半光滑非线性方程组的迭代算法

VIP免费

3.0 牛悦 2024-11-11 4 4 635.63KB 40 页 15积分

侵权投诉

摘要

求解半光滑非线性方程组是运筹学领域较为经典且研究较多的一类问题, 在

一些实际的工程问题中经常会用到求解半光滑非线性方程组来解决相应的稳定性.

本篇硕士论文主要是通过先将半光滑的非线性方程组转化为光滑的非线性方程组

问题, 再通过构造不同的算法来求解其最优解. 比如 Levenberg-Marquardt 与投影

梯度法的凸组合、拉格朗日谱投影梯度法, 这样我们就能够有效的解决一系列的半

光滑有约束的非线性方程组的问题, 并得出其相应的算法和证明, 给出了具体的

数值试验. 本文的结构可以概括为如下几部分：

第一章：给出了半光滑非线性方程组的实际运用和一般形式, 以及本文能够运

用到的一些基本原理和性质定理, 综合表达了对于半光滑非线性方程组问题的一

些研究现状和未来发展的方向.

第二章：针对一系列的半光滑非线性方程组而给出的一个光滑算法. 与传统的

算法相比, 新的方法不需要考虑雅可比矩阵是非奇异的. 通过使用一些适合的方

法来选择搜索方向, 并且还证明了此算法的全局收敛性和局部超线性收敛性. 最

后通过数值试验进行了验证.

第三章：给出运用拉格朗日谱投影梯度法解决半光滑非线性方程组问题. 我们

依然将有约束的优化问题转化为无约束的优化问题, 相应的半光滑函数转化成光

滑函数, 并证明出算法的收敛性.

关键词：非线性方程组投影梯度法全局收敛性局部收敛性半光滑

函数拉格朗日函数谱投影梯度

ABSTRACT

Semismooth nonlinear equations is a classic operational research problem, and has

been studied by many researches. With the widely using some practical engineering

problems, semismoothness nonlinear equations can be used to solve the correspondly

stability. In this paper, we mainly propose to solve the problem by transformaing the

semismoothness nonlinear equations into smooth nonlinear equations, structury differe-

nt algorithm to obtain the optimal solution, such as levenberg-marquardt method and

projected gradient method to solve the convex combination, lagrange spectral projected

gradient method, so that we can solve the series of semismoothness nonlinear equations

problem effectively, draw the corresponding conclusion and proof, give a specific num-

erical test. The structure of this paper can be summarized as follows:

Chapter 1: We give the semismoothness nonlinear equations of the actual used and

general type, some of the basic principles and properties theorem can be applied in this

paper. Expressing some of the current research status and future developing direction

for semismoothness nonlinear equations.

Chapter 2: We propose a smoothing algorithm for a series of semismoothness

nonlinear equations. Compared with the traditional algorithm, the new method does not

need to consider that the jacobian matrix is singular. Through the suitable methods to

select the search direction. Proving that the algorithm is globally convergence and

locally superlinear convergence. Finally, results are verified though the numerical test.

Chapter 3: We introduce the lagrange spectral projected gradient method to solve

semismoothness nonlinear equations. We not only transform constrained optimization

problem into unconstrained optimization problem, but also transform semismoothness

function into smooth function. The convergence of the algorithm be given.

Key Words：Nonlinear Equations, Projection Gradient Method, Global

Convergence, Local Convergence, Semismoothness

Function, Lagrange Function, Spectral Projected

Gradient

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论 ........................................................ 1

1.1 半光滑非线性方程组的简介 ..................................... 1

1.2 基本定义和性质 ............................................... 2

1.3 牛顿法和 Levenberg-Marquardt 算法的概述 ........................ 5

1.4 拉格朗日谱投影梯度法概述 ..................................... 7

1.5 本文的主要研究内容和结构 ..................................... 7

第二章组合投影梯度与 Levenberg-Marquardt 的迭代算法 .................. 9

2.1 引言 ......................................................... 9

2.2 性质 ........................................................ 10

2.3 光滑的投影 Levenberg-Marquardt 算法 .......................... 12

2.3.1 搜索方向 ............................................... 13

2.3.2 投影 Levenberg-Marquardt 算法. ............................... 16

2.4 收敛性分析 .................................................. 17

2.5 数值试验 .................................................... 22

2.6 小结 ........................................................ 22

第三章拉格朗日谱投影梯度求解约束半光滑非线性方程组 ............... 24

3.1 引言 ........................................................ 24

3.2 性质 ........................................................ 25

3.3 拉格朗日谱投影梯度算法 ...................................... 26

3.3.1 算法 1 .................................................. 29

3.3.2 算法 2 .................................................. 29

3.4 全局收敛性的分析 ............................................ 30

3.5 小结 ........................................................ 34

参考文献 ........................................................... 35

在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果 ..................... 38

致谢 ............................................................. 39

第一章绪论

1.1 半光滑非线性方程组的简介

本课题来源于对半光滑非线性方程组求解方法的研究.

我们考虑用

个方程和

个变量来表示非线性方程组, 通常这里的



, 若



, 则就成为单个方程分别求解的问题, 所以其一般形式可以写成

1 1 2

1 2

( , , , ) 0 ,

n n

f x x x

















(1.1.1)

其中的分量 1 2

( , , , ) 0, ( 1, 2, , )

i n

f x x x i n

 

 

代表定义域为

D R



且有

个自变量

的函数, 并且这里的分量 1 2

( , , , ) 0

i n

f x x x





至少要保证有一个是非线性的, 因为如

果这些分量都是线性的, 则此方程组就成为线性方程组. 为了方便研究它, 我们通

常令

1 2

( , , , )

x x x





, 1 2

( ) ( ( ), ( ), , ( ))

F x f x f x f x



所以式(1.1.1)即可写成

( ) 0

F x



其中 :

n n

F D R R

  ,

就是自变量定义在

D R



上, 且取值于

的函数, 即为

D R



到

的映射. 如果存在一个值



使得方程组

( ) 0

F x



成立, 就称



为

( ) 0

F x



的解. 本文主要研究求解半光滑非线性方程组的迭代算法.

非线性方程组可分为光滑的非线性方程组和非光滑的非线性方程组, 其中非

光滑的非线性方程组中半光滑非线性方程组越来越受到研究者的关注. 若

( )

f x

不

满足连续可微, 则我们称

( ) 0

F x



是半光滑非线性方程组.

求解半光滑非线性方程组问题属于运筹学的研究领域. 半光滑非线性方程组

的求解是非线性科学的核心, 半光滑非线性方程组是指不能够满足连续可微的非

线性方程组. 我们经常会遇到一些求解多变量的半光滑非线性方程组的问题. 比

如, 在放疗仪器的精密度、轨道设计和控制领域、生物化学的计算、石油地质的勘

探、数值天气预报等方面都有较广泛的应用背景. 很多研究人员针对数值计算和理

论方面都对求解半光滑非线性方程组做出了很多的成绩, 但是半光滑非线性方程

组的求解这个难题依然还是困扰我们的, 尤其是用它来解决一些实际的工程问题

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

15 积分 4人已下载

立即下载 VIP免费下载

摘要：

摘要求解半光滑非线性方程组是运筹学领域较为经典且研究较多的一类问题,在一些实际的工程问题中经常会用到求解半光滑非线性方程组来解决相应的稳定性.本篇硕士论文主要是通过先将半光滑的非线性方程组转化为光滑的非线性方程组问题,再通过构造不同的算法来求解其最优解.比如Levenberg-Marquardt与投影梯度法的凸组合、拉格朗日谱投影梯度法,这样我们就能够有效的解决一系列的半光滑有约束的非线性方程组的问题,并得出其相应的算法和证明,给出了具体的数值试验.本文的结构可以概括为如下几部分：第一章：给出了半光滑非线性方程组的实际运用和一般形式,以及本文能够运用到的一些基本原理和性质定理,综合表达了对于半...

展开>> 收起<<

半光滑非线性方程组的迭代算法.pdf

共40页,预览4页

还剩页未读，继续阅读

半光滑非线性方程组的迭代算法

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: