七年级数学下册（知识总结+练习）（沪教版）-第07讲三角形的有关概念（解析版）

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第 07 讲三角形的有关概念（核心考点讲与练）
一．三角形
（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相
等的等腰三角形即等边三角形）．
（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．
（4）三角形具有稳定性．
二．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的
线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边
重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一
条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
三．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即 S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
四．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这
一特性主要应用在实际生活中．
五．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要
两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定
时炸弹，容易忽略。
一．三角形（共 2小题）
1．（2018 春•浦东新区期末）设 M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q
表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　）
A．B．
C．D．
【分析】根据它们的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两条边相等的三角形
是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是直角且有两条边相等的三
角形是等腰直角三角形．
根据概念就可找到它们之间的关系．
【解答】解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系．
故选：C．
【点评】考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系．
2．（2021 秋•静安区期末）下列说法错误的是（　　）
A．任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形
B．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形
C．任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形
D．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形
【分析】根据等腰三角形的判定和直角三角形的性质判断即可．
【解答】解：A、任意一个直角三角形被斜边的中线分割成两个等腰三角形，说法正确；
B、有的等腰三角形不能分割成两个等腰三角形，说法错误；
C、任意一个直角三角形可以被斜边的高分割成两个直角三角形，说法正确；
D、任意一个等腰三角形可以被底边上的高分割成两个直角三角形，说法正确；
故选：B．
【点评】此题考查三角形，关键是根据等腰三角形的判定和直角三角形的性质解答．
二．三角形的角平分线、中线和高（共 5小题）
3．（2021 春•惠来县期末）三角形的角平分线、中线、高都是（　　）
A．直线 B．线段 C．射线 D．以上都不对
【分析】三角形的中线，角平分线，高都是线段，因为它们都有两个端点．
【解答】解：三角形的角平分线、中线、高都是线段．
故选：B．
【点评】线段与直线都没有方向性，而射线具有方向性；线段有两个端点，可以度量，而射
线和直线都无法度量．
4．（2020•奉贤区二模）如果线段 AM 和线段 AN 分别是△ABC 边BC 上的中线和高，那么下列判
断正确的是（　　）
A．AM＞AN B．AM≥AN C．AM＜AN D．AM≤AN
【分析】根据三角形的高的概念得到 AN⊥BC，根据垂线段最短判断．
【解答】解：∵线段 AN 是△ABC 边BC 上的高，
∴AN⊥BC，
由垂线段最短可知，AM≥AN，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念，掌握垂线段最短是解题的关键．
5．（2021 春•青浦区期中）直角三角形的三条高的交点在　直角顶点　．
【分析】根据三角形的高的概念解答即可．
【解答】解：∵直角三角形有两条高与直角边重合，
∴它们的交点是直角顶点，
故答案为：直角顶点．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交
于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点
是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相
交于三角形外一点．
6．（2021 春•阳谷县期末）在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是　 0
或
2 　 条．
【分析】当三角形为钝角三角形时，三角形的高有两条在三角形外，一条在三角形内；当三
角形为直角三角形和锐角三角形时没有高在三角形外．由此即可确定三角形的三条高中，在
三角形外部的最多有多少条．
【解答】解：∵当三角形为直角三角形和锐角三角形时，没有高在三角形外；而当三角形为
钝角三角形时，三角形的高有两条在三角形外，一条在三角形内．
∴三角形的三条高中，在三角形外部的最多有 2条．
故答案为：0或2．
【点评】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握三角形高的定义和画法．
7．（2017 春•辉县市期末）如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，∠E
AD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻
的两个内角的和求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定
理列式计算即可得解．
【解答】解：∵AD 是BC 边上的高，∠EAD＝5°，
∴∠AED＝85°，
∵∠B＝50°，
∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝85° 50°﹣＝35°，
∵AE 是∠BAC 的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180° 50° 70°﹣ ﹣ ＝60°．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三
角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准
确识图是解题的关键．
三．三角形的面积（共 8小题）
8．（2021 秋•浦东新区校级月考）如果三角形各边都扩大4倍，那么下列结论正确的是（　　）
A．周长扩大4倍，面积扩大2倍
B．周长扩大2倍，面积扩大4倍
C．周长扩大4倍，面积扩大4倍
D．周长扩大4倍，面积扩大16 倍
【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方
即可得出结果．
【解答】解：根据相似三角形的周长之比等于相似比，所以当三角形各边都扩大4倍后，周
长也扩大到原来的 4倍；
根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，所以当三角形各边都扩大4倍后，面积扩大
到原来的 16 倍；
故D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的周长之比等于相似比，相
似三角形的面积之比等于相似比的平方这一性质．
9．（2021 春•浦东新区校级期中）如图，已知∠1＝∠2，AD＝2BC，三角形 ABC 的面积为 3，
求△CAD 的面积．
【分析】根据平行线之间的距离相等即可求出△CAD 的面积．
摘要：

第07讲三角形的有关概念（核心考点讲与练）一．三角形（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．（4）三角形具有稳定性．二．三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个...

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