八年级数学2021-2022学年重难点专练【考点培优尖子生专用】（沪教版）-专题02线段的垂直平分线和角平分线（解析版）

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专题 02 线段的垂直平分线和角平分线重难点专练（解析
版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图， 为 的外角平分
线上一点，过 作 于 ， 交 的延长线于 ，且满足
，则下列结论：① ≌ ；② ；③
；④ ．其中正确的结论有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DE=DF，再证明 ，即
可证明 Rt CDE△和Rt BDF△全等；
根据全等三角形对应边相等可得 CE=BF，利用“HL”证明 Rt ADE△和Rt ADF△全等，
可得 AE=AF，然后求出 CE=AB+AE；
FDE∠与∠BAC 都与∠FAE 互补，可得∠FDE= BAC∠，于是可证 ；
利用外角定理得 2 DAF= ABC+ ACB= ABD+ DBC + ACB∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ，由
Rt CDE Rt BDF△ △≌可得∠ABD= DCE∠，BD=DC，故∠DBC= DCB∠，于是可证明
∠DAF= CBD∠．
【详解】
解：∵AD 平分∠CAF，DE AC⊥，DF AB⊥，
DE=DF∴，=
∵，
∴，
在Rt CDE△和Rt BDF△中
，
Rt CDE Rt BDF∴△ △≌，故①正确；
CE=BF∴，
在Rt ADE△和Rt ADF△中，
Rt ADE Rt ADF∴△ △≌，
AE=AF∴，
CE=AB+AF=AB+AE∴，故②正确；
∵=，
EDF+ FAE=∴∠ ∠ ，
BAC+ FAE=∵∠ ∠ ，
FDE= BAC∴∠ ∠ ，
FDE= BDC∵∠ ∠ ，
BDC = BAC∴∠ ∠ ，故③正确；
FAE∵∠ 是△ABC 的外角，
2 DAF= ABC+ ACB= ABD+ DBC + ACB∴ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ，
Rt CDE Rt BDF∵△ △≌，
ABD= DCE∴∠ ∠ ，BD=DC，
DBC= DCB∴∠ ∠ ，
2 DAF= DCE + DBC + ACB= DBC + DCB=2 DBC∴ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ，
DAF= CBD∴∠ ∠ ，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④共 4个．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，
等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在
于需要二次证明三角形全等．
2．（2021·上海金山区·八年级期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ；
B．每个命题都有逆命题；
C．每个定理都有逆定理；
D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
【答案】C
【分析】
根据全等三角形的判定，命题与定理及角平分线的判定等知识一一判断即可．
【详解】
解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；
故本选项是正确；
B、每个命题都有逆命题，所以 B选项正确；
C、每个定理不一定有逆定理，所以 C选项错误；
D、在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，
正确．
故选 C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，命题与定理以及角平分线的判定方法，熟练利用这些
判定定理是解题关键．
3．（2021·上海市康城学校八年级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）．
A．若 ，则 B．同位角相等，两直线平行
C．对顶角相等 D．若 ， ，则
【答案】B
【分析】
分别写出各选项中命题的逆命题，然后判断其真假即可．
【详解】
解：A、逆命题为：若∣a = b∣ ∣ ∣，则 a=b，是假命题；
B、逆命题为：两直线平行，同位角相等，是真命题；
C、逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题；
D、逆命题为：若 a+b＞0，则 a＞0，ab＞0，是假命题，
故选：B．
【点睛】
本题考查了互逆命题的知识，会判断命题的真假，正确写出原命题的逆命题是解答的
关键．
4．（2021·上海八年级期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于三角形的任何一个内角
B．线段的垂直平分线上的任一点与该线段两个端点能构成等腰三角形
C．三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等
D．面积都相等的两个三角形一定全等
【答案】C
【分析】
A、B、D均可举反例说明错误，C选项可构造图形证明．
【详解】
解：A.钝角三角形与钝角相邻的外角小于该角，原命题是假命题，故该选项不符合题
意；
B.如果该点在线段上，那么不能构成等腰三角形，原命题是假命题，故该选项不符合
题意；
C.当该中线为等腰三角形底边上的中线时，根据三线合一即可得出这两个端点到这边
上的中线所在的直线的距离相等，
当三角形不是等腰三角形或中线不是等腰三角形底边上的中线时，
如图所示，AD 为△ABC 的中线，BF AD⊥，CE AD⊥，
AD∵为△ABC 的中线，
BD=CD∴，
BF AD∵ ⊥ ，CE AD⊥，
BFD= CED=90°∴∠ ∠ ，
ADB= EDC∵∠ ∠ ，
BDF CDE∴△ △≌（AAS），
BF=CE∴，
综上，三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等，原命题是真命
题，故该选项符合题意；
D.如果是一个钝角三角形和锐角三角形，某边相等且该边上的高相等，但它们不全等，
原命题是假命题，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查判断命题的真假，主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质和判定，
垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质．说明一个命题是假命题只需要举一个
反例，判断一个命题是真命题需要证明它．
5．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）下列定理中，没有逆定理的是
（ ）．
A．两直线平行，同旁内角互补
B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
C．等腰三角形两个底角相等
D．同角的余角相等
【答案】D
【分析】
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题．
【详解】
解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故本选项不符合题意；
B、逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，
故本选项不符合题意；
C、逆命题是：如果三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题，
故本选项不符合题意；
D、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，是假命题，故本
选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了互逆定理的知识，如果一个定理的逆命题是假命题，那这个定理就没
有逆定理．
6．（2019·上海全国·八年级课时练习）如图，在△ABC 中，AD 平分
∠BAC，DE AB⊥于E， =15，DE=3，AB=6，则 AC 长是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 AC 边上的高，再利用
SABD△+S ACD△=S ABC△，即可得解．
【详解】
解：作 DF AC⊥于F，如图：
AD∵平分∠BAC，DE AB⊥，DF AC⊥，
DE=DF=3∴，
S∵ABD△+S ACD△=S ABC△，
∴，
AC=4∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7．（2020·上海闵行区·八年级期中）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CH AB⊥，
垂足为点 H，AD 平分∠BAC，与 CH 相交于点 D，过点 D作DE BC∥，与边 AB 相交
于点 E，那么下列结论中一定正确的是（ ）
A．DA=DE B．AC=EC C．AH＝EH D．CD＝ED
【答案】D
【分析】
根据题意可以分析出 A、B、C三个选项要成立同时成立，所以 D选项一定正确，可以
通过证明 ，验证 D选项正确．
【详解】
解：可以分析出 A、B、C选项任何一个成立，那么都可以得到 CH 是AE 的垂直平分
线，那么就可以推出其他两个选项也都成立，但这是不可能的，所以 A、B、C都不一
定正确，
D选项一定正确，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
AD∵平分 ，
摘要：

专题02线段的垂直平分线和角平分线重难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2020·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）如图，为的外角平分线上一点，过作于，交的延长线于，且满足，则下列结论：①≌；②；③；④．其中正确的结论有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再证明，即可证明RtCDE△和RtBDF△全等；根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，利用“HL”证明RtADE△和RtADF△全等，可得AE=AF，然后求...

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