七年级数学下册（知识总结+练习）（沪教版）-第06讲 平行线的性质（解析版）

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第 06 讲 平行线的性质（核心考点讲与练）
一．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理 2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角
互补．
定理 3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
二．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻
找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
三．平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离处处相等．
一．平行线的性质（共 10 小题）
1．（2021 春•浦东新区期末）如图，由 AB∥CD 可以得到（　　）
A．∠BAC＝∠DAC B．∠DAC＝∠ACB
C．∠BAC＝∠DCA D．∠D+∠DCB＝180°
【分析】根据平行线的性质判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
故选：C．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
2．（2021 春•黄浦区期中）如图，AB∥EG∥DC，AC∥EF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）
有（　　）个．
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】运用两直线平行，同位角相等和两直线平行，内错角相等得到∠1的等角，由对顶角
相等可得∠1的等角，利用等量代换也可得到∠1的等角，综上，结论可得．
【解答】解：∵AB∥EG，
1∴∠ ＝∠BAC．
∵EG∥CD，
1∴∠ ＝∠ACD．
∵AC∥EF，
1∴∠ ＝∠FEH，∠FEH＝∠EFD．
1∴∠ ＝∠EFD．
∵对顶角相等，
1∴∠ ＝∠GHC．
综上，与∠1相等的角有：∠BAC，∠ACD，∠FEH，∠EFD，∠GHC．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，准确找出与∠1相等的同位角，内错角
是解题的关键．
3．（2021 春•松江区期末）如图，已知在△ABC 中，点 D在边 AC 上，DA＝DB，过点 D作DE
∥AB 交边 BC 于点 E，请说明∠BDE＝∠CDE 的理由．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠DBA，根据平行线的性质得到∠BDE＝∠DBA，
∠CDE＝∠DAB，等量代换证明结论．
【解答】证明：∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA，
∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠DBA，∠CDE＝∠DAB，
∴∠BDE＝∠CDE．
【点评】本题考查的是平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握两直线平行，同位角相等和
两直线平行，内错角相等是解题的关键．
4．（2021 春•奉贤区期中）下列说法中，错误的的个数有（　　）
①如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
③如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补
④经过点有且只有一条直线与已知直线平行
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行线的性质，对顶角的定义以及垂线段最短进行判断即可．
【解答】解：①如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，原来的说法错误；
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，说法正确；
③如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角不一定互补，原来的说法错误；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原来的说法错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，对顶角的概念以及垂线段的性质的运用，解题时注
意：两直线平行，同位角相等；对顶角相等．
5．（2021 春•普陀区期中）下列说法中，正确的有（　　）
①如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等；
②在同一平面内，经过直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
③联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据对顶角的定义，平行线的定义，平行公理和垂线的性质分别进行判断，即可求
出答案．
【解答】解：①如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角不一定相等，应强调是两直线
平行，故本选项错误；
②在同一平面内，经过直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确；
③联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故本选项正确；
④如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，还要看这两个角的位置关系，故本选项
错误；
所以正确的有 2个．
故选：C．
【点评】此题考查了平行公理及推论，用到的知识点是对顶角的定义，平行线的定义，平行
公理和垂线的性质，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键，是一道基础题．
6．（2021 春•上海期中）已知 AB∥CD，∠1＝95°，则∠2的度数是（　　）
A．85° B．75° C．65° D．55°
【分析】根据平行线的性质计算即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝95°，
2∴∠ ＝180° 95°﹣＝85°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同旁内角互补的知识点．
7．（2021 秋•普陀区期中）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E是边 CD 上一点，
且AE 平分∠BAD，BE 平分∠ABC．
求证：
（1）AE⊥BE；
（2）E是线段 CD 的中点．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABC+∠BAD＝180°，再利用角平分线的定义可得：∠A
BE＝ ∠ABC，∠BAE＝ ∠BAD，从而可求解；
（2）过点 E作EF∥AD，由平行线的性质可得 EF∥BC，∠DAE＝∠AEF，结合角平分线的定
义得∠DAE＝∠BAE，从而有∠BAE＝∠AEF，则有 AF＝EF，同理可求得 BF＝EF，故有 AF
＝BF，可得点 F是AB 的中点，即可得解．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AE 平分∠BAD，BE 平分∠ABC，
∴∠ABE＝ ∠ABC，∠BAE＝ ∠BAD，
∵∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝180°﹣（∠ABC+∠BAD）＝90°，
∴AE⊥BE；
（2）过点 E作EF∥AD，如图所示：
∴∠DAE＝∠AEF，
∵AE 平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∵AD∥BC，
∴EF∥BC，
同理可证得：BF＝EF，
∴AF＝BF，
∴点F是AB 的中点，
∴点E是CD 的中点．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是作出适应的辅助线，并熟记平行线的性
质．
8．（2021 春•浦东新区校级期中）（1）如图 a所示，AB∥CD，且点 E在射线 AB 与CD 之间，
请说明∠AEC＝∠A+∠C的理由；
（2）现在如图 b示，仍有 AB∥CD，但点 E在AB 与CD 的上方，请尝试探索∠1，∠2，∠E
三者的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）如图 a，过点 E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可；
（2）如图 b，过点 E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可．
【解答】解：（1）如图 a，过点 E作EF∥AB；
∴∠A＝∠AEF（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∴EF∥CD（平行的传递性），
摘要：

第06讲平行线的性质（核心考点讲与练）一．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．二．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到...

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