七年级数学下册（知识总结+练习）（沪教版）-第11讲等腰三角形性质与判定（解析版）

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第 11 讲等腰三角形性质与判定（核心考点讲与练）
一．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任
意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
二．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等
边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来
底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
三．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、
角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底
边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时
不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等
三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
一．等腰三角形的性质（共 5小题）
1．（2021 春•普陀区校级月考）△ABC 中，∠BAC＝∠BCA，AD 平分∠BAC，DE∥AC，下列说
法正确的是（　　）
A．∠B＝36° B．∠ADB＝108° C．∠ADB＝3∠EDA D．∠AED＝3∠B
【分析】设∠CAD＝x°，由条件可推得∠BDE＝∠BCA＝∠BAC＝2x°，∠ADE＝x°，即可推导
出结论．
【解答】解：设∠CAD＝x°，
∵AD 平分∠BAC，∠BAC＝∠BCA，
∴∠BCA＝∠BAC＝2x°，
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠BCA＝2x°，∠ADE＝∠CAD＝x°，
∴∠ADB＝∠BDE+∠ADE＝2x°+x°＝3x°，
即∠ADB＝3∠EDA，
故选：C．
【点评】此题考查了几何推理能力，关键是将等腰三角形、平行线、角平分线等方面知识综
合运用推理．
2．（2021 春•闵行区期末）已知在等腰△ABC 中AB＝AC，∠B＝2∠A，求∠B的度数．
【分析】首先根据等边对等角得到∠B＝∠C，然后利用∠B＝2∠A得到∠B＝∠C＝2∠A，从
而利用三角形内角和定理求得答案．
【解答】解：∵等腰△ABC 中AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝2∠A，
∴∠B＝∠C＝2∠A，
设∠A＝x°，
则∠B＝∠C＝2x°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
2∴x+2x+x＝180，
解得：x＝36，
∴∠B＝2x＝2×36°＝72°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形等边对等角的性质，
难度不大．
3．（2021 春•奉贤区期末）如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝A
B，连接 BD 并延长，交 AC 的延长线于点 E，求∠ADE 的度数．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可求∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝40°，根据等腰三
角形的性质可求∠BDA，再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠BDA＝×（180° 40°﹣）＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣∠BDA＝180° 70°﹣＝110°．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是熟练掌握等腰三角形的底角相等和三线合一的
性质．
4．（2021 春•松江区期末）如图，已知直线 AB∥CD，∠ACD 的平分线 CE 交AB 于点 F，∠AFE
的平分线交 CA 延长线于点 G．
（1）说明 AC＝AF 的理由；
（2）若∠FCD＝32°，求∠G的大小．
【分析】（1）由题意可得∠ACF＝∠DCF，∠AFC＝∠DCF，则∠ACF＝∠AFC，结论得证；
（2）可求出∠GAF＝60°，∠AFC＝30°，可求出∠GFA＝75°，则∠G可求出．
【解答】（1）证明：∵∠ACD 的平分线 CE 交AB 于点 F，
∴∠ACF＝∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠AFC＝∠DCF，
∴∠ACF＝∠AFC，
∴AC＝AF；
（2）解：∵∠FCD＝32°，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠GAF＝64°，∠AFC＝32°，
∵∠AFE 的平分线交 CA 延长线于点 G．
∴∠AFG＝∠GFE＝AFE＝ ，
∴∠G＝180°﹣∠GAF﹣∠AFG＝180° 64° 74°﹣ ﹣ ＝42°．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键
是熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和定理．
5．（2021 春•杨浦区期末）已知在△ABC 与△CDE 中，AB＝CD，∠B＝∠D，∠ACE＝∠B，点
B、C、D在同一直线上，射线 AH、EI 分别平分∠BAC、∠CED．
（1）如图 1，试说明 AC＝CE 的理由；
（2）如图 2，当 AH、EI 交于点 G时，设∠B＝α，∠AGE＝β，求 β与α的数量关系，并说明
理由；
（3）当 AH∥EI 时，求∠B的度数．
【分析】（1）由∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B，∠B＝∠ACE，可得∠A＝∠ECD．再
结合已知用 ASA 可证明△ABC≌△CDE，从而 AC＝CE；
（2）连接 GC 并延长至点 K．因为 AH、EI 分别平分∠BAC、∠DEC，则设∠CAH＝∠BAH＝
a，∠CEI＝∠DEI＝b，由三角形外角关系可得∠ACK＝a+∠AGC，∠ECK＝b+∠EGC，所以
∠ACE＝∠ACK+∠ECK＝α＝（a+∠AGC）+（b+∠EGC）＝a+b+β，即 a+b＝α﹣β．又由
（1）中结论可知∠ECD＝∠BAC＝2a，根据三角形内角和公式可得∠ECD+∠DEC+∠D＝180
°，即 2a+2b+α＝180°，可得 3α2﹣β＝180°；
（3）当 AH∥EI 时，过点 C作MN∥AH，则 MN∥AH∥EI．易证∠ACE＝∠ACM+∠ECM，
即α＝a+b．在△CED 中，根据三角形内角和定理有 2a+2b+α＝180°，解得 α＝60°，故∠B＝6
0°．
【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B，
又∠B＝∠ACE，
∴∠A＝∠ECD．
在△ABC 和△CDE 中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）．
∴AC＝CE．
（2）解：3α2﹣β＝180°．理由如下：
如图 1所示，连接 GC 并延长至点 K．
∵AH、EI 分别平分∠BAC、∠DEC，
则设∠CAH＝∠BAH＝a，∠CEI＝∠DEI＝b，
∵∠ACK 为△ACG 的外角，
∴∠ACK＝a+∠AGC，
同理可得∠ECK＝b+∠EGC，
∴∠ACE＝∠ACK+∠ECK＝∠B＝α
＝（a+∠AGC）+（b+∠EGC）＝a+b+∠AGE＝a+b+β，
即α＝a+b+β，
∴a+b＝α﹣β．
又由（1）中证明可知∠ECD＝∠BAC＝2a，
由三角形内角和公式可得∠ECD+∠DEC+∠D＝180°，
即2a+2b+α＝180°，
2∴（a+b）+α＝180°，
3∴α2﹣β＝180°．
（3）当 AH∥EI 时，如图 2所示，
过点 C作MN∥AH，则 MN∥AH∥EI．
∴∠CAH＝∠ACM＝a，∠CEI＝∠ECM＝b，
∴∠ACE＝∠ACM+∠ECM＝a+b＝α，即 α＝a+b．
由（1）中证明可得∠ECD＝∠BAC＝2a，∠D＝∠B＝α．
在△CED 中，根据三角形内角和定理有∠ECD+∠CED+∠D＝180°，
摘要：

第11讲等腰三角形性质与判定（核心考点讲与练）一．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．二．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办...

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