成

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3.0 高德中 2024-11-19 11 4 3.46MB 42 页 15积分

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摘要

无论是经济金融，还是工程技术领域，时间序列大都作为所研究的数据的基

本形式。作为一种数学理论，时间序列分析提供了处理时间序列的主要方法，其

综合多个领域、多方面，以计算机为主要手段，通过对数据进行量化分析，从微

观角度发掘数据的本质规律以供决策使用。在经济金融领域，经过离散采样可获

得研究对象的某一指标下的数据；在工程技术范围内，数据往往以信号的方式通

过传感器采样获得。目前，针对不同的数据类型，主要存在着三种时间序列的分

析方法：基于随机过程理论的 ARMA 建模技术、多分辨率分析技术以及基于状态

空间模型的 Kalman 滤波技术。ARMA 模型虽然发展较为完善，但因其建立在平稳

随机过程的基础之上，所以在应用时需要事先对数据进行平稳化，这样往往会造

成一部分信息的丢失。后来，伴随着工程技术与计算机技术的发展，基于时域的

Kalman 滤波技术与多分辨率分析方法很好地解决了这一问题。但以往的研究中，

三者大多相对独立存在，并且有着各自不同的应用领域。本文的内容融合以上三

种方法各自的优点，并且进行改进，相互渗透，从而在复杂多变的现实环境中，

可以自适应地对数据进行处理。文章中用两种方法进行时间序列的自适应估计的

建模过程。

算法一通过引入一可变因子将状态信息与量测信息统一到一个方程之中，然

后利用 Kalman 平滑技术估计白噪声，由此引起在最小均方误差意义下可变因子取

得最优值，因此在滤波过程调节可变因子达到最优值，从而自适应地对状态进行

滤波。仿真分析表明此算法较经典 Kalman 滤波算法在精度上有了明显提高。

算法二通过对时序数据先进行小波分解，然后通过引入两组白噪声，完成基

于小波分解的状态空间方程的建模。小波分析与状态空间模型的结合，使得在处

理问题时，除了事先选定所用小波的种类外，无需噪声的先验统计信息，又可以

对数据进行在线递推跟踪，实用性得到了极大地提高。

最后用小波方差与小波周期图两种理论，对非平稳信号进行功率谱密度估计，

对信号在多个分辨率下的波动情况进行分析。

关键词：融合可变因子自适应在线递推小波方差小波周期图

Abstract

Both in economic and finance, or engineering technology, time series data is

usually the basic form of research. As a mathematical theory, time series analysis

provides the primary method for time series dealing, it integrates many areas, with

computer as the main means of quantitative analysis for data and explore the nature of

the data from a microscopic point of law for Decision. In the economic and financial

fields, the discrete sampled data of a target object can be achieved; in engineering, the

data tend to be sampled in the ways of signals by the sensor. At present, for different

data types, there are three main time series analysis methods: ARMA modeling based on

random process theory, multi-resolution analysis techniques and Kalman filtering

technique based on state space model. Although the development of ARMA model is

nearly perfect, but it is built on the basis of stationary random process, so the

application should deal with the data in advance, so that part of the information might

be lost. Later, along with engineering technology and computer technology, Kalman

filter technology and multi-resolution analysis method solved this problem well,

because they are based on time domain. However, in previous studies, the three most

exits relatively independently, and have their own different applications. The paper can

fuse the merits of these three methods, and can mutually penetrate after improvement.

So in complex and changing reality, we can adaptively process the data. This paper

proposes two ways to give the processes to complete the modeling of the data’s adaptive

estimation.

According to introducing a variable factor, the first algorithm integrates status

information and measurement information into a unified equation, and then estimate

white noise using Kalman smoothing technique, so the variable factor can reach the

optimal value in the sense of minimum mean square error. As a result by adjusting the

variable factor optimal value can be achieved adaptively in the filtering process.

Simulation analysis shows that this algorithm which has been significantly improved in

accuracy is better than the classical Kalman filtering algorithm.

For a special class of non-stationary processes - local stationary process, in the

second algorithm, the data is decomposed with wavelet, and by the introduction of two

white noise series, the wavelet-based modeling of the state space equation can be

completed. With combination of Wavelet analysis and the state space model, the only

need is to choose the right type of wavelet, ,the priori statistical information of noise

neglected, the data tracked online recursively, and also the practical application has been

greatly improved.

Finally, using wavelet variance and wavelet periodogram two theories, the

non-stationary signal power spectral density can be estimated and also the fluctuations

of the signal can be analyzed with multi-resolution.

Key Words: fusion, variable factor, adaptive, online recursion, wavelet variance,

wavelet periodogram

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论 ....................................................... 1

§1.1 时间序列分析 ............................................... 1

§1.2 现代控制理论的发展 ......................................... 2

§1.3 本文的主要内容 ............................................. 3

第二章卡尔曼滤波 .................................................. 5

§2.1 射影理论 ................................................... 5

§2.2 线性最小均方误差（MMSE）估计 ............................... 5

§2.3 卡尔曼滤波算法 ............................................. 6

§2.4 基于卡尔曼滤波算法的白噪声估计 ............................. 7

第三章基于误差修正模型的自适应递推滤波算法 ........................ 9

§3.1 引言 ....................................................... 9

§3.2 修正的状态空间模型 ......................................... 9

§3.3 基于误差调节模型的自适应递推滤波算法 ....................... 9

§3.4 仿真实验 .................................................. 12

§3.5 算法总结 .................................................. 15

第四章基于小波分解的状态空间方程建模 ............................. 17

§4.1 引言 .......................................................17

§4.2 局部平稳随机过程 .......................................... 17

§4.3 最大交叠小波变换（MODWT） ..................................18

§4.4 多分辨率分析—状态空间建模 .................................22

第五章局部平稳过程的谱分析 ....................................... 26

§5.1 局部平稳过程的谱分析简介 .................................. 26

§5.2 小波方差 .................................................. 26

§5.3 小波周期图 ................................................ 27

第六章总结与展望 ................................................. 31

附录 .............................................................. 32

参考文献 .......................................................... 35

在读期间公开发表论文和承担科研项目及取得的成果 .................... 39

致谢 ............................................................ 40

第一章绪论

§1.1 时间序列分析

作为一门学科，时间序列的研究对象是具有一定先后顺序的信号，通过按照

一定规律采样的方法获得，它源于随机过程[1]，其目的是研究序列的内在规律。其

应用范围遍及自然界、工程界、社会界以及生物等众多领域，并且发展迅速。绝

大多数综合工程技术问题的良好解决，都离不开信号分析。

由于实际问题的某些信息的发生和发展具有随机性，并且随着时间的推移具

有一定统计规律，在这种情况下，不可能应用确定的解析方法来解决。时间序列

分析是基于现代统计学的信息数据处理技术，窥测其规律，探明其特征，是解决

实际问题的有力工具。在国外，时间序列的实际应用问题已经有着广泛的应用，

诸如在机械加工方面，时间序列分析与计算机相结合的误差补偿、质量控制等。

科学技术离不开科学实践，但是在一些复杂的工程环境下，传统的方法传统

的方法往往过分依赖昂贵的精密仪器设备，并且在国内的配置比较全面的实验室

并不多见，这就增加了这类工程实施的难度。而应用时间序列分析方法，则往往

只需要正确选择和获取系统的重要信息数据，只应用计算机便可对数据进行处理

和分析，发掘系统的内在规律，从而帮助系统的辨识，从而解决实际问题。

所谓时间序列即人们在某一领域获得一组以时间为指数的数据

 

: 1,

X t N

，有的数据在获得的同时，可以直接看出其存在的一些直观上的特

征，比如大致的平均值，波动大小等。在现实中，只有在获得具体值之后才可以

指导人们进行决策。时间序列分析的基本思路就是为了解决这类问题，其通过一

些数学方法将数据本身存在的一些性质进行具体地量化，从而借助计算机工具对

量化的数据进行处理，从而可以发掘其更深刻、更本质的规律与特征。在时间序

列信号处理领域，目前最常见的也是应用最广泛的包括估计问题、波动分析、周

期分析、趋势分析等。当时间序列在某一时刻的值未知活着通过正常渠道无法获

得的时候，就要利用已知信息内涵的统计相关特性来估计这些未知数据，这就涉

及估计的问题；在研究一个系统的稳定性的时候，可以通过分析获得的系统数据

在某一时刻波动能量的大小（方差），以此来了解系统在这个时刻偏离稳定状态的

几率有多大，这就涉及到波动分析；当一个系统总体上带有某种趋势的时候，比

如说周期性，这时候在对系统事先不是非常了解的条件下，通过分析已知数据可

以发掘并验证这一特点，这就涉及趋势分析。除此之外，还涉及到多序列问题、

非线性、非平稳性、以及异质性等方面。

小波分析[2,3]是基于多分辨率分析理论基础上的一种数学工具，其主要包含小

波与尺度两种函数，通过这两种函数的伸缩与平移从而对一组信号进行分解。小

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摘要：

摘要无论是经济金融，还是工程技术领域，时间序列大都作为所研究的数据的基本形式。作为一种数学理论，时间序列分析提供了处理时间序列的主要方法，其综合多个领域、多方面，以计算机为主要手段，通过对数据进行量化分析，从微观角度发掘数据的本质规律以供决策使用。在经济金融领域，经过离散采样可获得研究对象的某一指标下的数据；在工程技术范围内，数据往往以信号的方式通过传感器采样获得。目前，针对不同的数据类型，主要存在着三种时间序列的分析方法：基于随机过程理论的ARMA建模技术、多分辨率分析技术以及基于状态空间模型的Kalman滤波技术。ARMA模型虽然发展较为完善，但因其建立在平稳随机过程的基础之上，所以在应用...

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