脉冲效应下恒化器模型及传染病模型的研究

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3.0 赵德峰 2024-11-19 11 4 422.21KB 35 页 15积分

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第一章绪论

§ 1. 1 研究的意义及概况

近些年来，生物数学得到了迅速发展，越来越多的学者加入到生物数学研究

的行列中来，随着数学理论特别是微分方程理论的不断地发展壮大和生物学的不

断发展与进步，在生物数学研究中，微生物连续培养这门学科近些年也得到了许

多学者的关注.目前微生物连续培养模型主要有单种微生物、多种微生物模型和食

物链微生物模型．研究主要是通过建立以微分方程和积分方程为基础的数学模型，

然后应用相应的数学理论方法和计算机模拟等对模型进一步分析，这些研究结果

就为人们制定相应的措施来治理环境等提供了依据，所以微生物的连续培养模型

已经成为人们关注的重点．

微生物连续培养数学模型在四五十年代得到了很大的发展，在这个模型中一

般都假设培养器内有好的搅拌装置能使营养基的浓度达到均匀的程度，由于营养

基的浓度是均匀的，就可以把微生物的浓度看成是培养时间的函数．生物学家提

出了许多形式的功能反应函数，如现在我们经常用到的Monod，Blackman，Monod

Haldene，Tessiet等形式功能反应函数．现阶段利用微分方程的定性与稳定性理论

对微生物连续培养模型的研究已取得了丰富的研究成果

[1 3]

．

恒化器是一个用来培养单种或多种微生物种群的实验装置，其中营养物从一

端以一定的比率连续输入到均匀搅拌的容器中，与微生物反应，同时又和代谢中

的副产物及微生物从另一端以相同的比率连续流出以保持其容量不变．恒化器中

营养物的输入和输出近似模拟了自然界的连续代谢作用．它被广泛应用于各种领

域如微生物培养，废料的处理，生物制药工程和食品的生产加工等，具有十分重

要的实际价值，因此，许多专家对此进行了大量的探索研究如文献

[4]

.在研究过程

中，人们对模型进行了各式各样的改进，如引入更多的竞争者，引入时间滞后如

文献

[5 9]

，考虑不同的增长函数如文献

[10 12]

，放弃消耗率参数常数假设，考虑脉冲

微分方程如文献

[13 19]

等等．

传染病一直以来都威胁着人类的生存和发展，是人类生存和发展的一个大

敌．在人类生存和发展过程中，一直与传染病进行着斗争．因此，研究传染病的

流行规律、制定有效的预防策略是当今面临的一个重大问题．为了预防和控制传

染病，医学上经常是在某些固定的时间进行预防接种．因此利用脉冲微分方程来

描述传染病问题更符合实际情况．关于具有脉冲的传染病模型，目前在传染病方

面已有一些研究M．G．Roberts ，R．R．Kao

[20]

，B．Shulgin

[21]

，Alberto

脉冲效应下恒化器模型及传染病模型的研究

D’onofrio

[22,23]

，L．Stone

[24]

，Ma Zhien，Yuan SanLing

[25,26]

，Jin Zhen

[27]

及Chen

Lansun

[28]

等．本文第四章研究在脉冲效应下的传染病模型，利用脉冲微分方程理

论，研究模型无病周期解的全局渐近稳定性，系统的一致持续生存等问题．

§ 1. 2 本文的研究结果

本文主要的研究结果：

1、研究了在污染环境下具有时滞增长反应及脉冲输入的 Monod-Haldane 恒化

器模型，并且引入了对一种微生物生长有抑制作用的抑制剂，获得了微生物灭绝

周期解全局吸引的充分条件，证明了系统在适当的条件下是持久的．分析了时滞

增长反应，抑制剂及有害物质的脉冲输入对恒化器系统持久性与灭绝的动力学行

为的影响，并讨论其生物学意义．

2、研究了一类带有抑制剂及脉冲输入及溢出的 Beddington-DeAngelis 恒化器

模型，利用脉冲微分方程的 Floquet 乘子理论及小参数扰动技巧，获得了一个‘微

生物灭绝’周期解，进一步获得了该周期解局部渐近稳定的充分条件，利用脉冲

微分方程比较定理，最后证明了系统在适当的条件下是持久的．本文在文献

[47]

的

基础上，更进一步的考虑了抑制剂对脉冲作用下的恒化器模型的影响，从而部分

推广了文献

[47]

相应的结果，使其更具有现实意义．

3、研究了一类具有双时滞及脉冲免疫接种的SEIR传染病模型，利用脉冲微分

方程比较定理，获得了“无病”周期解，并讨论了该周期解的全局吸引性，给出

根除疾病的理论依据，在可能形成地方流行病的情形下，用定性分析的方法证明

了该系统的持续生存性，讨论了脉冲接种免疫策略．文献

[49]

考虑到易感者的免疫

基因不同，将易感者分成不同的类型，研究了具有脉冲单时滞的SIR模型，与文献

[49]

比较，我们更进一步考虑了疾病的潜伏期，传染期双时滞的脉冲免疫接种的

SEIR模型，综合考虑了更多的因素，使得对疾病传播情况的刻画更精确，更符合

实际情况．

第二章具有时滞增长反应及脉冲输入得 Monod—Haldane 恒化器模型的研究

第二章具有时滞增长反应及脉冲输入 Monod-Haldane

恒化器模型的研究

近些年来，对于微生物的连续培养模型很多文章都已做了研究如文献

[33,34]

，

但是这些文章中都没有考虑到环境的污染，环境污染主要包括工业污染及农业污

染等，并且这种问题引起了很多生态问题和社会问题．当培养微生物的恒化器模

型中营养液被污染时，微生物可能就培养不起来．因此，研究有害物质对生物种

群的影响，并且找到一个能够测定微生物种群持久与灭绝的理论阀值非常重要，

本文还考虑了从微生物摄入营养液到微生物的转化会有时间滞后这样的一个过

程，与文献

[35]

比较，本文引入了对一种微生物生长有抑制作用的抑制剂，考虑了

营养液及有害物质的脉冲输入，时滞增长反应，抑制剂对恒化器系统持久性与灭

绝的动力学行为的影响，并讨论其生物学意义．

§ 2. 1 模型的建立

本文考虑如下带有抑制剂及时滞增长反应的被污染的 Monod-Haldane 恒化

器模型：

'1 1 2 2

2 2

1 1 1 2 2 2

'1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1

'2 2 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ,

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( ) ( )

( ) exp( ( )) ( ( )) ( ) ,

( ) ( )

( ) (

( ) exp( )

u s t x t u s t x t

s t Ds t t nT n N

A s t B s t A s t B s t

u s t x t

x t D up t D r c t x t t nT n N

A s t B s t

u s t x t

x t D

 

 

   

 



     

   

 

       

   

 

  2

2 2

2 2 2 2

)( ( )) ( ) ,

( ) ( )

( ) ( ) ,

( ) ( ) , (2.1.1)

( ) ( ) ,

(0 ) 0, (0 ) 0, (0

i i

D r c t x t t nT n N

A s t B s t

c t Dc t t nT n N

p t Dp t t nT n N

s t s t s t nT n N

c t c t c t nT n N

p t p t p t nT n N

x t x t t nT n N

s x c

 





 

   

   

   

   

  

  ) 0, (0 ) 0, 1,2p i

 









  



式中，

( )s t

为

时刻营养液的浓度；

( )( 1, 2)

x t i 

表示在

时刻微生物种群的数量；

( )c t

( )p t

分别为恒化器中

时刻有害物质及抑制剂的浓度；



是在每个脉冲的 T时刻

输入营养液的量；



，



分别为每个时刻脉冲输入的有害物质的量及抑制剂的

量；

为恒化器的流速率；





为脉冲周期；

0( 1, 2)

r i 

是微生物因有害物质

脉冲效应下恒化器模型及传染病模型的研究

而死亡的减少率；常数

( 1, 2)





表示营养液向微生物转化的时滞时间；

( )up t

e

为

抑制剂对

的抑制程度，

0, ( ) lim ( )

t nT

u s nT s t





 

且

( )s t

在

t nT

时刻左连续，

( ) lim ( )

t nT

s nT s t







，

( )

x t

在

0t

上连续，

( )c t

和

( )p t

也既有上述

( )s t

所具有的性

质．

先假设系统(2.1.1) 的解满足初始条件

1 2 3 1 2

( ( ), ( ), ( )) ([ ,0], ), (0) 0( 1, 2,3), max{ , }

s s s C C R i

       

 

     

(2.1.2)

为了方便起见，给出下列系统的基本性质

( ) ( )

( ) ( ) (2.1.3)

(0 ) 0

s t Ds t t nT

s t s t s t nT

s s





  

  



 



( ) ( )

( ) ( ) (2.1.4)

(0 ) 0

c t Dc t t nT

c t c t c t nT

c c





  

  



 



( ) ( )

( ) ( ) (2.1.5)

(0 ) 0

p t Dp t t nT

p t p t p t nT

p p





  

  



 



引理 2.1.1

[35]

系统(2.1.3) 有一个正的周期解

*( )s t

且对系统(2.1.3) 满足初始条

件

10 0s

的每一个解

( )s t

，当

t 

时，

( ) ( ) 0s t s t 

，而且

(a) 若

10 1 exp( )

sDT



 

，则

( ) ( )s t s t

．

(b) 若

10 1 exp( )

sDT



 

，则

( ) ( )s t s t

．

这里

* *

0 0

exp( ( ))

( ) , ( ,( 1) ], , (0 )

1 exp( ) 1 exp( )

s D t nT s

s t t nT n T n N s

DT DT

 



 

    

   

系统(2.1.4) 和系统(2.1.5) 都有与系统(2.1.3) 类似的结论，略去．

定理 2.1.1

[29,30]

设函数

V R R R

 

 

且

V V

，且

( , ) ( , ( , )), ,

( , ( )) ( ( , )), ,

k k k

D V t x g t V t x t t

V t x I x V t x t t





 



  





函数

:g R R R

 

 

满足上面的条件(ii) ，且

kR R



 



是非减得．又设

0 0 0

( ) ( , , ), [ , )u t u t t x t t  

是下列标量脉冲微分方程的最大解：

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第一章绪论1第一章绪论§1.1研究的意义及概况近些年来，生物数学得到了迅速发展，越来越多的学者加入到生物数学研究的行列中来，随着数学理论特别是微分方程理论的不断地发展壮大和生物学的不断发展与进步，在生物数学研究中，微生物连续培养这门学科近些年也得到了许多学者的关注.目前微生物连续培养模型主要有单种微生物、多种微生物模型和食物链微生物模型．研究主要是通过建立以微分方程和积分方程为基础的数学模型，然后应用相应的数学理论方法和计算机模拟等对模型进一步分析，这些研究结果就为人们制定相应的措施来治理环境等提供了依据，所以微生物的连续培养模型已经成为人们关注的重点．微生物连续培养数学模型在四五十年代得到了...

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