【沪科版数学9年级上】 专项练习-专题07 二次函数的压轴题型专训（解析版）

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3.0 周伟光 2024-09-30 8 4 3.51MB 70 页 5积分
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专题 07 二次函数的压轴题型专训
【精选最新 30 道二次函数的压轴题型专训】
1．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知点 在直线 上，点 在抛物线
上，若 且 ，则 的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设直线 与抛物线 对称轴左边的交点为 ，设抛物线顶点坐标为 ，求得
其坐标的横坐标，结合图象分析出 的范围，根据二次函数的性质得出 ，进而即可求
解．
【详解】解：如图所示，设直线 与抛物线 对称轴左边的交点为 ，设抛物线顶点
坐标为
联立
解得： 或
∴，
由 ，则 ，对称轴为直线 ，
设 ，则点 在 上，
∵且 ，
∴点在 点的左侧，即 ， ，
当 时，
对于 ，当 ， ，此时 ，
∴，
∴
∵对称轴为直线 ，则 ，
∴的取值范围是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键．
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）有 3个不同的函数 （ 为不为 0的常数， ，2，3）；4个
不同的二次函数 ．则这 7个函数的图象的交点个数最多是（）
A．36 个B．48 个C．60 个D．72 个
【答案】C
【分析】分三种情况：3个不同的函数 与 4个不同的二次函数 的交点个数，4个不同的二
次函数 之间最多的交点个数，3个不同的函数 之间的交点个数，然后再相加即可．
【详解】解：∵一个函数 的图象与一个二次函数 的交点最多有 4个，
3∴个不同的函数 与 4个不同的二次函数 的交点个数最多为：
（个），
2个二次函数图象最多有 2个交点，
第3个二次函数图象与前 2个二次函数图象都有 2个交点，
第4个二次函数图象与前 3个二次函数图象电都有 2个交点，
4∴个二次函数最多的交点个数为 （个），
任意 2个函数 的图象都不存在交点，
3∴个不同的函数 之间没有交点；
综上分析可知，这 7个函数的图象的交点个数最多是 （个），故 C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数图象的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数和反比例函数图象的特点．
3．（2023·四川·统考中考真题）已知抛物线 （ ， ， 是常数且 ）过 和 两
点，且 ，下列四个结论： ； ； 若抛物线过点 ，则 ；
关于 的方程 有实数根，则其中正确的结论有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】由抛物线过 和 两点得到对称轴为直线 ，且 ， 所以得到
，进而判断 的符号，得到 ， ；抛物线过点 和 ，代入可得
和 ，解得 ，又由 ，得 ；对称轴为直线 ， ，
开口向下，所以 有最大值为 ，且 ，无法判断关于 x的方程 是否有
实数根．
【详解】解：已知抛物线过 和 两点，则对称轴为直线 ，
∵，所以 ，即 ， ，则 ，
当 时， ，则 ，所以 ，故结论①错误；
因为 ，所以 ， ，即 ，故结论②正确；
抛物线过 和 两点，代入可得 和 ，两式相减解得 ，由 可
得 ，解得 ，故结论③正确；
对称轴为直线 ， ，开口向下，
∵，
∴所以 有最大值为 ，
∵不一定成立，
∴关于 x的方程 有实数根无法确定，故结论④错误．
故选：B
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据题意判断 a，b，c与0的关系，再借助点的坐标得出
结论．
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）如图，二次函数 的图象经过点
且与 x轴交点的横坐标分别为 ，其中 ，下列结论：
①．
②．
③．
④．
⑤．
其中，结论正确的个数有（　　）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】由抛物线的开口方向判断 a的符号，由抛物线与 y轴的交点判断 c的符号，然后根据对称轴及抛
物线与 x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴，
∵抛物线与 y轴的交点为在 y轴的正半轴上，
∴，
∵抛物线对称轴所在的直线在 y轴和直线 之间，
∵，
又∵ ，
∴，
∴，故①错误；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵当 时， ，
∴，故③正确；
∵抛物线顶点纵坐标大于 2，
∵，
∴，故④错误；
当 时， ，
∴,
∵当 时， ，当 时， ,
∴， ，
∴,
∴， ，
∴，
∴，故⑤错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数 系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物
线与 y轴的交点、抛物线与 x轴交点的个数等，解答本题关键明确二次项系数 a决定抛物线的开口方向和
大小、一次项系数 b和二次项系数 a共同决定对称轴的位置．
5．（2023·山东青岛·统考三模）如图，直线 与抛物线 的图象都经过 y轴上的 D点，
抛物线与 x轴交于 两点，其对称轴为直线 ，且 ．直线 与 x轴交于点 C（点 C在
点B的右侧），则下列选项正确的是（）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据开口方向，对称轴的位置，与 y轴的交点坐标，判断出 的符号，即可判断 A选项；
当 时 ，将 代入即可得到 b与a的关系，即可判断 B选项；根据直线
与抛物线 的图象有两个交点，即可得 ,求出 x值，在根据交点在图中位置，
得到 ，即可判断 C选项；先根据交点在 右边，得到 ,即可得到 ，在通过
根于系数关系判得 ，再根据 ，即可得到 ，即可判断 D．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
．
∵抛物线对称轴是直线 ，
且.
∵抛物线与 y轴交于正半轴，
．
，
故A错误；
摘要：

专题07二次函数的压轴题型专训【精选最新30道二次函数的压轴题型专训】1．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解．【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为联立解得：或∴，由，则，对称轴为直线，设，则点在上，∵且，∴点在点的左侧，即，，当时，对于，当，，此时，∴，∴∵对称轴为直线，则，∴的取值范围是，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性...

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