【沪教版数学9年级上】 习题试卷-03锐角三角函数之正切重难点专练（解析版）（沪教版）

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3.0 李江 2024-09-29 8 4 2.37MB 77 页 5积分
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专题 03 锐角三角函数之正切重难点专练（解析版）
第 I 卷（选择题）
一、单选题
1．（2019·上海九年级单元测试）如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，
若将 绕着点 A逆时针旋转得到 ，则 的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
过C点作 CD AB⊥，垂足为 D，根据旋转性质可知，∠B′= B∠，把求 tanB′的问题，转
化为在 Rt BCD△中求 tanB．
【详解】
过C点作 ，垂足为 D
则根据旋转性质可知，
在 中，
所以
故选 B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
第 II 卷（非选择题）
二、解答题
2．（2021·上海九年级专题练习）如图， 中， ， ，
，点 为斜边 的中点， ，交边 于点 ，点 为射线 上
的动点，点 为边 上的动点，且运动过程中始终保持 ．
（1）求证： ；
（2）设 ， ，求 关于 的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接 ，交线段 于点 ，当 为等腰三角形时，求线段 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） 或 ．
【分析】
（1）根据 ， 得 ， ，即可得
．
（2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出
，求出 ，再根据 ，列出函数关系
式，化简即可．
（3）先证 ，再分 3种情况讨论，分别求出 AP 的长．
【详解】
解：（1）∵ ， ，
∴∠ADP+∠PDE=90°，∠EDQ+∠PDE=90°，
∴，
∵， ，
∴∠A+∠B=90°，∠B+∠DEQ=90°，
∴，
∴．
（2）∵ ，
∴，
∵点 为斜边 的中点，
∴，
∴，
∵，AC=6，BC=8，
∴在 中， ， ，
∵D为AB 中点，
∴BD=5，DE=，
∴BE=，
∵，
∴，
∵=y，
∴．
（3）∵ ，
∴，
∵∠PDF+∠EDQ=90°，∠BDQ+∠EDQ=90°，
∴，
∴，
∴为等腰三角形时， 亦为等腰三角形，
①若 ，则∠QDB=∠B，
∵∠QDB+∠EDQ=90°，∠B+∠DEB=90°，
∴∠DEB=∠EDQ，
∴DQ=QE，
∴点Q为BE 中点，
∴y=BQ= = BE= ，
解得:．
②若 ，则 =5
∴y=，
解得： ．
③若 ，
∵连接 ，交线段 于点
∴点Q在线段 BE 上，
∴∠BDQ≤90°，
∵AC<BC，∠ACB=90°，
∴∠B<45°，
∴，此种情况舍去．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定及三角函数，正
确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键.
3．（2021·上海奉贤区·九年级二模）如图，已知扇形 AOB 的半径 OA＝4，∠AOB＝
90°，点 C、D分别在半径 OA、OB 上（点 C不与点 A重合），联结 CD．点 P是弧 AB
上一点，PC＝PD．
（1）当 cot∠ODC＝ ，以 CD 为半径的圆 D与圆 O相切时，求 CD 的长；
（2）当点 D与点 B重合，点 P为弧 AB 的中点时，求∠OCD 的度数；
（3）如果 OC＝2，且四边形 ODPC 是梯形，求 的值．
【答案】（1） ；（2）67.5°；（3） 或
【分析】
（1）由题意∠COD＝90°，cot∠ODC＝ ，可以假设 OD＝3k，OC＝4k，则
CD＝5k，证明 AC＝OC＝4k＝2，推出 k＝ ，可得结论．
（2）如图 2中，连接 OP，过点 P作PE⊥OA 于E，PF⊥OB 于F．利用全等三角形的
性质证明△PCB 是等腰直角三角形，可得结论．
（3）分两种情形：如图 3 1﹣中，当 OC∥PD 时，如图 3 2﹣中，当 PC∥OD 时，分别
求解即可．
【详解】
解：（1）如图 1中，
∵∠COD＝90°，cot∠ODC＝ ，
∴设OD＝3k，OC＝4k，则 CD＝5k，
∵以CD 为半径的圆 D与圆 O相切，
∴CD＝DB＝5k，
∴OB＝OA＝8k，
∴AC＝OC＝4k＝2，
∴k＝ ，
∴CD＝ ．
（2）如图 2中，连接 OP，过点 P作PE⊥OA 于E，PF⊥OB 于F．
∵，
∴∠AOP＝∠POB，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，
∵∠PEC＝∠PFB＝90°，PD＝PC，
∴Rt△PEC≌Rt△PFB（HL），
∴∠EPC＝∠FPB，
∵∠PEO＝∠EOF＝∠OFP＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPF＝∠CPB＝90°，
∴∠PCB＝∠PBC＝45°，
∵OP＝OB，∠POB＝45°，
∴∠OBP＝∠OPB＝67.5°，
∴∠CBO＝67.5° 45°﹣＝22.5°，
∴∠OCD＝90° 22.5°﹣＝67.5°．
（3）如图 3 1﹣中，当 OC∥PD 时，
∵OC PD∥，
∴∠PDO＝∠AOD＝90°，
∵CE⊥PD，
∴∠CED＝90°，
∴四边形 OCED 是矩形，
∴OC＝DE＝2，CE＝OD，
设PC＝PD＝x，EC＝OD＝y，
则 ，
解得 x1＝2 2﹣，x2＝－2 2﹣（不合题意，舍去），
∴PD＝2 2﹣，
∴，
如图 3 2﹣中，当 PC∥OD 时，
∵PC OD∥，
∴∠COD＝∠OCE＝∠CED＝90°，
∴四边形 OCED 是矩形，
∴OC＝DE＝2，CE＝OD，
摘要：

专题03锐角三角函数之正切重难点专练（解析版）第I卷（选择题）一、单选题1．（2019·上海九年级单元测试）如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】过C点作CDAB⊥，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=B∠，把求tanB′的问题，转化为在RtBCD△中求tanB．【详解】过C点作，垂足为D则根据旋转性质可知，在中，所以故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．第II卷（非选择题）二、解答题2．（2021·上海九年级专题练习）如图，中，，，，点为斜边的中点，，交边于...

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