基于马尔可夫链蒙特卡罗模拟的权证定价方法研究

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3.0 周伟光 2024-09-20 5 4 2.81MB 66 页 150积分

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硕士学位论文

摘要

权证市场作为我国资本市场的重要组成部分，近年来得到了快速发展，权证

定价问题也得到了深入的研究，其中的波动率研究是最重要的一部分。在证实金

融资产价格波动率具有尖峰肥尾、群集效应、杠杆效应和长记忆等时变特性的研

究成果不断出现的背景下，以常数波动率为假设的 Black-Scholes 期权定价理论

已经远远无法满足更精细的金融实务操作的要求了。研究波动率时变性的模型可

以分为 ARCH/GARCH 模型和随机波动率模型两大类。从理论上，随机波动率模型要

优于 ARCH/GARCH 模型，但由于前者的估计方法较复杂而没有如后者那样在实际中

受到广泛应用。近年来，针对随机波动率模型参数估计方法的研究已经成为金融

理论研究的前沿之一。

本文将利用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法分别对离散时间随机波动率模

型和连续时间随机波动率模型进行参数估计的理论分析，并以宝钢权证为例，借

助于 Winbugs 软件，进行相应的实证研究分析。对于离散时间随机波动率模型，

本文先后分析了标准离散时间随机波动率模型、带有尖峰肥尾的随机波动率模型

和带有杠杆效应的随机波动率模型；对于连续时间随机波动率模型，则对 Heston

随机波动率模型进行了分析，都得到了较为理想的结果。

由于权证和欧式期权在本质上是一致的，只在某些细节上存在些差别，所以

权证定价研究完全可以欧式期权定价原理的基础上展开。本文在得到与宝钢权证

相对应的随机波动率的具体形式后，在风险中性定价原理的框架内，首先模拟出

宝钢股份未来一段时期的价格波动率序列；然后通过模型等式导出对数收益率序

列的估计值，并据此建立起宝钢股份的价格模拟路径；最后通过蒙特卡罗模拟方

法得到在权证到期日时宝钢股份的收盘价格估计值，并根据欧式期权价格的定义

表达式得到宝钢权证的估计值序列。

本文最后分别在 Black-Scholes 期权定价模型和 GARCH 波动率模型的框架内，

利用蒙特卡罗模拟方法求出相应宝钢权证的理论价格，并将它们与实际价格之间

的偏差与随机波动率假设下的偏差进行了比较。结果表明，B-S 期权定价模型下的

宝钢权证理论价格、GARCH 模型下的宝钢权证理论价格和实际市场价格之间的偏

差，与随机波动率假设下的理论价格与实际价格之间的偏差进行比较，发现 Heston

SV 模型中宝钢权证估计价格最接近市场的实际价格；SVM-1 模型和 SVM-2 模型的

估计结果非常接近且都比 B—S 模型的估计结果要更偏离实际市场价格，这和宝钢

股份的对数收益率的尖峰厚尾特征不够明显有关；但是在考虑了杆杠效应后，

SVM-3 模型的估计结果却有了很大改善，大大优于 B—S 模型的估计结果，接近于

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GARCH 模型的估计结果。

关键词：随机波动率模型；MCMC 方法；权证定价；蒙特卡罗模拟

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III

Abstract

As an important part of the capital market in our country, the warrant market has

gained great development. As a result, the research and analysis on warrant pricing has

been advanced deeply, and the volatility is the factor playing the most important role.

After the researches on the time-changed volatility properties, such as fat-tailed,

volatility clustering, leverage effect and long memory, have gotten great advancements,

the B-S theory based on the constant volatility hypothesis can not satisfy the demands

for more-precise finance practice. The models specifying the time-changed volatility

characters can be classified into ARCH/GARCH model and SV model. From the point

of theory, SV model is superior to ARCH/GARCH model, but because the estimation

method for SV model is more complex than the estimation method for ARCH/GARCH

model, SV model is less popular than ARCH/GARCH model in the practice. In the

recent years, the researches on the estimation methods for SV models have been one of

the topical subjects in finance.

This paper uses the MCMC method to estimate the discrete SV model and the

continuous SV model, and make use of the Winbugs to do the empirical analysis of the

Baogang warrant pricing under the stochastic volatility hypothesis. As to the discrete SV models, we

respectively analyze the models specifying the fat-tailed, volatility clustering, leverage effect and

long memory. As to the continuous SV models, we analyze the Heston SV model for an example.

Andweallgetgoodresults.

Because the warrant and the option are the same in the nature, the warrant pricing analysis can be

developed in the frame of the option pricing. This paper first estimates the parameters of the SV

models related the Baogang warrant, and then simulates the price volatility series; second get the

estimated series of the log return and establish the price-dependent path; at last, we use the

MonteCarlo simulation method to get the estimated value of the Baogang warrant price under the

time-changed volatility hypothesis.

We also compare the deviations between the estimated prices and the market price in different

models, and we find that the deviation between the estimated price under the standard stochastic

volatility model and the market price of the Baogang warrant is close to the deviation under the

stochastic model with fat tail, but is larger than the deviaton under the B-S option pricing model.

However the deviation under the stochastic volatility model with leverage effect is much smaller

than the deviations under the three models metioned obove. The smallest deviation we get is from

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the Heston stochastic volatility continuous-time volatility model.

Keywords: stochastic volatility model; MCMC method; warrant pricing; Monte Carlo simulatiion

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III

第一章导论......................................................................................................................................... 1

第一节背景及意义..................................................................................................................... 1

第二节国内外相关的文献综述................................................................................................. 2

第三节本文的研究框架及创新点............................................................................................. 9

第二章权证定价的基本理论分析................................................................................................... 11

第一节权证价格的构成........................................................................................................... 11

第二节常数波动率假设下的认股权证定价分析................................................................... 13

第三节权证定价就波动率假设的进一步讨论....................................................................... 17

第三章随机波动率模型估计的 MCMC 方法................................................................................ 19

第一节 MCMC 方法基本原理分析......................................................................................... 19

第二节 MCMC 方法在随机波动率模型参数估计中的应用................................................24

第四章基于随机波动率假设的权证定价分析............................................................................... 29

第一节闭型解........................................................................................................................... 29

第二节蒙特卡罗模拟法......................................................................................................... 33

第五章实证分析............................................................................................................................... 38

第一节案例信息及其统计特征分析....................................................................................... 38

第二节无风险利率的选取....................................................................................................... 41

第三节波动率分析................................................................................................................... 41

第四节波动率模型的估计....................................................................................................... 43

第五节权证定价结果............................................................................................................... 53

第六章结论与展望........................................................................................................................... 55

参考文献............................................................................................................................................ 57

附录.................................................................................................................................................... 60

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第一章导论

第一节背景及意义

一、研究背景

始于 2005 年的股权分置改革催生了中国大陆的权证市场，在短短的两年多时

间里，该市场取得了令人瞩目的成就。从2005 年8月22 日中国大陆第一支权证“宝

钢JTB1（580000.SH）”开始上市交易起，投资者就对权证这一产品倾注了极大的

热情。2006 年、2007 年，就成交次数、成交金额和换手率上来说，中国大陆的权

证市场与德国市场和香港市场一起稳居全球权证市场的前三名。

但有趣的是，大陆权证市场上交易的权证品种几乎是世界上各个交易所中最

少的。根据国际交易所联合会的统计资料，截至 2007 年11 月底，香港交易所交

易的权证有 4394 支，德国市场交易的权证高达 270254 支，而沪深两市上市交易

的权证总共只有 17 支。中国大陆权证市场在交易品种极少的情况下，创造了居世

界前列的交易总量。

只要有交易就会有交易价格的产生，交易价格背后必然有一定的价格形成机

制。这种定价机制可以是某种理论定价模型（如 Black-Scholes 等模型），也可以是

某种特殊的交易模式（如程式化交易等），还可以是某种特殊的供需状况等，总之，

某一时点的交易价格是当时所有交易参与主体依赖各自的定价模式进行交易的结

果。既然权证在我国的交易量如此巨大，那么权证交易背后的定价机制究竟是什

么，是什么决定了权证的价格？权证价格是否满足 Black-Scholes 等经典期权定价

模型的推测？如果不满足，那么市场交易的结果和理论推测的结果偏差究竟有多

大？如何将这些偏差进行归类统计，找出其中的规律？发生不同种类偏差的概率

分布如何？理论模型和真实市场数据之间产生偏差的原因究竟是什么？是否有套

利的可能性存在？对这些问题进行系统而深入的研究有着巨大的理论意义和实践

意义。

二、理论意义

我国权证理论价格与市场价格之间的偏差可以从定价模型设定错误和市场微

观结构这两个角度来进行解释。Black-Scholes 期权定价理论在金融领域的里程碑

地位早已在理论界和实践行业得到广泛认可。由于权证和欧式期权两者在本质上

是相同的，所以欧式期权定价公式也是应用最广泛的权证定价公式。但是

Black-Scholes 期权定价模型，和任何其他理论一样，其局限性主要表现在偏离现

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实的种种假设条件上。

其中，以标的资产价格波动率是常数的假设和现实之间的冲突是最为明显，

因为金融资产收益率的波动率通常表现出典型的时变特征，比如有厚尾、波动聚

集性、杠杆效应、长记忆性和持续性等。目前，对金融波动的以上特征进行刻画

的模型可以分两大类：第一类是 ARCH/GARCH 类波动率模型 Engel（1982）/

Bollerslev(1986)，这类模型将当期波动率表示成过去波动率和平方误差项的确定性

函数；第二类是由 Taylor(1986)、Ghyselst（1996）和 Shephard(1996)提出的随机波

动率模型（SV），它把波动率假设成一个服从某种不同于收益率随机过程的潜在变

量。

相比较而言，SV 模型的理论基础更加贴近现实，能够包含更多的波动率时变

特征，如果可以把它和权证定价结合起来，在理论上可以大大提高权证定价的精

确合理程度。但是，随机波动率模型的应用却因为其估计方法上的困难而没有

ARCH/GARCH 类波动率模型那样普遍。不过随着计算机模拟技术和计量经济学的

发展，有越来越多的随机波动率模型的估计方法被提出来，大大促进了 SV 模型在

实践领域的应用，进而也使人们能更精确合理地对衍生产品进行定价。

三、实践意义

从宏观角度上说，权证作为一种初级金融衍生产品，目前正被当作我国发展

金融衍生产品市场的开路先锋，权证市场的健康发展，对于我国证券市场发展其

他金融衍生产品有着积极而深远的意义。所以很有必要对我国权证市场进行系统

的研究，用数据澄清一些事实，以警示市场上某些过度投机的行为，提高市场的

理性程度，促进权证市场的健康发展。从微观角度来说，权证以及所有衍生产品

的一大功能是为市场提供风险管理的工具，比如教科书中经常讲到的对于股票多

头部位典型的 hedge 策略是 short calls 或者 long puts，部位大小是 Delta，但如果有

时认购权证的价格和股价变动方向相反，或者认沽权证的价格和股价变动方向相

同，那么这些标准的 hedge 策略就不能实现理想中的目标了。所以对市场实际交易

结果和理论模型推测结果的偏差进行归类统计，并找出其中的规律，对于如何发

挥权证等衍生产品的风险管理功能有着实践上的指导意义。

第二节国内外相关的文献综述

法国数学家路易斯巴舍利耶 Bachielier（1900）首先提出了认股权证定价计量

模型；Black & Scholes（1973）提出的 Black-Scholes（B-S）克服了早期学者研究

的局限性，大大提高了认股权证定价的可靠性和可操作性，是金融发展的一个里

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程碑。但是 B-S 模型是建立在许多偏离现实的严格假设上的，这限制了它在实践

中发挥中更大的作用。为此，许多学者对 B-S 模型的一些假设条件作了修正或放

松，从而使该模型更接近实际和更具有适用性。比如，Robert Merton（1973）

Roll(1977)，Geske（1979）， Whaley（1981），Schulz & Trautman

（1989）和 Schulz

& Trautman （1994 ）等针对股利支付提前行使假设进行了改进；Galai &

Schneller(1978) ，Hull(2003) ，Andrey D. Ukhov (2004) ，周延（1998）和傅世昌

（2004）等在考虑股权稀释因素后提出了改进方法。更多的学者则针对常数波动

率假设，提出了基于更加接近现实的时变波动率假设的期权定价研究分析。在不

考虑股利提前提前行使和股权稀释等非期权基本因素的情况下，权证定价和相应

的期权定价研究是完全一致的，所以针对固定波动率假设的期权定价研究分析方

法也可以应用于对权证的理论定价研究和实证分析，我们可以同时对两者进行相

关研究果的回顾和分析。

本文的总体思路是主要分为两步，首先利用ＭＣＭＣ方法估计出不同随机波

动率模型的结构参数和波动率序列；然后基于不同的随机波动率模型，通过蒙特

卡罗模拟方法对权证进行定价研究。结合本文思路，将主要文献按以下结构进行

回顾：（１）时变波动率假设下的权证定价研究现状；（２）应用于随机波动率模

型参数估计的 MCMC 方法研究现状。

一、时变波动率假设下的期权及权证定价研究

在传统理论权证定价理论中通常是假设波动率为常数，但是经过实证研究发

现，波动率是一个处于变化之中的变量，呈现出显著的时变特点，如尖峰肥尾性

（Mandelbrot(1963)及Fama(1963,1965)）、波动率群集效应（Engle(1982)）、杠杆效

应（Black(1976),Christie(1982)，Schwert(1989)）和长期记忆性（Ding, Granger, and

Engle (1993)）等。对此，国内外很多学者进行了大量的研究分析，大体而言，基

于非常数波动率假设的改进理论大体包括以下三大类：第一类是波动率为时间变

化的确定性函数；第二类是 GARCH （Generalized AutouRegressive Conditional

Heteroskedasticity）类模型；第三类是随机波动率模型（Stochastic Volatility Model，

SVM）。

1、波动率为时间变化的确定性函数假设

在波动率不是常数的情形下，

Cox & Ross

（1976）给出了弹性波动率（constant

elasticity of variance，CEV）定价模型。该模型的问题在于：长期其价格要么接近

于零要么无限大，并且涉及波动率函数的估计问题，要确定波动率函数，需要得

到市场中期权价格的所有数据，由于期权只是在有限个期权价格与到期日上交易，

所以这是不可能实现的，这就意味着必须对市场价格进行内插或外推以得到一个

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连续面，然后从这个连续面得出波动率函数。关于 CEV 模型的实证研究，Noreen

& Wolfson (1981)采用 52 个公司备兑权证价格为观察值，以测试标的股票遵循扩散

过程的 Black-Scholes 模型和 CEV 模型，实证在股价服从对数正态分布与股价波动

服从 CEV 扩散假设前提下，分别检验 B-S 模式与 CEV 模型定价效果，他们认为

B-S 模型与 CEV 模型在定价上，实际上无差别。

Ferri, Kremer & Oberhelman (1986)

检验 50 种公司备兑权证、400 个以上的观察值，利用和市场价格百分比差异平均

数，比较经稀释因素调整后的 CEV 模型以及有无股利调整的两种 Black-Scholes

模型的定价能力，实证结果指出,只有稀释因子调整在预测绩效上比同时调整股利

支付及稀释因子较佳，并发现 CEV 定价模型中更精确股价扩散(diffusion)程序在预

测上并不比 B-S 模式假设对数常态分配下还佳。

Merton（1976）提出股价路径应是一个跳跃扩散过程(Jump Diffusion Process)

的跳跃扩散模型，该跳跃模型在标的资产价格有很大变化时是很有用的，因为连

续时间模型很难捕捉这个特征。但是,如果资产价格变化过程中的跳跃成分与整个

市场无关的话，就属于可分散风险，可分散风险不应该获得期望收益。利用几何

布朗运动描述只有系统风险的资产价格运动，用 Poisson 随机过程描述产生非系统

风险的偶然的资产价格的跳跃，并且假设跳跃幅度服从正态分布，通过求解随机

方程可得出期权定价公式。Jarrow & Rosenfeld(1984)、Ball & Torous(1983,1985)、

Feinstone(1985)、Argiray & Booth(1986)等，也发现股价路径确实存在跳跃的情况，

支持 Merton 的观点。

上述学者是把波动率看作标的资产价格和时间的确定性函数，实际上波动率

并不是确定性地变化的，当我们这个星期确定波动率是标的资产价格和时间的函

数，到了下个星期该函数就发生了变化，于是随后有学者将波动率看作是一个随

机变量。随机波动率模型包括两类：一类是 GARCH（Generalized AutouRegressive

Conditional Heteroskedasticity ）类模型，一类是随机波动率模型（Stochastic

Volatility,SV）。

２、GARCH 类模型

GARCH 类模型能比较好地捕捉方差在变化过程中，幅度较大的变化会相对地

集中在某对时间，而幅度较小的变化会相对集中在另一段时间的现象。该类模型

假设资产收益的方差服从某种形式的移动平均过程，其优势在于当前的波动率可

由历史股票（标的资产）价格得到，并且模型参数可以很容易地由股票价格的离

散集估计得到。

一般的 GARCH（p,q）模型的表达式为：

+（1-1）

1011 11

... ...

tt t ptpt qtq

Var

haaahh

εελλ

−

−− −

==++++++

Ω（1-2）

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其中， 1t−

Ω是表示 t-1 时刻所有可得信息的集合， t

h是条件方差， t

是误差项。

Kuwahara & Marsh(1992) 运用 GARCH 类模型中的 EGARCH(Exponential

Generalized AutouRegressive Conditional Heteroskedasticity)对认股权证进行定价，发

现运用该模型对价内认股权证定价优于传统的 B-S 模型，而对于价外认股权证则

不具有这种优势。Bollerslev 和Mikkelsen (1996) 利用一个部分可积的 EGARCH

模型研究了波动率的长期记忆特性。当波动率的冲击效果消失得非常缓慢时,就认

为波动率具有长期记忆特性。他们认为期权定价中的最优对冲策略应当考虑到波

动率的长期记忆特性。Chu 和Freand(1996) 利用 GARCH 模型预测了股票指数期

权的波动率，并验证了该模型具有较好的预测效果。

Christoffersen 和Jacobs (2001)

在风险中性条件下比较了一系列 GARCH 模型的定价效果，发现对样本内数据的

拟合效果而言，含有较少参数的 GARCH 模型的效果好，而含有较多参数的

GARCH 模型比含有较少参数的 GARCH 模型的预测效果更好。在国内，陈明亮

(2006)使用调整自由度和 t分布，用 EGARCH 模型求解原正态分布，并且用 Monte

Carlo 模拟的方法进行理论定价，结果表明从市场长期均衡的角度看，该方法相对

于Black-Scholes 公式在定价上明显有效。潘涛、邢铁英（2007）再在经典 B-S 模

型的基础上，从随机波动率的角度对公式进行了相应的调整，运用 GARCH 定价

修正模型，寻找适应中国认股权证市场的 B-S 模型定价方法。

3、随机波动率模型

在GARCH 模型中，当期波动率是前期波动率和可观测变量过程（在金融学

中，一般指对数收益率过程）的误差项的线性组合关系，也就是说假设波动率过

程和收益率过程是受同一个随机项影响的。这样的假设和现实还有很大差距，因

为在实际中，金融资产价格的波动率是无法观测的，而当和收益率随机项的随机

项相同时，那么收益率可观测，就间接假设了波动率也是可观测的。然而，随机

波动率模型则是假设波动率过程是受某个不同于收益率过程随机项的随机项驱动

的，因此更加接近现实，在理论上更有说服力。

早期研究这一领域的有 Clark(1973) 、Eppis 和Eppis(1976) 、Tauchen 和

Pitts(1983)，采用混合分布假设来近似资产价格行为，为收益波动率的结构化建模

提供了一个理论框架，但是并没有建立起能够刻画具体特征的波动率模型。Taylor

（1986）提出反映波动率群集的离散型 SV 模型，这一模型后来大多被称为是基本

SV 模型，并此基础上提出了能反映更多波动率特征的扩展型离散时间随机波动率

模型。Ruiz(1994)，Harvey、Ruiz 和Shepard(1994)通过假设收益率误差项服从 t-

分布或者 GED 分布（广义误差分布）而非正态分布，提出了肥尾类 SV 模型；

Harvey

和Shephard(1996)并不事先假设扰动项

{

}

和

{

}

两者之间的相关系数为 0，而

是一个未知参数

，则提出了杠杆 SV 模型；

Breidt, Crato 和deLima(1998)、

Granger

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硕士学位论文I摘要权证市场作为我国资本市场的重要组成部分，近年来得到了快速发展，权证定价问题也得到了深入的研究，其中的波动率研究是最重要的一部分。在证实金融资产价格波动率具有尖峰肥尾、群集效应、杠杆效应和长记忆等时变特性的研究成果不断出现的背景下，以常数波动率为假设的Black-Scholes期权定价理论已经远远无法满足更精细的金融实务操作的要求了。研究波动率时变性的模型可以分为ARCH/GARCH模型和随机波动率模型两大类。从理论上，随机波动率模型要优于ARCH/GARCH模型，但由于前者的估计方法较复杂而没有如后者那样在实际中受到广泛应用。近年来，针对随机波动率模型参数估计方法的研究已经成...

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