基于数值降维技术的期权组合非线性VaR模型的研究

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3.0 周伟光 2024-09-20 5 4 1.21MB 81 页 150积分

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硕士学位论文

摘要

随着全球金融市场的快速发展，各种金融衍生产品涌流而成，金融衍生产品

市场得到了迅猛发展。金融衍生产品能够实现套期保值、风险管理、价值定位等

一系列功能。然而，在进行风险规避的同时，由于自身高杠杆、低交易成本、流

动性强等特点，金融衍生产品产生了新的金融风险。另一方面，作为一种初级金

融衍生产品的权证已于 2005 年7月在沪深两市重新开始了交易。经过四年的发展，

两市权证交易量已初具规模。2007 年，沪深两市总成交量已超过 6.97 万亿元。与

此相对应，对权证交易进行合理有效的风险测度成为了一个现实的问题。

VaR 方法是一种各国普遍采用的风险管理方法，具有全面性、简明性和实用

性等特点，符合金融机构对金融资产进行集中式、数量化风险管理的要求。而传

统的针对期权组合风险测度的非线性 VaR 模型都是基于风险因子正态分布假设，

且存在维数增加难于计算的问题。针对上述存在的两个问题，本文从降维角度提

出一种改进的非线性 VaR 方法。本学位论文探讨的内容如下：

一、阐述了期权的定义以及与权证的区别，总结分析了国内外研究期权组合

VaR 的文献。之后，对我国内地、香港和国外几个重要权证市场的现状进行了简

要介绍。

二、建立了风险因子基于t分布的 O-GARCH 模型来计算标的股票组合的条

件协方差矩阵。同时，该模型也在一定程度上避免了传统多元 GARCH 模型参数

过多，难于估计的问题。之后，对沪深权证组合标的股票进行实证分析，并通过

RMSE 和MAD 指标指标，比较了 EWMA、CCC 和O-GARCH 三类模型所计算

的条件协方差矩阵进行了绩效比较。最后得出基于 t分布的 O-GARCH 模型，内

部为一元 EGARCH 模型在组合数量多时较优的结论。

三、由于收益率分布的厚尾特性，引入了 t分布的 Black-Scholes 模型，并结

合O-GARCH 模型求解的条件协方差矩阵，计算各希腊字母。然后，根据快速傅

里叶变换和卷积公式，推导了非线性 VaR 模型。对沪深两市权证组合进行了数值

分析，并与局部蒙特卡罗模拟进行比较，得出在离散点选取适当的情况下，该方

法准确程度与模拟方法相当，并且计算效率上优于模拟。

四、推导了两种降维方法，以此来缩短通过快速傅里叶变换和卷积公式计算

期权组合 VaR 的时间。同时，引入了非对称拉普拉斯分布来拟合风险因子的分布，

来体现风险因子的厚尾特性，提高准确度。之后，对沪深权证组合和香港权证组

合进行数值分析。从运算时间和相对误差两方面来考察，得出基于 t分布的低秩

法具有明显优势。最后，运用 Kupiec 法和 MRSB 法对降维后的 VaR 进行检验，

得到基于非对称的拉普拉斯分布最小平方法更具效率。

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关键词：期权组合；非线性 VaR；数值降维；厚尾分布

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III

ABSTRACT

In the last 20 years financial derivatives and financial derivatives market have

been developed rapidly. Futures and options are now traded actively on many

exchanges throughout the world. Derivatives are generally used as an instrument to

hedge risk, but can also be used for arbitrage purposes. Their features, such as leverage,

low cost and high liquidity, result in new risk for investors. Meanwhile, warrant which

is similar to options have been issued and traded again at home in July 2005. After four

years of rapid development, the warrant market in China has taken shape. In 2008 the

trading volume of Shanghai and Shenzhen exchange market has excess 6.97 trillion.

Correspondingly, how to measure and manage market risk become a realistic problem.

Value-at-Risk has become widely used by corporate and fund managers as well as

by financial institutions. It is an attempt to provide a simple number summarizing the

total risk in a portfolio of financial assets. However, the traditional non-linear VaR

models, which measure market risk for portfolio of options, are generally based on the

assumption that distribution of risk factors is normal. It is difficult for a portfolio of

various options to estimate VaR using these models. Therefore, the dissertation

presents a improved non-linear VaR models in the perspective of dimension reduction.

The detailed research contents of this dissertation are as follow:

First, the dissertation introduces the definition of options and difference between

options and warrants. Then the development of warrants market in China mainland,

Hong Kong and some foreign countries is reviewed.

Second, the dissertation builds O-GARCH model with the assumption of student’s

t distribution for risk factors aims to avoid problems caused by historical volatility

models. Meanwhile, the model avoids over-abundant parameters which are difficult for

traditional multi-GARCH model to estimate. The underlying shares of Shanghai and

Shenzhen warrants are examined by the model. Then comparing with EWMA, CCC

and O-GARCH model, we follow two criteria to judge the quality of the volatility

forecast.

Third, in according to Black-Scholes model based on student’s t distribution and

O-GARCH model, the Greek letter is calculated in this dissertation. We derive

non-linear VaR model based on the basis of fast Fourier transform and convolution

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formula. In empirical analysis, we make a comparison between this model and local

Monte Carlo method. The result shows that the model is as accurate as local Monte

carol and is more efficient than the one.

Finally, we derive two dimension reduction methods to improve efficiency of

convolution VaR model. The asymmetric Laplace distribution is fitted for risk factors

in the model. Next we analyze empirically portfolio of China mainland warrants and

Hong Kong warrants. The result shows that low rank method based on student’s t

distribution costs less time and smaller error. According to Kupiec test and MRSB, we

test the VaR evaluated by dimension reduction method and conclude mean square error

method based asymmetric Laplace distribution is more efficient.

Key words: portfolio of options; non-linear VaR; dimension reduction; fat tail

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第一章绪论..................................................................................................................... 1

第一节本文研究的背景.......................................................................................... 1

第二节本文研究的目的与意义.............................................................................. 1

第三节本文研究内容框架及创新点...................................................................... 2

第二章期权组合非线性 VaR......................................................................................... 3

第一节期权的内涵特征.......................................................................................... 3

第二节国内外期权组合 VaR 研究综述................................................................. 3

第三节权证交易现状............................................................................................ 11

第三章基于 O-GARCH 模型对标的股票波动率的估计...........................................13

第一节多元波动率模型........................................................................................ 13

第二节检验指标.................................................................................................... 15

第三节实证分析.................................................................................................... 16

第四节本章小结.................................................................................................... 22

第四章基于非线性 VaR 模型的期权组合风险度量.................................................. 24

第一节 Black-Scholes 期权组合模型及其映射.................................................... 24

第二节基于 t分布的 Black-Scholes 期权组合模型及其映射............................26

第三节基于卷积方法的期权组合非线性 VaR 模型........................................... 29

第四节权证组合的 VaR 算法............................................................................... 32

第五节权证组合的数值结果分析........................................................................ 32

第六节本章小结.................................................................................................... 36

第五章厚尾情形下的非线性 VaR 降维方法.............................................................. 38

第一节非线性 VaR 传统降维方法....................................................................... 38

第二节基于最小平方误差的投影降维法............................................................ 39

第三节基于低秩的投影降维法............................................................................ 41

第四节组合标的资产的分布................................................................................ 42

第五节降维数值分析及检验................................................................................ 48

第六节本章小结.................................................................................................... 56

第六章结论

................................................................................................................. 58

参考文献......................................................................................................................... 59

附录

............................................................................................................................... 64

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第一章绪论

第一节本文研究的背景

1973 年4月，芝加哥交易所（CBOT）成立了第一个以股票为标的物的期权

交易所——芝加哥期权交易所(CBOE)。这标志着期权交易进入了标准化、规范化

的全新发展时期。从此，全球期权交易量迅速增长，由 1973 年场内成交量不足 1

亿张，发展到 2008 年场内成交量 48.5 亿张①。

而在我国作为初级金融衍生产品的权证，其交易量已初具规模，并且发展迅

速。其实，早在 90 年代初我国权证市场曾有一段短暂的历史。可是由于当时投机

气氛及其浓重，权证价格暴涨暴跌，管理层在 1996 年6月被迫取消了所有权证的

交易。为了配合股权分置改革的顺利进行和多样化的股改方案，随着《上海证券

交易所权证业务管理暂行办法》和《深圳证券交易所权证业务管理暂行办法》的

正式出台，我国证券市场于 2005 年7月18 日重新开始了权证业务。

2005 年8月

22 日，宝钢权证在上海证券交易所挂牌上市，宝钢股份成为了我国第一家引入权

证为对价方式的上市公司。随后，长江电力、新钢钒、武钢股份、万科等也借助

权证的方式解决权证分置问题。我国权证发行的数量虽然不多，至 2009 年2月共

发行了 54 只权证，但 2008 年沪深两市权证交易量合计已超过 6.97 万亿元②。

第二节本文研究的目的与意义

自二十世纪九十年代以来，金融衍生工具和金融衍生产品市场得到了迅猛的

发展。金融衍生产品能够实现套期保值、风险管理、价值定位等一系列功能。同

时，它还进一步完善和成熟了金融市场。可是，以期权为代表的金融衍生产品就

犹如一把双刃剑，在规避风险的同时，由于自身高杠杆、低交易成本、流动性强

等特点产生了新的金融风险。因此，在这样一种现实经济环境中，自然需要对这

些期权组合风险进行合理度量，从而达到预知、控制风险的目的。

VaR 方法一种各国金融机构普遍采用的风险管理方法。该方法具有全面性、

简明性和实用性，符合集中式，数量化风险管理的要求。而针对期权组合风险的

度量，一般是通过非线性 VaR 模型来进行的。经过了十多年的发展，对该类模型

的研究得到了不断的深入和发展。目前其存在的问题是：虽然使用非线性 VaR 模

c数据来源：Bank for International Settlement, www.bis.org

d数据来源：上海证券交易所，www.sse.com.cn；深圳证券交易所，www.szse.cn

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型进行期权组合风险度量比蒙特卡罗模拟的效率大为提升，但是面对众多的期权

组合，通常的非线性 VaR 模型在计算效率上仍然显得不足；其次，在非线性 VaR

模型中往往假设金融市场上期权的标的资产收益率分布呈正态，其厚尾性体现不

足。这两个问题的存在影响了非线性 VaR 模型的测度风险的效率和准确性。为此，

本文将从以上两个问题着重进行研究。

第三节本文研究内容框架及创新点

本文研究的主要内容主要有以下几个方面：

一、阐述了期权的内涵特征及其与权证的区别。对国内外研究期权组合 VaR

的文献进行了总结分析，并简要介绍了我国内地、香港和国外几个重要权证市场

的发展和交易现状。

二、对期权组合标的资产收益率时间序列的统计特性（如均值、偏度、峰度、

自相关性）进行分析，建立了风险因子基于 t分布的 O-GARCH 模型来计算标的

股票组合的条件协方差矩阵。通过设立 RMSE 和MAD 指标，把该模型与 EWMA

模型、CCC 模型计算的结果进行比较。

三、本文使用了基于 t分布的期权定价模型，并结合 O-GARCH 模型求解的

条件协方差矩阵，求得各希腊字母。然后，根据快速傅里叶变换和卷积公式，推

导了非线性 VaR 模型。在累计分布的积分过程中，提出通过使用 Cavalieri-Simpson

数值积分方法来有效的提高计算的效率，减少了时间。最后，对沪深两市权证组

合进行了实证分析。

四、推导出了两种降维方法，以此来缩短通过快速傅里叶变换和卷积公式计

算期权组合 VaR 的时间。同时，提出通过引入非对称拉普拉斯分布来拟合风险因

子的分布，来体现风险因子的厚尾特性，提高准确度。之后，对沪深权证组合和

香港权证组合进行数值分析。从运算时间、相对误差、Va R 检验这三方面，对以

上方法所计算的结果进行了检验和比较。

基于以上研究内容，本文有以下创新之处：

一、在计算希腊字母过程，通过使用 O-GARCH 模型来获得，避免了通过使

用历史波动率计算存在的问题。而利用基于 t分布的期权定价模型，在一定程度

上反映了市场风险因子分布的“尖峰厚尾”特性。

二、收益率分布使用非对称拉普拉斯分布减小了一些厚尾分布假定下所计算

的VaR 值，并通过 VaR 检验，提高了效率。而在累计分布中使用数值积分方法有

效回避了不同分布假定下需要不同密度函数进行积分的问题。同时，对经过降维

后的期权组合 VaR 进行的 Kupiec 和MRSB 检验从而保证了降维方法的有效性。

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第二章期权组合非线性 VaR

第一节期权的内涵特征

期权（Option）是指在未来预定的时期内，按照某一预定的价格，买入或卖

出其标的资产的权利。

其关键的特征是期权的持有者拥有一个权利，而不是一项义务。如果期权的

持有者在预定的时期内不履行他的权利，那么，该期权以及履行该权利的机会就

不复存在。但是，一旦期权持有者提出履约，期权的出售者有责任完成该期权要

求他所履行的义务。这恰恰是体现了期权的一个重要特征，即期权的持有方和出

售方权利和义务的不对等。因此，期权的持有方需要向出售方支付一定的费用，

也就是获得权利的费用。同时，由于双方权利和义务的不对等，使得双方的损益

也是不对等的。

权证的性质与期权十分类似。其实，权证就是一种简单的期权。正如上文第

一节中所提到的，期权给予了持有者一个权利，而非义务。但是，一旦期权持有

者提出履约，期权的出售者有责任完成该期权要求他所履行的义务。期权交易事

实上就是这种权利的交易，买方可以执行也可以放弃这种权利，完全可以灵活选

择。从本质上来说，期权与权证都是是一种可以赋予其持有者一定权利的合约，

其持有者在可以获利的情况下执行这种权利，不能获利时则放弃这种权利，损失

的是购买这种权利的费用。所以，权证本质上就是期权的一种。

而权证与期权最大的不同在于是否有卖空，期权存在卖空机制，但权证一般

不存在卖空机制。因此，期权投资者既有多头持仓者，亦有空头持仓者，而权证

投资者只能是合约多头的持仓者。买入权证时，潜在风险与回报是“赢无限、输

有限”，若标的股票走势与预期相符，如不考虑时间价值损耗及隐含波动率，权证

的价格将上升，如果判断失误，最大程度的亏损是全部投入的资金。由于期权存

在卖空机制，理论上，投资者可以利用卖空期权收取期权金，但这时期权投资者

若判断失误，就要承受无限风险。

第二节国内外期权组合 VaR 研究综述

一、国外对期权组合 VaR 的模型发展

VaR 方法主要分为完全评估方法(Full valuation methods)和局部评估方法

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(Local valuation methods)。其中，非线性 VaR 方法属于局部评估方法的一种。期

权组合非线性 VaR 模型发展大致经历了两个阶段。

第一阶段，Delta 类模型（Garbade, 1986; J.P. Morgan, 1996）。Delta 类模型是

一类最简单的局部评估方法 VaR 模型，它假设风险因子和期权组合是线性的，即

期权组合的收益可以由 Delta

（期权价格对标的资产的一阶导数）和风险因子的变

动表示出来。Delta 类模型无论是理解上，还是计算上都非常简单。但是，该类模

型往往低估了风险因子的非线性影响，同时假设风险因子收益正态分布过于理想

化。

第二阶段 Delta-Gamma 类模型。该时期学者们考虑到了期权的非线性影响，

Wilson & Tomas(1994)最早把 Gamma 引入到资产组合的风险管理中来，提出了

Gamma-Normal 模型。Gamma 的引入使资产组合函数具有了凸性，也使得对资产

组合总价值的变化的估计比单独的 Delta 要好。

基于风险因子是正态分布假设下的具有代表性的模型有四类：Delta-Gamma-

Solomon & Stephens (Castellacci & Siclari, 2003)、Delta -Gamma-Johnson(Zangari,

1996; RiskMetrics, 1996)、Delta-Gamma-Cornish-Fisher（J.P. Morgan, 1996; Hull &

White, 1998; Jaschke, 2001）、Delta-Gamma 矩母函数和傅立叶变换方法（Mina

&Ulmer, 1999; Volmar, 2002）。

Delta-Gamma-Solomon&Stemphens 近似模型。Castellacci & Siclari（2003），

在市场因子收益率服从正态分布的假设下，表达式含有市场变量回报的二次项，

因而投资组合价值变化就可能还是正态分布，所以就必须寻找其它分布来拟合组

合总价值变化的分布，或者设法求得组合总价值变化的精确分布解析式。Britten-

Jones(1999)首先把市场收益正交化，得到新的随机变量，然后利用矩阵的谱分解

以及矩阵的相关性质把组合价值变化的表达式写出一个非中心 2

分布的线性组

合，接着求出样本的高阶矩；Solomon & Stephens（1977）建议以随机数 2

Kω近

似的拟合非中心 2

χ分布线性组合的密度函数。在 2

中，

为自由度为

的2

χ分

布，且

、1

K、2

K为常数用组合收益的样本矩来表示。最后求出组合价值收益

VaR。但此模型有一个缺陷：在求解非线性方程组时，有时很难得到三个参数（

、

K、2

K）的精确解。另外，此模型只利用了组合价值变化的前三阶矩来匹配分

布，没有用到全部信息。

Delta-Gamma-Johnson 分布族模型。Zangari (1996)通过实证研究表明，在市

场因子变化不大的情况或时间跨度不大的条件下，对数价格变化与相对价格变化

是一致的，可以用市场变量的对数收益来代替百分比收益进行计算，使 Johnson

分布族的某一分布的前四阶样本矩和 Delta-Gamma 模型估计组合收益分布的前四

阶样本矩完全匹配，就可以通过已知的分布估计出 VaR。

J.P.Morgan 的RiskMetrics

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（1996）采用了 Hill 算法，利用 Johnson 分布族把期权组合总价值收益转化为标

准正态分布。此外，他们还发现由于 Gamma、Theta 成分对期权回报分布的影响，

期权回报的统计特征与市场变量收益的统计特征特性显着不同，期权收益分布发

生了偏态，组合收益是正偏还是负偏取决于投资者持有期权的头寸。该方法的优

点在于快速、可解析。其不足之处仍然是只利用了前四阶样本矩的信息，没有利

用全部信息，并且此算法的鲁棒性不足（Mina & Ulmer，1999）。

Delta-Gamma-Cornish-Fisher 模型。模型（J.P. Morgan, 1996; Hull & White, 1998;

Jaschke, 2001）基本原理是通过调整置信区间参数

，以校正 Delta、Gamma、Theta

风险对正态分布偏斜的影响，从而得到近似分位数。

Cornish-Fisher 展开是基于统

计学的一个基本原理：任意分布都可以被看成是其它分布的函数，可以用其它分

布的参数来表示，即获得组合价值变化分布的前四阶矩，且其分布却是已知分布

的函数。对于任意分布，以正态分布为基准 Cornish-Fisher 方法要求计算组合总价

值变化的前几阶矩。改模型的优点与 Delta-Gamma-Johnson 一样，快速而且是可

以解析的结果。采用 Cornish-Fisher 展开计算 VaR 时，要注意置信度和该公式阶

数的选择，因为当

趋近于 0或是 1时，该公式具有错误的尾部概率，并且在同

一置信水平下随着该公式展开阶数的增加，Cornish-Fisher 近似并不一定改善。

Delta-Gamma 矩母函数和傅立叶变换方法。Rouvinez（1997）证明了通过矩

母函数和傅立叶变换能够得到二次展开的确切形式。这种方法的基本步骤是先写

出组合收益率的二次展开式，对市场因子的协方差矩阵使用 Cholesky 分解把各个

市场因子转化为相互独立的几个因子。然后将 gamma 矩阵化成对角矩阵，对收益

率的二次展开式进行相应的化简使之变成几个独立因子之和。再根据化简得到的

收益率二次展开式计算其矩母函数。由于矩母函数的定义同其自身的概率密度函

数紧密联系，

Mina and Ulmer (1999)通过傅立叶（Fourier）的逆变化将组合收益率

分布计算求得。在实际应用中，往往是使用快速傅立叶变换（Fast Fourier

Transform）来提高计算的效率的。Mina and Ulmer（1999），Vo l m a r （2002）和

Timo（2004）对 Johnson，Cornish-Fisher 和傅立叶变换方法进行了检验。它们的

结论有几个共同点：当组合包含某些特定头寸的期权时，受 Johnson 变换的限制

组合分布拟合会很困难；Cornish-Fisher 始终作为一种快速又简单的方法值得使

用，但在一些情况下也会出现很大的误差；傅立叶变换方法虽然速度上比

Cornish-Fisher 要慢，其复杂度为

(

)

lnNN，但是该方法的适用性较强，计算的 VaR

也较为精确。

上面四种方法代表了这一时期（1993-2000）的基本思想：其一，根据泰勒展

开公式，试图通过增加展开项的来提高 VaR 估计的准确性，同时从多方面的实证

也表明展开项的增加确实提高了 VaR 计算的精度。其二，展开项增加后，即使在

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