与分担值相关的亚纯函数的正规性

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3.0 陈辉 2024-11-20 18 4 319.74KB 16 页 15积分
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第一章 预备知识
-1-
第一章 预备知识
在值分布论的发展中,芬兰数学家 R.Nevanlinna 有着巨大的贡献. 1925 年他引
进了亚纯函数的特征函数,并建立了两个基本定理,被称为 Nevanlinna 理论.半个
多世纪以来, Nevanlinna 理论不断地发展和完善,在亚纯函数的正规性方面有着广
泛的应用.本章我们给出 Nevanlinna 基础理论中的常用记号,并叙述亚纯函数正规
族理论中的一些基本概念和相关结果.
§1.1 Nevanlinna 理论简介
本节将介绍 Nevanlinna 理论,在本文中符号同引文[1],如果没有特别说明,所
提到的亚纯函数是指开平面
{ :| | }C z z  
中的亚纯函数,用
{ }C C 
表示扩充
复平面.
我们先引进正对数的概念.
定义 1.1.1 对于
0x
,定义
log , 1;
log max(log ,0) 0, 0 1.
x x
x x x
 
我们称
log x
为
x
的正对数.
容易看出,对于任意正数
x
有
1
log log logx x x
 
 
.
设函数
在
| | (0 )z R R  
上亚纯,对于
0R  
, Nevanlinna[2,3]引进以
下几个函数.
定义 1.1.2
2
0
1
( , ) log | ( ) |
2
i
m r f f re d
.
( , )m r f
也记为
( , ; )m r f
或
( , )m r
,是
| ( ) |f z
的正对数在
| |z r
上的平均值.
定义 1.1.3
0
( , ) (0, )
( , ) (0, ) log
rn r f n f
N r f dt n f r
t
 
,
这里
( , )n t f
表示
在
| |z t
上的极点个数,重级极点按照其重数计算,
(0, )n f
表
示
( )f z
在原点处极点重数(当
(0)f 
时,则
(0, ) 0n f
)
( , )N r f
有时也记为
( , ; )N r f
或
( , )N r
,称为
极点的计数函数.
另外,
0
( , ) (0, )
( , ) (0, ) log
rn r f n f
N r f dt n f r
t
 
表示相应精简的计数函数.
定义 1.1.4
( , ) ( , ) ( , )T r f m r f N r f 
.
( , )T r f
称为
的特征函数,显然它是非负函数.
设
a
为任一有穷复数,则
1
( )f z a
在
| |z R
上亚纯,根据上述定义, Nevanlinna 引
进以下几个函数.
与分担值相关的亚纯函数的正规性
-2-
定义 1.1.2’
2
0
1 1 1
( , ) log | |
2 ( )
i
m r d
f a f re a
 
.
1
( , )m r f a
也记为
( , ; )m r a f
或
( , )m r a
.
定义 1.1.3’
0
1 1
( , ) (0, )
1 1
( , ) (0, ) log
rn r n
f a f a
N r dt n r
f a t f a
 
 
 
,
这里
1
( , )n t f a
也记为
( , ; )n t a f
或
( , )n t a
;
1
(0, )nf a
也记为
(0, ; )n a f
或
(0, )n a
,
1
( , )N r f a
也记为
( , ; )N r a f
或
( , )N r a
,称作
的
a
值点的计数函数.
0
1 1
( , ) (0, )
1 1
( , ) (0, ) log
rn r n
f a f a
N r dt n r
f a t f a
 
 
 
表示相应精简的计数
函数.
定义 1.1.4’
1 1 1
( , ) ( , ) ( , )T r m r N r
f a f a f a
 
  
.
1
( , )T r f a
称为
1
( )f z a
的特征函数.
定理 1.1.1[1] (Nevanlinna 第一基本定理)设
( )f z
是
| | (0 )z R R  
上的亚纯函
数,若
a
为任一有穷复数,而且
不恒等于
a
,则对于
0r R 
,有
1
( , ) ( , ) log | | ( , )T r T r f c a r
f a
 
, (1.1.1)
其中
c
是
1
( )f z a
在原点的 Laurent 展式(按升幂排列)中的第一个非零系数,并且
有
| ( , ) | log | | log 2a r a
 
.
通常我们将(1.1.1)简单记为
1
( , ) ( , ) (1)T r T r f O
f a  
.
Nevanlinna 第一基本定理给出了亚纯函数
的特征函数
( , )T r f
与
1
( )f z a
的特征函数
1
( , )T r f a
之间的关系.
定理 1.1.2 (对数导数引理)假设
为非常数亚纯函数,并且
0,f 
,则对
于
0r R  
,有
' 1
( , ) 4 log ( , ) 3log 4log
f
m r T R f R
f R r
 
 
摘要：

第一章预备知识-1-第一章预备知识在值分布论的发展中,芬兰数学家R.Nevanlinna有着巨大的贡献.1925年他引进了亚纯函数的特征函数,并建立了两个基本定理,被称为Nevanlinna理论.半个多世纪以来,Nevanlinna理论不断地发展和完善,在亚纯函数的正规性方面有着广泛的应用.本章我们给出Nevanlinna基础理论中的常用记号,并叙述亚纯函数正规族理论中的一些基本概念和相关结果.§1.1Nevanlinna理论简介本节将介绍Nevanlinna理论,在本文中符号同引文[1],如果没有特别说明,所提到的亚纯函数是指开平面{:||}Czz中的亚纯函数,用{}CC表示扩充...

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