基于多元混合正态分布的期权组合非线性VaR度量模型研究

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3.0 周伟光 2024-09-20 5 4 714.89KB 62 页 150积分

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硕士学位论文

摘要

随着我国逐步对外开放金融行业，金融行业的市场化也会越来越高，银行、

投资基金、证券公司等金融机构面临的市场风险也日益凸显。2005 年股权分置改

革以来，我国在期权市场方面进行了持续深入的研究并在期权制度体系建设、期

权市场需求开发和期权技术系统设计等三方面有了实质性的进展，面对有巨大的

杠杆作用期权等衍生产品，如何对其进行风险管理尤为重要。

本文在国内外期权定价和金融市场风险管理理论研究的基础上，运用非线性

VaR 模型度量期权组合风险，通过对期权具体风险状况分析，明确影响期权价格

的几个主要因素和市场风险状况，对已有文献中期权组合 VaR 计算式进行了改进，

推导出基于多元混合正态分布条件下修正的期权组合 VaR 计算式。

首先本文运用混合正态分布来描述标的资产回报的尾部特征，混合正态分布

参数估计是个难点，本文引入 EM 算法极大似然估计对参数进行估计，结果显示

估计效果良好。在获得混合正态分布描述的标的回报具体数据后，通过

Black-Scholes 期权定价公式，构造相应的 Delta，Gamma 和Theta，推导出基于正

态分布和混合正态分布下的 Delta-Gamma-Theta 模型。将多元混合正态分布引入到

Delta-Gamma-Theta 模型的变换的过程中，需要推导出期权组合价值变化的矩母函

数，然后对其特征函数使用 Fourier Inversion 方法进行傅里叶积分变换，利用数值

方法试算出 VaR。

最后，运用推导出的期权 VaR 计算式对我国股票权证组合风险进行实证分析。

对多元混合正态分布和多元正态分布下的各模型计算出的期权组合非线性 VaR 进

行比较，实证分析表明，基于混合正态分布描述标的股票的权证组合 VaR 要比正

态分布下的结果要好，同时 Fourier Inversion 方法在计算准确度上有一定的优势，

但是其运算较为繁琐，不易实行，而 Cornish Fisher 方法则较为简单，只通过样本

前几阶矩匹配即可，不需做分布假设，但该方法计算出的是局部 VaR，忽视了一

些信息。Monte Carlo 模拟方法也较易实行，该方法有模型等方面的风险，计算出

的VaR 值可以作为其他方法的对比。

关键词：期权组合 VaR；多元混合正态分布；Delta-Gamma-Theta 模型；Fourier

Inversion 方法；EM 算法

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ABSTRACT

Since the finance market is opening in China, the financial profession's

marketability has been gradually getting higher, and financial organs as bank,

investment fund and negotiable securities company will face the market risk

progressively. Since nontradable shares reform in 2005, our country has continued the

thorough research on the option market and obtained the substantive progress in the

institutional construction, the demand development and the technology system design.

Facing the derivative products like option with giant leverage, how to manage the risk is

especially important.

This paper makes use of nonlinear VaR model to measure options portfolio risk

based on the domestic and foreign study of the option pricing and the money market

risk management. As analyzing the development condition of option market, we can get

several primary impact factor about option pricing and capture the market risk of

options. Then make the improvement on the VaR model, and propose the amendatory

VaR model about options portfolio with the returns of underlying described by

multivariate mixture normality.

First this paper utilizes mixture normality to describe the heavy tail of the returns

of underlying, but the parameter estimation of mixture normality is very difficult. This

paper introduces EM algorithm to estimate the parameters, and the result is good. Then

we can constructing the corresponding Delta, Gamma and Theta through the

Black-Scholes option pricing model, and propose the Delta-Gamma-Theta model based

on normality and mixture normality. As introducing multivariate mixture normality into

the Delta-Gamma-Theta model, it has to propose the moment generating function of the

value change of options portfolio, then this paper uses Fourier Inversion method to

carry on the Fourier's integral transformation to calculate the VaR with the numerical

method.

Finally, this paper carries on the empirical analysis to warrants portfolio in our

country, compares the nonlinear VaR of options portfolio under multivariate mixture

normality to multivariate normality in the models. The empirical analysis indicated that

the result is better using multivariate mixture normality, and Fourier Inversion method

has certain superiority in the computation accuracy, but its operation is more tedious and

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III

difficult to implement. Cornish Fisher method is simpler, makes use of several step

moment of the sampleto match the distribution of the value change of options portfolio,

but this method gets partial VaR, has neglected some information. Monte Carlo

simulation method is also an easy method to calculate VaR value, but has model risks,

it can be compared with other methods.

Keywords ：Options Portfolio VaR; Multivariate Mixture Normality; Delta-Gamma

-Theta model; Fourier Inversion method; EM algorithm

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第一章导论.....................................................................................................................1

第一节选题背景及意义..............................................................................................1

第二节文献综述..........................................................................................................2

第三节本文内容框架及创新之处..............................................................................4

第二章风险价值 VaR..................................................................................................... 6

第一节 VaR 的定义......................................................................................................6

第二节 VaR 的计算方法..............................................................................................7

第三节 VaR 的优点与局限性....................................................................................13

第三章混合正态分布及其参数估计...........................................................................15

第一节混合正态分布的定义....................................................................................15

第二节混合正态分布的数字特征............................................................................16

第三节混合正态分布的参数估计............................................................................21

第四节一类特殊的多元混合正态分布及其参数估计............................................26

第四章期权组合非线性 VaR 度量模型...................................................................... 28

第一节期权概述........................................................................................................28

第二节期权定价及风险因素分析............................................................................30

第三节期权组合非线性 VaR 度量模型...................................................................35

第四节基于混合正态分布的 Delta-Gamma-Theta 模型........................................ 41

第五章我国股票权证组合风险 VaR 度量实证分析.................................................. 44

第一节权证标的股票日收益率序列的特征............................................................44

第二节权证组合非线性 VaR 计算...........................................................................47

第六章结论与研究展望...............................................................................................51

参考文献.........................................................................................................................53

附录

.............................................................................................................................57

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第一章导论

第一节选题背景及意义

20 世纪 70 年代以来，随着经济全球化与金融自由化、现代金融理论及信息技

术进步、金融创新等发展，金融市场呈现出前所未有的波动性和脆弱性，导致国

际上诸多金融机构和跨国公司由于对市场风险管理不善而产生的巨大损失，从巴

林银行的倒闭、日本大和银行巨额交易亏损到长期资本管理公司濒临破产等，充

分说明了市场风险在金融机构面临的诸多风险中的核心地位。针对这种情况，金

融监管当局、金融机构近年来一直在不断强化市场风险的管理与监管。市场风险

管理就是金融机构在准确辨识和测量市场风险的基础上，根据其竞争优势及风险

偏好，利用各种工具和技术对风险进行规避与防范、转移（分散化、对冲、保险）

和保留（风险定价和风险资本金配置）的过程。市场风险管理的关键在于测量风

险，即将风险的特性定量化。当面对包含复杂衍生金融工具（特别是期权类非线

性工具）的组合证券时，传统的线性度量如 Delta、久期、β不再适用，当标的资产

价格发生巨大变动时凸性也不能准确地估计风险，度量衍生工具的 Gamma 等虽可

以测算单一证券的风险，但是它不能度量证券组合的总体风险。因此需要一种既

能处理非线性的金融工具又可提供总体市场风险测量方法，在这个背景下

VaR(Value at Risk)方法便应运而生了。

VaR 是在正常的市场环境下，给定一定的目

标区间和置信水平，预期最大损失，该方法由 G30 于1993 年在考察金融衍生产品

的基础上提出的，是一种度量潜在损失的计量技术，即衡量市场发生反向变化时

可能遭受的损失。与传统的风险管理方法相比，它可以将各种金融工具、资产组

合以及金融机构总体的市场风险化成简单的数值，使投资者能清楚地了解所持有

的资产面临的最大风险。正是由于 VaR 模型科学、准确、实用以及能为投资者提

供一种市场风险的综合性度量，该方法很快的便成为了度量市场风险的主流方法，

并且近年来 VaR 技术业已成为金融行业风险度量与风险管理的工业标准。

随着我国 QFII 制度的施行，将逐步对外开放金融行业，金融行业的市场化也

会越来越高，银行、投资基金、证券公司等金融机构面临的市场风险也日益凸显，

利用先进的风险管理技术管理风险己经成为当务之急。自 2005 股权分置改革以来，

中国已正式开始对期权进行研究和试验，中国在期权市场方面进行了持续深入的

研究并在期权制度体系建设期权市场需求开发和期权技术系统设计等三方面有了

实质性的进展。期权作为金融衍生品市场的重要品种，其一些形态如可转换债券、

认股权证事实上己经在我国有良好的发展，目前正在修订的《证券法》也必将给

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期权等金融衍生产品带来新的发展机遇。但由于期权巨大的杠杆作用，对期权的

风险管理就尤其重要。在这种情况下，研究期权风险的度量问题，以便更好的管

理期权等衍生产品的风险，对推出我国的金融衍生品市场的意义尤为重大。

第二节文献综述

一、国外期权组合非线性VaR模型发展情况

目前对期权组合市场风险非线性VaR度量模型研究由两个方面展开，解析近似

和全值或局部蒙特卡罗模拟。期权组合市场风险非线性VaR度量模型大致有三个阶

段：Delta 类模型，Delta-Gamma-Theta 市场变量回报多元正态模型和

Delta-Gamma-Theta市场变量回报厚尾分布模型。

早期的VaR计量模型大都是Delta类的，这类模型假设标的资产回报服从正态分

布，且期权组合价值能够很好地被一阶(Delta)近似，如此组合价值变化便服从一元

正态分布，从而计算出相应分位点下的VaR 值。较为典型的有Delta-正态模型

(Garbade,1986), Delta-加权正态模型(J.P. Morgan,1994)等。在市场变化不显著时，

该类模型估计的期权价值变化相对较准确，若出现极端情形时，估计的结果却会

很糟糕，因为它没有涉及期权组合总价值变化的风险度量——非线性VaR的计算。

为了解决Delta类模型的上述缺陷，便出现二阶近似(Delta-Gamma-Theta)来计

算组合总价值变化的VaR值，Delta-Gamma-Theta多元正态模型考虑了Gamma效应

即价格变化的非线性影响和Theta效应即到期时间变化的影响。该类模型主要有

Delta-Gamma-Theta Cornish Fisher模型(Jaschke, 2001)，该模型基本原理是调整置信

水平 c，以校正Delta、Gamma和Theta风险对正态分布偏斜的影响，从而得到近似

分位数。该方法要求计算组合总价值变化的前几阶矩，对市场变量的分布不作要

求，这样就使得该模型的优点计算速度快，而且有具体的解析式，然而靠前几阶

矩来描述总体的特征使得该模型忽视了部分信息，计算结果有时无法接受。

Delta-Gamma-Theta Fourier Inversion模型(Mina & Ulmer,1999)，利用组合总价值变

化矩母函数，通过傅里叶逆变换得到投资组合总价值变化的密度函数，再对其进

行数值积分计算得到相应的VaR值。

前两类模型都是假设市场变量回报服从多元正态分布，而通常情况下金融时

间序列数据具有厚尾特征，于是便把描述厚尾特征的各分布引入到

Delta-Gamma-Theta 模型中，来计算相应的VaR。主要有Delta-Gamma-Theta Monte

Carlo 模拟模型(Mina & Ulmer, 1999)，它是利用计算机通过给定的统计模型产生市

场变量的一系列价格，然后使用二次近似(Delta-Gamma-Theta)来计算组合总价值

变化的VaR值，而该模型存在模型风险(Pristker 1996)，并且当期权组合中含市场变

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量数目很多时，其计算量会加大。基于厚尾分布的Delta-Gamma-Theta Fourier

Inversion模型，Glasserman(2002)在建模中使用多元t分布来描述回报的厚尾特征，

Hu & Kercheval (2007) Skew-t分布，Leccadito(2007)引入基于马尔科夫链的分布描

述美国股票收益的厚尾特征等，该类模型最大的难点便是求解拟合分布的特征函

数解析式。Delta-Gamma-Theta Fast Convolution 模型，Albanese(2003)，快速卷积

法不要求特定的特征函数，只需对期权总价值变化的密度函数进行离散化处理，

使用快速傅里叶变换近似地得到总价值的分布函数，再利用插值法计算出VaR。

在描述市场变量回报的厚尾分布中，有一种统计特性较好的分布——混合正

态分布(Hamilton,1991)。Tucker(1992)在混合正态分布集中，由两个正态分布组成

的混合正态分布具有最好的描述性质：它们在将模型的参数个数减少到最小的程

度下，提供了足够的灵活性。Zangari (1996)用混合正态分布来描述外汇回报的厚

尾特征并计算相应的VaR并与用t分布描述的结果进行比较， Venkataraman(1997)

考虑了多元混合正态分布情形下的外汇VaR的计算。

Nylund(2001) 运用两个正态混

合分布对几个主要股指进行VaR度量，并采用了QB-MLE方法对参数进行了估计，

最后结果显示基于混合正态分布能更好的揭示股指的厚尾现象，但是该模型中参

数难以估计。Buckley et al(2008)运用混合正态分布来描述资产组合优化问题并与

方差-协方差计算方法比较，采用有限元混合正态的结果具有稳健性并且计算效率

较好。

二、国内期权组合风险非线性 VaR 模型发展情况

随着国际上对 VaR 计量技术研究的深入以及应用方面的推广，国内学者也对

其有广泛关注，陈守东、王鲁非(2002)使用 t分布的 GARCH 模型对上证综合指数

经行 VaR 值计算，并与正态假设的 VaR 值进行比较，认为 t分布的 GARCH 模型

得来的 VaR 值最有效；陈学华、杨辉耀(2003)利用 Ding(1993)提出的一个不对称的

GARCH 模型即 APARCH 模型来刻画上证综合指数回报分布的尖峰厚尾性以及具

有杠杆效应，并用 APARCH 模型在三种假设(正态分布、t分布、广义 GED 分布)

下对上证综合指数 VaR 值进行计算，APARCH 模型计算的估计是有效估计，且结

果明显优于 GARCH 模型。田新时等(2003)对沪深股市引入一般误差分布(GED)来

计算 VaR 值，得出基于一般误差分布(GED)能更好地反映厚尾特征 ,尤其是针对非

线性工具，并且 GED 与混合正态相比，也具有所估计参数少的特点，但该模型

需要对状态参数进行专门的设置。

田新时、刘汉中(2002)利用 Johnson 分布族计算了国内欧式期权组合非线性

VaR，并且与局部 Monte Carlo 模拟方法相比较，得出基于 Johnson 分布族的算法

计算简单、拟合数据的精度高。陈荣达等(2006)用多元 t分布来描述回报的厚尾现

象采用 Delta-Gamma-Theta Fourier Inversion 模型来计算外汇期权组合的非线性

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VaR，实证得出多元 t分布能很好地反映汇率回报厚尾特征，但该模型中不同的汇

率回报采取了相同的自由度(形状参数)

，从而使算出的 VaR 值偏离实际风险。

武东等(2008)研究了基于稳定分布的 EPGARCH 模型下沪深指数收益率的 VaR, 结

果表明该模型能很好地描述沪深指数收益率的“易变性聚类”现象，和刻画金融数据

的尖峰厚尾特征。刘建元等(2007)非对称 Laplas 分布，刘昆仑等(2007)双曲分布，

童泳欢(2008)修正的威布尔分布等来刻画市场变量回报的厚尾特征来计量 VaR。

常科丰(2003)运用混合正态模型计算上证五支股票的 VaR 并与正态分布情形

相比较，得出当置信水平较高时，混合正态模型计算结果较好。徐光林(2006)用混

合正态模型对我国上证指数的波动性进行了分析，结果表明混合正态分布假设下

的GARCH 模型比标准正态和 t分布假设下的 GARCH 模型对峰度和偏度的拟合较

好，能更好的解释上证指数的波动性。郑玉华(2009)运用 ARMA-GARCH 混合正

态模型对上证综指进行 VaR 度量，结果显示过滤了自相关和异方差效应的日收益

率序列仍然存在厚尾现象，并不服从传统的正态分布，而混合正态分布假设能够

反映收益分布 5％的厚尾特征并准确地刻画 1％的厚尾部分，避免了正态分布假

设低估风险的缺陷，保证了 VaR 的准确性。

从目前 VaR 模型的研究中中，可以看出大部分都是针对标的资产(股票、股指、

汇率等)回报本身的 VaR 进行度量，属于线性 VaR 度量，且涉及的多是单变量情况。

而对期权等衍生产品组合的非线性 VaR 度量和运用多元混合正态分布来刻画尖峰

厚尾特征的研究在国内还较少。所以本文试图寻找一种能较好刻画市场变量回报

厚尾特征的分布——混合正态分布，来计算 Delta-Gamma-Theta 模型下的期权组合

非线性 VaR，补充和完善 VaR 理论体系。

第三节本文内容框架及创新之处

本文在国内外期权定价和金融市场风险管理理论研究的基础上，运用非线性

VaR 模型度量期权组合风险，通过对期权的具体风险状况进行分析，明确影响期

权价格的主要因素和期权的市场风险状况。然后对已有文献中期权组合 VaR 计算

模型进行了改进，推导出基于多元混合正态分布条件下修正后的期权组合非线性

VaR 计算模型。最后，运用推导出模型对我国国内股票权证风险度量进行实证分

析，得出相关结论。

本文的讨论按如下展开：

第一章阐述论文的选题背景和意义，介绍国内外期权组合非线性 VaR 模型和

处理厚尾现象的混合正态分布的研究状况，以及本文的主要内容框架。

第二章详细介绍 VaR 基本理论。主要包括 VaR 的基本原理、计算方法，同时

指出 VaR 模型的特点与局限性。

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第三章的主要内容是引入“厚尾分布”混合正态分布。介绍了混合正态分布的定

义、密度函数、数字特征及一些相关性质，重点对混合正态分布的进行参数估计，

为计算期权组合非线性 VaR 做好理论支持。

第四章介绍期权的一些基本知识和期权的风险因素。介绍期权风险关于标的

资产的二阶近似公式，推导正态分布下期权组合非线性 VaR 的基本模型。同时利

用多元混合正态分布来描述标的资产回报的“厚尾特征”来推导改进的期权组合

非线性 VaR 计算公式，汇总出期权组合非线性 VaR 的计算流程。

第五章实证分析，把混合正态分布应用到我国股票权证组合非线性 VaR 的计

算中，对各种不同的非线性 VaR 模型在混合正态分布与正态分布的条件下的计算

结果进行比较，作出解释。

第六章总结全文以及对期权 VaR 理论的展望。

本文的可能创新之处主要在以下几个方面：（一）、用多元混合正态分布描述

标的回报的厚尾现象引入到期权组合非线性 VaR 模型中，推导出基于混合正态分

布的期权组合 VaR 计算公式。（二）、对引入的一类特殊混合正态分布运用 EM 算

法进行参数估计。（三）、对我国国内股票权证组合 VaR 进行实证分析。

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第二章风险价值 VaR

第一节 VaR 的定义

VaR，即风险价值(Value at Risk)，是指正常的市场条件下，在一定的概率水平

下，某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失。根据 VaR

的定义，可以表示为：

Pr ( ) 1ob P VaR c

>=− (2.1)

其中， PΔ为证券组合在持有期 t

内的损失，VaR 为置信水平 c下处于风险中的价

值。如“时间为 10 天，置信水平为 95%，所持证券组合的 VaR 为-2000 元”。其涵

义就是：10 天后该股票组合有 95%的把握其最大损失不会超过 2000 元。

为了更好地理解 VaR 的概念，设资产组合的初始价值为 0

W，持有期末的期望

收益为

，其数学期望和标准差分别为

和

，期末资产组合的价值为

0(1 )WW R=+，现在定义在给定置信水平下投资组合的最小价值为

0(1 )WW R=+

，其中 *

为相应的最低收益率(一般为负值)，则：

() ( )VaR E W W W R

=−=−− (2.2)

VaR 也可由资产组合值的概率分布 ()

w推导而得。给定置信水平 c，找出最

小资产组合价值 *

W，这样超出该值的概率为 *()

cfwdw

+∞

=∫，也即

1()()

cfwdwpwWp

−∞

−= = ≤ =

∫(2.3)

从上面的定义中可以看出，VaR 的计算需要考虑三个方面的影响因素：

第一、资产组合的持有期，从投资者的角度来说，资产组合的持有期应由资

产组合自身的特点来决定。资产的流动性越强，相应的持有期越短；反之，流动

性越差，持有期则越长。国外商业银行由于其资产的高流动性，一般选择持有期

为一个交易日；而各种养老基金等所选择的持有期则较长，一般为一个月。为克

服市场经济周期性变化的影响，持有期间的历史数据越长越好，但时间越长，市

场结构性变化的可能性越大，历史数据因而越难反映现实和未来的情况。在应用

正态假设时，持有期选择越短越好，因为资产组合的收益率不一定服从正态分布，

但在持有期非常短的情形下，收益率渐进服从正态分布，这时的持有期一般选为

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