基于随机因子双重对称NIG Copula模型的CDO定价

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3.0 周伟光 2024-09-20 4 4 538.58KB 68 页 150积分

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硕士学位论文

摘要

本文首先根据无套利定价原理，揭示 CDO 定价的关键是 CDO 基础资产组合

的联合损失分布。同时，本文分析了非线性违约相关性的 Copula 表示以及按照风

险中性定价和鞅方法原理的要求从 CDS 的价格中推导 CDO 基础单个资产的风险

中性违约概率。

本文分析了 CDO 标准定价模型——单因素 Gaussian Copula 模型的缺陷，以此

说明对 CDO 定价模型改进的必要性。单因素 Gaussian Copula 模型假设违约代理变

量的系统因素和非系统因素服从独立的 Gaussian 分布，用多维 Gaussian Copula 来

度量 CDO 基础资产组合联合违约概率分布。本文在前人的基础上，考虑权益分券

和高级分券的特殊性，推导出了 CDO 分券期望损失分布的精确表达式和基础资产

组合的损失分布。同时，还作图对比分析了隐含资产组合损失分布与单因素

Gaussian Copula模型下资产组合损失分布的差异，并解释了单因素 Gaussian Copula

模型影响其定价能力的两个主要缺陷：隐含违约相关性微笑和隐含损失分布。此

外，本文还对这两个缺陷内在的一致性进行了解释说明。

为了便于理解本文提出的随机因子加载双重对称 NIG Copula CDO 定价模型，

有必要先分析下双重 NIG Copula 和随机因素加载。双重 NIG Copula CDO 定价模

型对 Gaussian Copula 模型进行的改进主要体现在用 NIG Copula 替代 Gaussian

Copula，使违约代理变量的系统因素和非系统因素服从具有厚尾的 NIG 分布，而

不是 Gaussian 分布，以增加尾部违约相关性。本文作图对比分析了单因素双重 NIG

Copula 模型和单因素 Gaussian Copula 模型的资产组合损失分布的差异，发现相比

于后者，前者具有更小零损失概率和更大极端损失概率，

从而可以肯定的是

双重

NIG Copula 模型能对单因素 Gaussian Copula 模型进行改进。

与变换 Copula 函数，以改进单因素 Gaussian Copula 模型 CDO 定价能力的单

因素双重 NIG Copula CDO 定价模型相比，单因素随机因子加载 Gaussian Copula

模型则主要是从改变因子加载的分布方面改进 Gaussian Copula 模型。该模型设置

因子加载服从两点分布，以反映在不同经济状况时期，资产间具有不同相关性的

实证经验结果。经过较为复杂的推导之后，本文最终推导出了基础资产组合损失

分布和 CDO 分券期望损失分布的精确解析式。值得注意的是，本文针对不同的

CDO 分券(如权益类分券，高级分券)分别求出了 CDO 定价的解析解，而前人只是

笼统地得到了 CDO 中间层分券的结论。

基于以上两个模型，以及它们能显著改进单因素 Gaussian Copula 模型 CDO 定

价能力的结论基础上，本文提出了新的 CDO 定价模型——随机因子加载双重对称

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NIG Copula 模型。本文提出的新模型不仅允许因子加载为随机，而且还用具有厚

尾性质的 NIG Copula替代了 Gaussian Copula。同时，为了避免 L.Annelis (2005,2007)

的不足（不足主要时因为不能对模型参数求得任何解析解，导致了模型参数估计

极不稳定、计算速度极其缓慢、计算效率低以及计算误差大的后果），本文使用对

称的 NIG Copula 代替一般化 NIG Copula。由于随机因子加载的干扰作用和 NIG

Copula 的复杂性，本文只能得到 CDO 分券期望损失分布的半解析解，甚至有个别

参数也只能以半解析式来表示，对此本文的解决方法是：对于个别参数半解析式

的问题，本文将其转化为非线性函数最优化问题来解决；对于 CDO 分券期望损失

的半解析式问题，由于本文能够推导出资产组合损失分布的精确解析解，所以可

以采用数值实现的方法给予解决。

本文最后分析研究了单因素 Gaussian Copula、双重 NIG Copula、随机因子加

载Gaussian Copula 以及随机因子加载双重对称 NIG Copula 四个 CDO 定价模型的

定价差异，得出的结论是随机因子加载双重对称 NIG Copula 对市场价格的拟合能

力最高，定价误差最小。同时，本文还分析了回复率、利率、CDO 基础资产池信

用质量以及违约相关系数对 CDO 价格的影响。结果发现 CDO 分券信用差价同回

复率及基础资产池信用质量呈反方向变化，但高级分券反映更加敏感；CDO 权益

分券对违约相关系数反向变动，而高级分券则呈同方向变动，中间分券呈不规则

关系；CDO 分券价格对利率不敏感，这也可以说明 CDO 定价领域利率为常数的

假设具有一定的合理性。

关键词：债务抵押债券；双重 NIG Copula；随机因子

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III

ABSTRACT

According to the no-arbitrage pricing theory the present thesis first reveals the key

for synthetic CDO pricing is the loss distributions of the portfolio of reference

instruments over different time horizons. At the same time, this paper analyzes

non-linear default correlation with Copula and, in accordance with the requirements of

risk-neutral valuation principle and martingale approach, figures out risk-neutral

probability of default of individual assets in the portfolio of reference from the CDS

prices.

Then, Analysis is focused on derivation of the market prices and loss distribution

of tranches of CDO under the Gaussian Copula model and analyzing defects of

Gaussian Copula CDO pricing model as to illustrates the need for its improvement. On

the basis of predecessors, having considered particularity of equity tranche and senior

tranche, the preaent paper derives the exact expressions of distribution of expected loss

of CDO tranche and the underlying asset portfolio. At the same time, the artic

comparatively analyzes differences between implied portfolio loss distribution and

portfolio loss distribution of the single-factor Gaussian Copula model and explains the

two major deficiencies, that is, implied Default Correlation smile and implied loss

distribution within the single-factor Gaussian ,which affects it pricing power. In

addition, internal consistency of these two defects were explained.

The most important part of this paper is the proposal for a new CDO pricing model

——double symmetric normal inverse Gaussian copula with random factor loadings

model for synthetic CDO pricing. Following a comparative analysis of the double NIG

Copula and random factor loading, emphasis is placed on study of double symmetric

normal inverse Gaussian copula with random factor loadings model and through

rigorous mathematical derivation this paper figures out analytical solutions or

semi-analytical types for parameters in model, distributions of the portfolio of reference

instruments and the expected loss distribution and market prices of tranches of CDO. In

order to avoid deficiencies in L. Annelis (2005,2007) that estimation of model

parameter is very unstable, the calculation speed is extremely slow and the error of

calculation is large mainly because any analytical solution for model parameters in L.

Annelis (2005,2007) can not be obtained, this paper uses the symmetric NIG Copula

instead of generalization NIG Copula.As interference effects of random factor loadings

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and complexity of NIG Copula, this paper can only firgure out semi-analytical solutions

of the expected loss distribution of CDO tranche and even some parameters can only be

expressed in a semi-analytical equation, the solutions to this problem is that for some

parameters of the semi-analytical type questions, this article will be translated into

non-linear optimization problem to solve.

Another important part of this thesis is that the present thesis comparatively

analyzes the differences in CDO pricing among double symmetric normal inverse

Gaussian copula with random factor loadings model, one factor Gaussian Copula model,

double NIG Copula model and random factor loading Gaussian Copula modle and

concluds that double symmetric normal inverse Gaussian copula with random factor

loadings model have the biggest fitting ability to market data and the minimum pricing

error. Meanwhile, the paper also studys impacts of recovery rate, interest rates, credit

quality of the underlying assets and default correlation on CDO prices.The results show

that CDO tranche spreads change in inversely direction with the credit quality of the

underlying asset pool, but senior tranche reflects more sensitively. equity tranche

spreads change reversely with default correlation coefficient , while senior tranche

presents in the same direction of change. CDO spreads is not sensitive to interest rates,

which in turn also illustrates the assumption of constant interest rate in field of CDO

pricing has some rationality.

Keywords：Synthetic Collateral Debt Obligations; Double NIG Copula; Randon Factor

Loadings

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第一章导论…………………………………………………………………………..1

第一节债务抵押债券 CDO 研究背景与研究意义……………………………1

第二节合成 CDO 定价研究文献综述...…………………….…………………4

第三节研究思路和方法……………………………………………………..10

第四节本文结构安排和创新之处……………………………………………12

第二章 Gaussian Copula CDO 定价模型………………………………………..….13

第一节债券抵押债券（CDO）及其定价分析……………..……………….14

第二节 Gaussian Copula 模型 CDO 分券损失分布及其价格……....……….25

第三节单因素 Gaussian Copula 模型的缺陷.……………………………….28

第三章随机因子双重对称 NIG Copula 模型……………………………………..31

第一节双重 NIG Copula………………………………………………………31

第二节随机因子加载…………………………………………………………35

第三节随机因子双重 NIG Copula 模型及参数推导…….…………………..39

第四节随机因子双重对称 NIG Copula 模型下 CDO 公平信用差价….….44

第四章数值计算结果及分析………………………………………………………45

第一节数据对象的说明与合成 CDO 分券价格的实现………....…………..45

第二节 CDO 定价模型的比较分析……………...............................................46

第三节 CDO 价格影响因素的敏感性分析…………………………………...47

第五章研究结论……………………………………………………………………55

参考文献……………………………………………………………………………..57

致谢…………………………………………………………………………………..61

附录…………………………………………………………………………………..62

硕士学位论文

第一章导论

债务抵押债券（Collateralized Debt Obligation，以下称为 CDO）是最近几年固

定收益债券市场和信贷市场上一种十分重要的创新结构性金融产品。在 07 下半年

次贷危机发生前，全球金融市场上 CDO 的交易量以不可思议的速度增长着。即使

是在次贷危机发生后，虽然 CDO 发行量在一定程度上有所缓解，投资者对其警惕

性提高、投资热情减缓，但是 CDO （特别是其定价和风险管理）受到学术界极大

的关注。之所以如此，不仅是因为类如合成 CDO 等组合信贷衍生品的流行，更是

因为对 CDO 的定价是一个非常复杂的问题，还有许多方面值得深入研究。

第一节债务抵押债券 CDO 研究背景与研究意义

一、债务抵押债券 CDO 研究背景

发生在 2007-2008 年间的次贷危机引发的影响世界震撼，上到世界各国首领，

下到平民百姓，无一不对次贷危机感到惊恐。次贷危机的主角毫无疑问就是债权

抵押债券 CDO。

次贷危机对时间经济的影响难以估量，先是美国百年投行雷曼兄弟悲壮倒闭，

随后美国大小数家银行关门，时间主要大型金融机构陷入流动性危机，各国资本

市场疯狂走跌。次贷危机最后席卷了全球经济，世界经济从此结束连续增长的势

头，正式步入衰退通道。

次贷危机给全球造成的损失无法估计，仅对中资金融机构造成的损失就大得

惊人。雷曼兄弟破产，中资金融机构亏损逐一显现出来。中国工商银行目前持有

雷曼兄弟公司债券及与其信用相挂钩的债券余额约 1.518 亿美元，占工行资产总额

万分之一，即使以比较乐观的 30%回复率计算，亏损也将会达到 1.0626 亿美元。

中国银行给雷曼兄弟公司无担保债权和同业拆借贷款达 5000 万美元，从目前的形

式来看，很有可能血本无归。从招商银行 9月17 日公布的关于持有美国雷曼兄弟

公司债券情况的公告可以统计出截至本公告日招商银行持有美国雷曼兄弟公司发

行的债券头寸共计 7000 万美元，其中，高级债券和次级债券分别为 6000 万美元

和1000 万美元。虽然招商银行尚未对上述债券减值计提，但仍然以 10%的惯例计

提显然是不合适的，事实上，招商银行最终不得不以百分百计提。中国首只 QDII

基金——华安基金 9月16 日发布的国际配置基金的相关风险提示称，由于受雷曼

破产一事的影响，该基金可能无法开展正常赎回业务，公司鼓励投资者赶快赎回，

以免分文不剩。华安 QDII 的资产配置决定了基金的损失程度，当很有可能发生的

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摘要：

硕士学位论文I摘要本文首先根据无套利定价原理，揭示CDO定价的关键是CDO基础资产组合的联合损失分布。同时，本文分析了非线性违约相关性的Copula表示以及按照风险中性定价和鞅方法原理的要求从CDS的价格中推导CDO基础单个资产的风险中性违约概率。本文分析了CDO标准定价模型——单因素GaussianCopula模型的缺陷，以此说明对CDO定价模型改进的必要性。单因素GaussianCopula模型假设违约代理变量的系统因素和非系统因素服从独立的Gaussian分布，用多维GaussianCopula来度量CDO基础资产组合联合违约概率分布。本文在前人的基础上，考虑权益分券和高级分券的特殊性，...

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