约束优化与非线性方程组的非单调信赖域方法

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3.0 陈辉 2024-11-19 6 4 531.3KB 48 页 15积分

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摘要

基于信赖域算法在很多优化问题和非线性方程组问题中都取得了很好的数值

计算效果,本文将信赖域方法结合自适应技术、非单调技术、仿射方法等对优化问

题进行研究,全文共分五章.

第一章:介绍了优化问题和信赖域方法的一些基本原理,综述了信赖域算法在

优化问题中的研究现状.

第二章:给出一个无约束信赖域算法,其中信赖域模型是采用记忆模型,即过去

迭代点的信息,采用这样的方法,能使算法不完全局限于由目标函数确定的当前点

的信息,而是以更加全局的观点.随后,我们证明了非单调技术的全局收敛性,通过

数值试验证明该算法的有效性.

第三章:给出了线性约束优化问题的一个自适应信赖域算法,其中的信赖域半

径是由算法本身自动进行调解的,从而避免了传统算法在选取信赖域半径时的盲

目性.借助于非单调技术,我们获得了算法的全局收敛性.

第四章:给出一个非线性等式约束的非单调信赖域算法,在我们的算法中,我们

使用逐次平均的罚函数法来校正预测下降量和实际下降量的比值.此方法与现有

的非单调信赖域方法相比,它不需要仅仅依赖非单调函数.我们给出了全局收敛性,

通过数值试验证明该算法的有效性.

第五章:给出了非线性约束信赖域方程组的自适应仿射算法.利用当前点的迭

代信息我们可以得到每一步迭代的信赖域半径.特别当此方法适用于特殊的矩阵

时,我们也可证明算法的全局、局部收敛性.

关键词: 非线性问题优化问题信赖域算法非单调算法

全局收敛性数值试验

ABSTRACT

Based on trust region method, many optimization problems and nonlinear eq

uations problems can have good value effects. In our paper, we consider combin

ing self-adaptive technique, nonmonotone technique and affine-scale technique to

do some researches on optimization problems. This article falls into five chapter

Chapter1: we introduce the basic principle of optimization problems and trust

region methods, and review the research status of trust region method in optim-

ization problems.

Chapter2: given an unconstrained trust region method, unlike the traditional

memoryless trust region methods, our trust region model includes memory of the

past iteration, which is not completely dominated by the local nature of the obj

ective function, but rather by a more global view. The global convergence is est

ablished by using a nonmonotone technique. The numerical tests are also given

to show the efficiency of our proposed method.

Chapter3: given a self-adaptive nonmonotone trust region algorithm for linear

constrained optimization. In this algorithm, the trust region radius is adapted by

the algorithm. Hence it avoids the blindness in the traditional trust region algor-

ithm when one chooses the trust region radius. By using the nonmonotone techni

-que, we establish the global convergence of the proposed algorithm.

Chapter4: given a nonmonotone trust region algorithm for nonlinear equality

constrained optimization. In our algorithm, we use the average of the successive

penalty function values to rectify the ratio of predicted reduction and the actual

reduction. Compared with the existed nonmonotone trust region methods, our me-

thod is independent on the nonmonotone parameter. We establish the global con-

vergence of the proposed algorithm.

Chapter5: given a nonlinear affine-scaling trust region for constrained nonlin-

ear equations. The method is a self-adaptive affine-scaling nonmonotone trust re-

gion. The algorithm adaptively generates a suitable trust region radius at each it-

eration by using information available at the current iteration. In this way, meth-

od is proved to have strong global and local convergence properties under suita-

ble assumptions.

Key Word: Nonlinear Problem, Optimization Problem, Trust Re-

gion Technique, Nonmonotone Technique, Global Con

vergence, Numerical Test

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论............................................................................................................1

§1.1 最优化问题简介.........................................................................................1

§1.2 信赖域算法介绍.........................................................................................2

§1.2.1 信赖域半径的选择方法.....................................................................3

§1.2.2 的非单调信赖域方法.........................................................................4

§1.2.3 信赖域子问题.....................................................................................5

§1.3 本文主要工作.............................................................................................5

第二章带有记忆模型无约束优化问题非单调信赖域算法..................................7

§2.1 引言.............................................................................................................7

§2.2 算法.............................................................................................................8

§2.3 收敛性.........................................................................................................9

§2.4 数值测试...................................................................................................13

§2.5 小结...........................................................................................................15

第三章线性约束优化的自适应非单调信赖域算法............................................16

§3.1 引言...........................................................................................................16

§3.2 算法...........................................................................................................16

§3.3 收敛性.......................................................................................................17

第四章非线性优化基于逐次平均的罚函数的非单调信赖域算法....................21

§4.1 引言...........................................................................................................21

§4.2 算法...........................................................................................................23

§4.3 收敛性.......................................................................................................24

§4.4 数值测试...................................................................................................29

第五章非线性方程组的自适应仿射算法............................................................31

§5.1 引言...........................................................................................................31

§5.2 算法...........................................................................................................32

§5.3 全局收敛性...............................................................................................34

§5.4 局部收敛性...............................................................................................40

符号说明..................................................................................................................42

参考文献..................................................................................................................43

第一章绪论

§1.1 最优化问题简介

最优化理论是新兴的一门实用性很强的学科,它所研究的对象是某些数学上

定义的问题的最优解,即对于一个给出的实际问题,从众多方案中选出最优解.因

此,最优化技术运用在许多领域,如经济计划、工程设计、生产管理、交通运输等

方面得到了广泛应用[1].

下面是平时在生活中随处可见最优化的例子:

应用边际分析理论,即用微分法,对目标函数极值(最大值或最小值)来建立经

济数学模型,在企业经营管理中达到费用、成本最小、占用资金最小、利润最大、

使经济效益最好;

在看《丰田之路》此书的时候,学到了一个说法,叫做精益管理,精益管理要求

企业的各项活动都必须运用“精益思维” (Lean Thinking).“精益思维”的核心就是以

最小资源投入,包括人力、设备、资金、材料、时间和空间,创造出尽可能多的价

值,为顾客提供新产品和及时的服务;

物流中,以作为供应链上节点的物流据点为中心,支援库存的最优化和物流生

产力的提高的系统.支援极其精密的库存管理以及快速的做出决策.作业、空间的

最优化计划, 成本降低和现金流加速运转.

为应用优化技术确定最优的方案,需要针对具体的实际问题建立相应的优化

模型,再根据模型的具体形式和特性来选择适当的优化方法求解.

最优化问题的一般形式为

 

min

. .

f x

s t x X

(1.1.1)

其中,

x R

为决策变量,

 

f x

为目标函数,

X R

为约束集或可行域.特别的,如

果

X R

,则最优化问题(1.1.1)为无约束最优化问题.

约束最优化问题通常写为

 

min

. . 0, ,

0, ,

f x

s t c x i E

c x i I

 

 

(1.1.2)

这里

和

分别是等式约束和不等式约束的指标集,

 

c x

是约束函数,当目

标函数和约束函数均为线性函数时,问题称为线性规划.当目标函数和约束函数

中至少有一个是变量

的非线性函数时,问题成为非线性规划.非线性优化问题

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摘要：

摘要基于信赖域算法在很多优化问题和非线性方程组问题中都取得了很好的数值计算效果,本文将信赖域方法结合自适应技术、非单调技术、仿射方法等对优化问题进行研究,全文共分五章.第一章:介绍了优化问题和信赖域方法的一些基本原理,综述了信赖域算法在优化问题中的研究现状.第二章:给出一个无约束信赖域算法,其中信赖域模型是采用记忆模型,即过去迭代点的信息,采用这样的方法,能使算法不完全局限于由目标函数确定的当前点的信息,而是以更加全局的观点.随后,我们证明了非单调技术的全局收敛性,通过数值试验证明该算法的有效性.第三章:给出了线性约束优化问题的一个自适应信赖域算法,其中的信赖域半径是由算法本身自动进行调解的,...

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