七年级数学下册培优练习【考点培优尖子生专用】（沪教版）-12 几何思想之等边三角形综合专练（解析版）

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3.0 李佳 2024-10-12 9 4 1.36MB 41 页 15积分

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编者优尖升教育：

本专辑专为 2022-2023 年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。

思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中

等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前 4题；基础中等的学生必做前 4题、选做 5-8

题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。

专题 12 几何思想之等边三角形综合专练（解析版）

错误率：___________易错题号：___________

一、单选题

1．如图，等边△ABC 中，BD⊥AC 于D，QD＝15，点 P、Q分别为 AB、AD 上的两个定点且 BP＝AQ＝

20，在 BD 上有一动点 E使PE+QE 最短，则 PE+QE 的最小值为（　　）

A．35 B．40 C．50 D．60

【标准答案】C

【思路指引】

作点 Q关于 BD 的对称点 Q′，连接 PQ′交BD 于E，连接 QE，此时 PE+EQ 的值最小．最小值

PE+PQ=PE+EQ′=PQ′．

【详解详析】

解：

如上图，∵△ABC 是等边三角形，

∴BA=BC，

∵BD⊥AC，

∴AD=DC=AQ+QD=20+15=35cm，

∴AB=AC=2AD=70，

作点 Q关于 BD 的对称点 Q′，连接 PQ′交BD 于E，连接 QE，此时 PE+EQ 的值最小．最小值为

PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，

∴QD=DQ′=15（cm），

∴AQ′=AD+DQ′=35+15=50(cm)

∵BP=20（cm），

∴AP=AB-BP=70-20=50（cm）

∴AP=AQ′=50（cm），

∵∠A=60°，

∴△APQ′是等边三角形，

∴PQ′=PA=50（cm），

∴PE+QE 的最小值为 50cm．

故选：C．

【名师指路】

本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短

问题．

2．如图，在△ABC 中，AC=BC=8，∠BCA=60°，直线 AD⊥BC 于点 D，E是AD 上的一个动点，连接

EC，将线段 EC 绕点 C按逆时针方向旋转 60°得到 FC，连接 DF，则在点 E的运动过程中，DF 的最小值

是（）

A．1 B．1.5 C．2 D．4

【标准答案】C

【思路指引】

取线段 AC 的中点 G，连接 EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出 CD=CG 以及

∠FCD=∠ECG，由旋转的性质可得出 EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理 SAS 证出

△FCD≌△ECG，进而即可得出 DF=GE，再根据点 G为AC 的中点，即可得出 EG 的最小值，此题得解．

【详解详析】

解：取线段 AC 的中点 G，连接 EG，如图所示．

∵AC=BC=8，∠BCA=60°，

∴△ABC 为等边三角形，且 AD 为△ABC 的对称轴，

∴CD=CG=AB=4，∠ACD=60°，

∵∠ECF=60°，

∴∠FCD=∠ECG，

在△FCD 和△ECG 中，

，

∴△FCD≌△ECG（SAS），

∴DF=GE．

当EG∥BC 时，EG 最小，

∵点G为AC 的中点，

∴此时 EG=DF=CD=BC=2．

故选：C．

【名师指路】

本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是通过

全等三角形的性质找出 DF=GE，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性

质找出相等的边是关键．

3．在边长为 8的等边中，为边上的中点，是线段上的一点，是射线上的一点，

且，，则的长为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【标准答案】A

【思路指引】

在AC 的延长线上取点 E，使得 CE＝CD，利用全等三角形的判定和性质解答即可．

【详解详析】

解：如图，在 AC 的延长线上取点 E，使得 CE＝CD，

则∠CDE＝∠CED＝30°，

∴∠ADE＝120°，∠MDN＝120°，

∴∠MDA＝∠NDE，

∵∠MAD＝∠NED＝30°，

∵AD＝DE，

在△MDA 与△NDE 中，

∴△MDA≌△NDE（AAS），

∴NE＝MA＝1，

∴CN＝4−1＝3，

故选：A．

【名师指路】

此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．

4．如图，点 D是等边△ABC 内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE 是由△ABD 绕点 A逆时针旋

转得到的，则∠ADC 的度数是（　　）

A．40° B．45° C．105° D．55°

【标准答案】C

【思路指引】

连接 DE，由旋转的性质可证明是等边三角形，得，，再由

勾股定理的逆定理可证明是等腰直角三角形得出，从而可得出结论．

【详解详析】

解：连接 DE，如图：

∵是等边三角形，

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摘要：

编者优尖升教育：本专辑专为2022-2023年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题12几何思想之等边三角形综合专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（　　）A．35B．40...

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