一类偏微分方程解的解析性和唯一性
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摘 要
许多偏微分方程在复数域上有无穷多个整函数解，对这些解的形式和性质的
研究具有重要的意义．它们在数学的多个分支以及物理学中都有重要的应用(见
[6]，[9]，[10]，[14]，[16]等)．本论文主要研究与特殊多项式相联系的一类二阶线
性偏微分方程解的解析性和唯一性．首先，研究了与盖根保尔多项式相联系的偏
微分方程，得到了其整函数解存在的充分必要条件及其增长性质.其次，研究了与
Bessel 多项式相关联的偏微分方程亚纯解的唯一性问题.
全文共分为四章.
第一章介绍了Nevanlinna 理论的基本知识和简单记号，并叙述了亚纯函数的
唯一性理论和正规族理论的基本概念和结果．
第二章研究了如下偏微分方程
22
22
22
(1)(21)(21)0
uuuu
tztz
tztz
αα
∂∂∂∂
−+−+++=
∂∂∂∂
(2.1.1)
的整函数解存在的充分必要条件和解的增长性，其中
α
∈
£
.并证明了以下三个定
理.
定理 2.1.1 取1
+
2
α
+
∈
¥
.偏微分方程(1)在
2
£
上有整函数解
(
)
,
uftz
=，当且
仅当
(
)
,
uftz
=有级数展式
( ) ( )
0
,,
n
nn
n
ftzcGtz
α
∞
=
=
∑， (2.1.2)
其中
(
)
,
n
Gt
α为Gegenbauer 多项式，且满足
lim0.
n
n
n
c
→∞
=
(2.1.3)
定理 2.1.2 若
(
)
,
ftz
是
2
£
上的整函数且满足(2.1.2)和(2.1.3)，则
(
)
,
ftz
的级
λ
满足
2log
()lim.
log1
nnn
n
ordf
c
λ→∞
==
定理 2.1.3 若
(
)
,
ftz
是
2
£
上的整函数且满足(2.1.2)和(2.1.3)，且
(
)
,
ftz
的级
λ
满足
0,
λ
<<∞
则
f
的型
σ
满足
22
2lim2.
nn
n
enc
λ
λ
λσ →∞
=
在第三章，我们主要研究了偏微分方程
( )
22
22
22
2220
uuuu
tztz
tztz
∂∂∂∂
−++−=
∂∂∂∂
(3.1.2)
的亚纯解在 CM 分担三个值时的唯一性问题，得到了
定理 3.1.5 设
(
)
,
ftz
和
(
)
,
gtz
为偏微分方程(3.1.2)的非常数整函数解，且
(
)
ordf
<
∞
，
(
)
ordg
<∞
．若
f
和
g
CM 分担
0,1,
∞
，则
fg
≡
．
在第四章，我们研究与多项式和分担值有关的正规族问题，得到了两个正规
定则．
关键词：偏微分方程 整函数解 唯一性 盖根保尔多项式 亚纯函数
贝塞尔多项式 正规族
ABSTRACT
Many nonlinear partial differential equations have infinite entire solutions，and the
study for the form and properties of the solutions has vital significance，which play an
important role in the application of many branches of mathematics and physics(see [6]，
[11]，[12]，[16]，[18]，etc)．This thesis mainly studies a class of second order linear
partial differential equations relevant to special functions，and get the analytic property
and uniqueness of their meromorphic solutions．At first，a partial differential equation
relevant to Gegenbauer polynomial is studied，and the sufficient and necessary
conditions for the existence and the growth of its entire solutions are given．Next，the
uniqueness of meromorphic solutions of a partial differential equation relevant to Bessel
polynomial is researched．
There are three chapters in this thesis．
In Chapter One，the elementary knowledge and simple marks of the Nevanlinna
theory as well as the fundamental definitions and results of the uniqueness and
normality of meromorphic functions have been introduced．
In Chapter Two，we study the entire solutions of the following partial differential
equation
22
22
22
(1)(21)(21)0()
uuuu
tztz
tztz
ααα
∂∂∂∂
−+−+++=∈
∂∂∂∂
£
(2.1.1)
and give the sufficient and necessary conditions for the existence and the growth of the
solutions．In this part，we prove three theorems as follows．
Theorem 2.1.1 Take 12
α
+
+∈
¥
．The partial differential equation (2.1.1) has an
entire solution
(,)
uftz
=
if and only if
(,)
uftz
=
has a series expansion
( ) ( )
0
,,,
n
nn
n
ftzcGtz
α
∞
=
=
∑ (2.1.2)
where
(
)
,
n
Gt
α is Gegenbauer polynomial and such that
lim0.
n
n
n
c
→∞
=
(2.1.3)
Theorem 2.1.2 If
(,)
ftz
is an entire function defined by (2.1.2) and (2.1.3)，
then the order
λ
of
(,)
ftz
satisfies
2log
()lim.
log1
nnn
n
ordf
c
λ→∞
==
Theorem 2.1.3 If
(,)
ftz
is an entire function defined by (2.1.2) and (2.1.3)，then
the type
σ
of
(,)
ftz
satisfies
22
2lim2.
nn
n
enc
λ
λ
λσ →∞
=
In Chapter Three，we study the uniqueness of the meromorphic solutions of the
following partial differential equation
( )
22
22
22
2220
uuuu
tztz
tztz
∂∂∂∂
−++−=
∂∂∂∂
(3.1.2)
who share three values counting multiplicity and get the following theorem．
Theorem 3.1.5 If
(
)
,
ftz
and
(
)
,
gtz
are non-constant meromorphic solutions
of the above differential equation (3.1.2)，and
(
)
ordf
<
,
∞
(
)
ordg
<∞
．If
f
and
g
share
0,1,
∞
counting multiplicity，then
fg
≡
．
In Chapter Four，we discuss the normal families concerning polynomials and
shared values and get two normal criteria．
Key Words: Partial differential equation, Entire solution,Uniqueness,
Gegenbauer polynomial, Meromorphic function, Bessel polynomial，
Normal families
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摘要许多偏微分方程在复数域上有无穷多个整函数解，对这些解的形式和性质的研究具有重要的意义．它们在数学的多个分支以及物理学中都有重要的应用(见[6]，[9]，[10]，[14]，[16]等)．本论文主要研究与特殊多项式相联系的一类二阶线性偏微分方程解的解析性和唯一性．首先，研究了与盖根保尔多项式相联系的偏微分方程，得到了其整函数解存在的充分必要条件及其增长性质.其次，研究了与Bessel多项式相关联的偏微分方程亚纯解的唯一性问题.全文共分为四章.第一章介绍了Nevanlinna理论的基本知识和简单记号，并叙述了亚纯函数的唯一性理论和正规族理论的基本概念和结果．第二章研究了如下偏微分方程22222...
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