七年级数学下册（知识总结+练习）（沪教版）-第10讲全等三角形的判定与性质及应用（解析版）

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3.0 李佳 2024-10-14 6 4 1.29MB 53 页 15积分

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第 10 讲全等三角形的判定与性质及应用（核心考点讲与练）

一．全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形

全等时，关键是选择恰当的判定条件．

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线

构造三角形．

二．全等三角形的应用

（1）全等三角形的性质与判定综合应用

用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真

分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．

（2）作辅助线构造全等三角形

常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中

线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这

些问题经常用到全等三角形来证明．

（3）全等三角形在实际问题中的应用

一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条

件转化为三角形中的边角关系是关键．

一．全等三角形的判定与性质（共 9小题）

1．（2020 秋•宝山区校级期末）已知：如图，点 A、B、C、D在同一条直线上，AB＝DC，AE∥

DF，AE＝DF，求证：EC＝FB．

【分析】由AE∥DF 得∠A＝∠D，由 AB＝DC，得 AC＝BD，再根据 SAS 证明△AEC≌△DFB

即可得出结论．

【解答】证明：∵AE∥DF，

∴∠A＝∠D，

∵AB＝DC，

∴AC＝BD，

在△AEC 与△DFB 中，

，

∴△AEC≌△DFB（SAS），

∴EC＝FB．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的

关键．

2．（2021 秋•普陀区期末）如图，已知点 B、D、C、F在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，A

C∥DE，如果 BF＝6，DC＝3，那么 BD 的长等于（　　）

A．1 B．C．2 D．3

【分析】由平行线的性质得到∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF，证得△ABC≌△EFD，得到 BC＝

FD，进而得到 BD＝FC，即可得出 BD＝（BF﹣DC）＝．

【解答】解：∵AB∥EF，

∴∠B＝∠F，

∵AC∥DE，

∴∠ACB＝∠EDF，

在△ABC 和△EFD 中，

，

∴△ABC≌△EFD（AAS），

∴BC＝FD，

∴BC﹣DC＝FD﹣DC，

∴BD＝FC，

∴BD＝（BF﹣DC）＝（6 3﹣）＝．

故选：B．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得 ABC≌△EFD 是解决问题的关键．

3．（2021 秋•崇明区校级期末）已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．

求证：∠AFC＝2∠ADC．

【分析】根据 HL 证明 Rt△ABD Rt≌ △AED，得出∠BAD＝∠EAD 再由 AB∥CD 可推出∠EAD

＝∠ADC，最后根据外角的性质即可得出结论．

【解答】证明：在 Rt△ABD 与Rt△AED 中，

，

Rt∴ △ABD Rt≌ △AED（HL），

∴∠BAD＝∠EAD，

∵AB∥CD，

∴∠BAD＝∠ADC，

∴∠EAD＝∠ADC，

∵∠AFC＝∠EAD+∠ADC，

∴∠AFC＝2∠ADC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌

握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

4．（2021 秋•徐汇区校级期末）如图，△ABC 和△DBC 中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC 的

中点，且 ED⊥AB 于点 F，且 AB＝DE，CD 交AB 于点 M．

（1）求证：BD＝2EC；

（2）求△ACM 与△BCM 的面积之比．

【分析】（1）由 E是BC 的中点得出 BC＝2EC，证明△ABC≌△EDB，得出 DB＝BC，即可

得出 BD＝2EC；

（2）由（1）可知 DB＝2AC 得出，由△ACM∽△BDM 得出，

即可得出△ACM 与△BCM 的面积之比．

【解答】（1）证明：∵E是BC 的中点，

∴BC＝2EC，

∵∠ACB＝∠DBC＝90°，

∴∠ABC+∠A＝90°，

∵ED⊥AB，

∴∠ABC+∠DEB＝90°，

∴∠A＝∠DEB，

在△ABC 和△EDB 中

，

∴△ABC≌△EDB（AAS），

∴DB＝BC，

∴DB＝2EC；

（2）解：∵△ABC≌△EDB，

∴BE＝AC，

∵E是BC 的中点，

∴AC＝CE＝BC，

∵DB＝2EC，

∴DB＝2AC，

∴，

∵∠ACB＝∠DBC＝90°，

∴AC∥DB，

∴∠A＝∠DBM，∠ACM＝∠BDM，

∴△ACM∽△BDM，

∴，

∴△ACM 与△BCM 的面积之比为 1：2．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形的全等和相似是解决问题的关键．

5．（2021 秋•浦东新区校级期中）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，BE 与CD 相交

于点 F．

求证：（1）∠ADC＝∠AEB；

（2）FD＝FE．

【分析】（1）利用 AAS 证明△ABD≌△ACE 即可；

（2）连接 DE，利用等腰三角形的性质和判定即可证明结论．

【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE，

∴∠BAD+∠EAD＝∠CAE+∠DAE，

∴∠BAE＝∠CAD，

在△ABE 与△ACD 中，

，

∴△ABE≌△ACD（SAS），

∴∠ADC＝∠AEB；

（2）连接 DE，

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED，

∵∠ADC＝∠AEB，

∴∠ADC﹣∠ADE＝∠AEB﹣∠AED，

∴∠FDE＝∠FED，

∴FD＝FE．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等

腰三角形的性质和判定是解题的关键．

6．（2021 秋•徐汇区校级期中）已知在△ABC 中，AB＝AC，在边 AC 上取一点 D，以 D为顶点，

DB 为一条边作∠BDF＝∠A，点 E在AC 的延长线上，∠ECF＝∠ACB．

求证：（1）∠FDC＝∠ABD；

（2）DB＝DF；

（3）当点 D在AC 延长线上时，DB＝DF 是否依然成立？在备用图中画出图形，并说明理由．

【分析】（1）根据角的和差即可得到结论；

（2）过 D作DG∥BC 交AB 于G，根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即

可得到结论；

（3）过 D作DG∥BC 交AB 于G，根据平行线的性质得到∠ADG＝∠ACB，∠AGD＝∠ABC，

根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．

【解答】（1）证明：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，

即∠BDF+∠FDC＝∠A+∠ABD，

∵∠BDF＝∠A，

∴∠FDC＝∠ABD；

（2）过 D作DG∥BC 交AB 于G，

∴∠ADG＝∠ACB，∠AGD＝∠ABC，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠AGD＝∠ADG，

∴AD＝AG，

∴AB﹣AG＝AC﹣AD，

即BG＝DC，

∵∠ECF＝∠ACB＝∠AGD，

∴∠DGB＝∠FCD，

在△GDB 与△CFD 中，

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摘要：

第10讲全等三角形的判定与性质及应用（核心考点讲与练）一．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．二．全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同...

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