双指数跳扩散模型期权的最小风险定价及参数估计

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3.0 周伟光 2024-09-20 7 4 740.67KB 49 页 150积分
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硕士学位论文
I
摘要
Black-Scholes 模型在期权定价领域获得了前所未有的成功，但是模型无法解
释标的资产收益的一些己知统计特征，如尖峰、波动集聚和长记忆性。众多的学
者通过对 Black-Scholes 研究成果提出许多拓展的模型，从而达到了更好地描述资
产收益分布的经验特征。实证研究表明股票收益的变化具有跳跃性。一个合理的
解释是，股票收益率是一个跳跃扩散过程，于是对 Black-Scholes 模型进行修正，
加入跳跃项。实证分析证实，这类模型可在某些情形下克服隐含波动率的“微笑”
与“偏差”效应，且根据该模型得到的欧式期权定价与市场价格吻合程度更好。
S.G.Kou 提出的双指数跳扩散模型便是其中的一种，认为资产价格变动可以分
别由一个几何布朗运动驱动的连续随机过程和一个离散的跳跃过程来表示，其中
跳跃规模的对数服从双指数分布，跳跃时间服从泊松分布。其优点是能够解释资
产收益的尖峰厚尾特点，并且像 Black-Scholes 模型一样欧式期权能够得到解析解，
这使得应用更为方便。此外，双指数跳跃扩散模型具有行为金融理论意义和心理
学解释意义。模型中的跳跃部分可以看作是市场对外部消息的反应。也就是说，
随着泊松流的利好或不利消息传来，金融资产价格根据跳跃规模分布做出反应和
改变。双指数分布的主要特征，即尖峰特征反映了市场对外部消息的反应不足;而
次要特征，即厚尾特征可以反映市场对外部消息的过度反应。
由于含有两个风险源，模型的鞅测度不唯一，本文使用最小风险鞅测度，即
Föllmer-Schweizer 最小鞅测度，通过选择适当的参数得到双指数跳扩散模型的欧式
期权解。模型的应用必然牵涉到参数估计，本文使用马尔科夫链蒙特卡洛模拟
（MCMC）获得参数估计值。首先根据离散化模型的密度函数选择合理的状态变
量，并找到合适的生成方式，获得模型的完整数据似然函数；然后通过模拟构造
参数的马尔科夫链，马尔科夫链的极限稳态分布即为参数的分布，从而获得参数
的估计值。实证部分使用上述方法对上证权证的数据拟合，得到参数估计值，通
过参数变换得到鞅测度下的参数值，最终带入期权定价公式求出权证理论值，并
分析比较与 Black-Scholes 模型理论价格的差别。
关键词：双指数跳扩散模型；蒙特卡洛模拟；马尔科夫链；最小风险测度；期权
定价
硕士学位论文
II
ABSTRACT
The Black-Scholes model has obtained the unprecedented success in the option
pricing domain, but the model can not explains the property income's some known
statistical nature, like the peak, the fluctuation gather with the long memory. The
numerous scholars propose many development models to the Black-Scholes research
results. Because the Black-Scholes model is very convenient, it is very popular to
financial professional, but its supposition of stock income continuity and the realistic
market has certain deviation, the empirical study indicated that the stock return’s change
has unevenness. A reasonable explanation is, the stock returns ratio is a jump diffusion
process. Therefore add the jump item to the Black-Scholes model. The empirical
analysis confirmed that this kind of model may overcome the “the smile” and “the
deviation” effect, and the Theoretical result is better.
S.G.Kou proposed the double exponential jump diffusion model is a kind of them,
in which the price of the underlying asset is modeled by two parts, a continuous part
driven by Brownian motion, and a jump part with the logarithm of the jump sizes
having a double exponential distribution. In addition leptokurtic feature and"volatility
smile", the model is simple enough to produce analytical solutions for the option pricing
problems. Because the noise process has jumps of random sizes, such a market is
incomplete and there is not a unique equivalent martingale measure.
Because includes two risk sources, the equivalent martingale measure is not unique.
In this paper ,I use the Föllmer-Schweizer minimal measure to get the analytical
solutions of the european option..To get parameters, I choose the dynamic markov chain
monte carlo simulation.Firstly,discrete the model,choose the rational state variables and
find the reasonable generation mechanism.Construct the markov chain of the parameters
throught computer simulation.The limit distribation of the markov chain is the
distribation of parameter.In the empirical part,I use the methods above to get the
theoretical price of the warrant in the Shanghai stock exchange,and compare with the
Black-Shcoles model.
Keywords ：Double Exponential Jump Diffusion Model; Monte Carlo simulation ;
Markov Chain; Föllmer-Schweizer minimal measure;Option Pricing
硕士学位论文
III
目录
第一章 绪论.....................................................................................................................1
第一节 研究背景和意义.........................................................................................1
第二节 国内外研究综述.........................................................................................2
第三节 本文研究思路.............................................................................................5
第二章 双指数跳扩散模型风险最小欧式期权定价.....................................................6
第一节 双指数跳扩散模型的密度函数特点分析........................................................... 6
第二节 双指数跳扩散模型的欧式期权解....................................................................... 10
第三章 双指数跳扩散模型参数估计方法...................................................................22
第一节 跳扩散模型的最大似然估计法............................................................................ 22
第二节 MCMC 贝叶斯方法.................................................................................................. 23
第三节 双指数跳扩散模型的 MCMC 估计.................................................................... 27
第四章 实证研究...........................................................................................................31
第一节 数据的处理和特征描述.......................................................................................... 31
第二节 参数估计结果............................................................................................................. 33
第三节 求出期权价格............................................................................................................. 37
第五章 结语...................................................................................................................39
参考文献.........................................................................................................................40
附录.................................................................................................................................44
硕士学位论文
1
第一章 绪论
第一节 研究背景和意义
20 世纪 90 年代以来，随着中国经济的腾飞，虽然困难重重，中国的资本市场
从无到有，经历了突飞猛进的发展。2005 年7月21 日起，我国了开始实行以
市场供求为基础、参考一篮子货币进行调节、有管理的浮动汇率制度；近年
来在国内外人民币升值的预期下，人民币汇率稳中有升，波动性大大增加。2005
年6月，中国股市结束了一轮漫长的熊市，开始了新一轮的大涨大跌，经历了一
轮惊心动魄的波动。虽然国内资本市场起步较晚，但是近年来汇率、利率、股市
前所未有的波动是的整个金融市场的风险急剧增大，这迫使商业银行、投资机构、
企业等寻找可以避险、进行套期保值的金融工具。然而目前国内可供选择的金融
工具并不多，目前金融衍生产品中只有权证，以目前的形式来看，国内金融衍生
产品必然会越来越多。
我国金融市场起步较晚尚处在新生发展阶段市场条件未完全成熟对现代金融
学理论和方法的研究相对落后，特别是金融实际问题的理论和应用研究更是如此。
随着我国改革开放进一步加快和国民经济持续高速增长，居民收入有了显著增加，
个人收入与消费支出也呈现多元化结构。我国经济金融环境发生了深刻变化，市
场经济结构不断发育成长并逐步与国际接轨、参与国际市场竞争。各种金融衍生
品的出现和新型市场的引入，己是势不可挡。特别是，随着股权分置改革、利率
的市场化和汇率制度改革的推进，将推动我国金融市场研究的不断发展和完善。
因此，建立符合实际发展规律的金融市场模型，并研究各种金融衍生品的定价问
题，不仅可以有效地规避资金运作的风险，吸引投资者，而且有利于促进金融市
场繁荣和提高管理决策能力。
由于期权具有良好的规避风险、风险投资和价值发现等功能，且表现出灵活
性和多样性特点，故近 20 年来，特别是九十年代以来，期权成为最有活力的金融
衍生产品，得到了迅速发展和广泛的应用。期权市场的快速发展得益于期权理论
的不断深化。期权理论研究的重点在于两个方向：一个方向是如何构造出新的期
权，以满足不断变化的市场投资需要；另一个方向是如何确定这些日趋复杂期权
的价值。在期权定价研究方面，80 年代以前的研究一般都假定期权所依赖的标的
资产的价格为一连续随机过程，市场也是“完善”的，在这些比较理想化假设条
件下，指导出各种期权的定价模型。近十多年来，得益于计算机技术的快速发展，
期权定价理论研究在以下两个方面得到深化，取得了大量研究成果：一是研究在
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2
不完善市场条件下如何确定期权价格问题;二是认为期权所依赖的标的资产价格是
一连续随机过程假设条件过于理想化，将这个假设条件改进为基础资产的价格服
从“跳扩散过程”来研究期权的定价问题。
第二节 国内外研究综述
国内外关于期权定价的理论研究大都建立在在 Black-Scholes 模型的基础上。
现代期权定价模型的最新革命始于 1973 年，
Fischer Black 和Myron Scholes 推导出
基于无红利支付股票的衍生证券的价格必须满足的随机偏微分方程，后来被广泛
称为 Black-Scholes 随机偏微分方程。该微分方程独立于风险偏好，因此运用这个
性质，他们推导出基于不付红利股票的欧式看涨期权和看跌期权的解析定价公式，
并因此而获得了诺贝尔经济学奖。在 Black-Scholes 公式中，假定标的资产的价格
服从对数正态分布，决定期权价格的参数包括标的资产价格、执行价格、无风险
利率、到期时间和标的资产的波动率；执行价格、无风险利率、标的资产的波动
率为常数；市场无摩擦，即不存在交易成本，标的资产完全可分，交易持续；标
的资产在期权有效期内不支付红利及其他所得；投资者可以以无风险利率借贷。
Black-Scholes 模型一经发表，交易商们立刻意识到模型的重要性，很快将它程序
化并用于计算期权市场。而计算机技术、信息技术的发展大大促进了复杂模型在
金融领域的应用，Black-Scholes 模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银
行、金融管理者、保险人等广泛使用。
到目前为止，几何布朗运动仍然在期权定价中具有广泛应用，然而单纯的几
何布朗运动不具有标的资产收益率的一些己知经验特征，如不对称尖峰和隐含波
动率微笑。众多的学者通过对 Black-Scholes 研究成果提出许多拓展的模型，从而
达到了更好地描述资产收益分布的经验特征。为了解释不对称尖峰现象，学者们
倾向于使用一些新的分布来代替正态分布，产生了以下几种理论：(1) Rogers (1997)
提出基于分形布朗运动的模型， Samorodnitsky 和Taqqu(1994)提出基于稳定的帕
累托分布的模型，帕累托分布的方差为无限大。(2) Barndorff-Nielsen 首先提出了
广义双曲分布的概念，认为正态分布、t分布、双曲分布、方差伽马分布和正态逆
高斯分布等式其极限形式，而这些分布都曾用来替代正态分布来描述金融市场，
并被证实对市场的解释能力优于正态分布；由于广义双曲分布具有更多的参数，
在分布密度函数中有 Bessel 函数，能更好地刻画市场数据具有的高厚尾性和高偏
度等特征，但是 Bessel 函数较为复杂，应用起来比较困难。(3) Clark (1973)，Madan
和Seneta (1990), Madan et al. (1998), 和Heyde (2000)提出了时变的布朗运动模型。
以上这些模型中都很难得到解析解。在解决波动率微笑问题上出现了：(1) 随机波
动率模型和 Arch 模型，如 Hull、
White (1987), Engle (1995), Fouque et al. (2000)。
(2)
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3
Cox、Ross(1976)、Davydov、Linetsky(2001)的不变弹性模型。(3)正态分布的跳扩
散模型如：
Merton(1976)。
(4) affine 随机波动率模型和 affine 跳扩散模型，如Heston
(1993), Duffie et al. (2000)。(5) 基于 lévy 过程的模型，如 Gemanet al. (2001)。
实证研究表明股票收益的变化具有跳跃性。一个合理的解释是，股票收益率
是一个跳跃扩散。于是对 Black-Scholes 模型进行修正，加入跳跃项。实证分析证
实，这类模型可在某些情形下克服隐含波动率的“微笑”与“偏差”效应，且根
据该模型得到的欧式期权定价与市场价格吻合程度更好。跳扩散过程首先由
Press(1967)提出，之后由 Merton(1976)、
Cox 和Ross (1976)加以推广，该模型假定
标的资产的即时收益率是由一个带漂移项的布朗运动和一个随机跳跃项所组成，
其中跳跃项是由服从正态分布的随机跳跃幅度和泊松过程复合组成。跳跃过程有
两个随机性，即跳跃发生的时刻为随机事件，且一旦发生，其幅度也是随机的。
跳扩散模型有很多种，其中跳跃时间为复合泊松过程最为常见，最早由 Merton
等于 1976 年提出。
Merton 将跳跃幅度假定为正态分布，很好的解释了资产收益率
的经验数据带有的尖峰厚尾、隐含波动率微笑的问题，而且得到了期权的解析解。
然而 Merton 在推导解析解时将跳跃部分视为可分散的风险，并未给跳跃部分风险
定价。正态分布跳跃项的加入使得模型资产收益率密度函数比正态分布有更为高
的峰度和更厚的尾部，然而它仍然是对称的，在有一些模型中能够产生不对称的
分布，来解释资产收益率密度函数偏锋状态。Kou 于2002 年提出一个新的跳扩散
模型，跳跃时间依然是复合泊松过程，而跳跃幅度则为双指数分布。双指数分布
的加入使得模型具有更为良好的性质，因为双指数分布具有不对称性，不但能够
解释尖峰厚尾、隐含波动率微笑的问题，而且能够解释偏度。Kou 同样推导出了
期权的解析解，使用风险中性定价方法，考虑到风险源有两个，鞅测度不唯一，
选择了一个效用函数作为测度变换的导数；虽然解析解形式较为复杂，但是实际
应用将会更加方便；缺点是效用函数的参数不能由模型本身得出，目前没有合适
的方法估计。
期权定价模型实际应用中，模型参数的估计方法至关重要的，如果估计方法
不当，即使模型选择正确，模型风险仍然存在。对于期权定价模型，有两类不同
的参数估计方法：第一类方法是利用标的资产价格的历史数据来进行估计，如 ML
估计法和 GMM 估计法。第二类方法就是利用所观测到的期权价格数据的隐含模
型参数估计法。本文主要讨论基于标的资产价格历史数据的模型参数估计方法。
作为 Black-Scholes 模型的扩展，跳扩散过程的似然函数形式比较复杂，而跳跃的
概率较小使得估计跳扩散过程需要大量的样本，一些常规的方法如最大似然估计、
距估计等方法显得十分复杂，而且需要很长的时间。而跳扩散过程的期权解的直
接性以及对金融数据的解释能力决定了其在金融理论中具有不可替代的地位。跳
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4
扩散模型的收益率序列比正态分布具有更高的峰度和更厚的尾部，其中一些模型
能够产生不对称的分布。这些特征能够解释金融数据的一部分特性，对金融数据
有比较好的预测能力。
最大似然估计是一种最常用的方法，跳扩散模型一出现广大学者便开始了对
最大似然估计的研究。Peter Honoré(1998)指出 Merton 跳扩散模型的对数收益率等
价于离散的混合正态分布过程，而混合正态分布过程的标准极大似然估计有可能
是不连续的，解决的方法是对参数加上合理的取值范围。Schaumburg(2001)详细讨
论了最大似然估计在跳扩散模型中的应用。
Yong(2007)提出了双指数跳扩散模型的
最大似然估计方法。
Gallant 与Tatlchen(1998)通过建立一个辅助模型，该辅助模型具有对数密度的
衍生形式。该方法的优点是得分(Socre)函数具有解析表达式，通过得分函数的结
构模型表达式来构成矩条件。这个解析表达式依赖于辅助模型和结构模型的参数，
辅助模型的参数用柯西 MLE(伪极大似然估计值)来代替，结构模型的参数通过最
小GMM 标准函数来估计。Chernov 等(2003)提出了基于 EMM 方法的跳扩散模型
的估计方法。
王建稳(2005)使用聚类方法讨论了泊松跳扩散过程的参数估计方法，充分利用
了跳扩散模型的跳跃特性， 不仅得到模型参数的较好估计， 如估计量无系统偏
差， 而且还可估计出跳跃点的位置，对于跳跃频率较高的金融证券市场将更加有
效。王建稳、肖春来(2005)使用聚类方法得出了非对称泊松跳扩散过程的参数估计。
Kiseop Lee，Mingxin Xu(2008)证明了常数泊松跳过程弱收敛于多叉树，通过中心
聚类方法的到多叉树的参数，从而间接得到模型的参数。聚类方法简单容易理解，
同时也能的到较好的参数估计值，在模型较简单时确实是一种不错的方法。
Peter Honore(1998)证明了 Merton 跳扩散模型可以近似表示为伯努利扩散模
型，资产对数收益率的分布是一个混合正态分布，同时也证明了标准的最大似然
估计方法得出的参数估计值是无效的，因为无法分辩样本来自哪一个正态分布，
而且两个正态分布的方差是不同的。Pedesen(1995)首先将参数估计的问题作为缺
失值问题，并建立了相应的 MCMC 方法，虽然最初这种方法不能适应含有隐含因
子的模型参数估计，但是 Eraker(2001) ，Jones(1995) 以及 Elerian 、Chib 和
Shephard(2001)扩展了 MCMC 方法，为 MCMC 技术提供了新的进展。胡素华、张
世英和张彤(2006)用MCMC 方法对抛物线扩散和 NIG 扩散模型进行了估计，首先
使用 Euler 方法对连续过程进行离散化，用离散过程的似然函数做为模型参数的近
似似然函数，并采用 MH 抽样法构造马尔科夫链。周彦、张世英(2007)用MCMC
方法估计了随机波动模型，首先用更为精确的 Milstein 方法将模型离散化，使用随
机游走 MH 算法取得了参数的估计值。实际上，MCMC 方法对那些在似然函数中
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5
包含高维积分的问题以及模型含有隐含变量的情形特别适用。
MCMC 方法具有以下几个优点：首先，MCMC 方法可以适用于多变量模型，
其可以避免间接推断方法中由于引入辅助模型而所产生的参数数量大规模增加的
问题；其次，对于那些含有隐含变量的模型，如随机波动模型，在进行参数估计
的同时，MCMC 方法还可以解决这些隐含变量的滤波和预测问题；第三，MCMC
方法从参数的条件后验分布来模拟参数值时不需要精确的参数后验分布，仅仅需
要精确后验分布的正比形式，另外在使用 MH 算法的 MCMC 方法中，可以直接从
各个参数的联合后验分布中对各个参数直接取样；最后，在多变量模型中，各个
变量可以非同步取样。
使用 MCMC 方法进行模型的参数估计，首先要获得参数的后验分布，这样就
必须对模型进行离散化的表示，常用的方法是采用 Euler 方法，这种方法比较简单，
但是误差相对较大；另外就是采用 Milstein 方法，这种方法精度较高，但是计算相
对要复杂，尤其是在含有跳跃的模型中。
第三节 本文研究思路
本文的研究思路大致如下：
第二章首先推导了双指数跳扩散模型中资产收益率的密度函数，分析相同期
望值和方差下的与正态分布假设图形的差异以及不同参数值的情况下模型自身的
差异；随后推导了欧式期权的期权解， Kou 使用一个效用函数作为测度变换的导
数，本文使用最小风险鞅测度的方法得到了与 Kou 类似的结果。第三章着重分析
跳扩散模型的参数估计方法，通过比较本文选择了较为合适的方法即动态蒙特卡
洛模拟方法；与张士英等不同的是：离散化方法更为精确，根据密度函数的特点
构造一个矩阵作为状态态变量，并用它的预测分布来更新；首先根据模型的特点
得到精确的离散化方法，并将其分解为三个部分，引入合理的状态变量，通过动
态蒙特卡洛模拟方法使得参数迅速收敛，得到参数的估计值。第四章分析国内股
票与权证市场，通过比较验证模型的合理性。
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6
第二章 双指数跳扩散模型风险最小欧式期权定价
期权的价格依赖于某随机变化的资产的价格，许多关于期权定价的研究都是
基于 Black-Scholes 的扩散模型，虽然成功解释了期权价格的形成，但其结果与实
际市场数据存在偏差。为了克服该模型的不足，
1976 年Merton 引入了跳扩散过程，
来解释资产价格波动的过度尖峰厚尾现象，并得到了类似 Black-Scholes 公式的期
权价格。虽然 Merton 的研究使期权价格更符合实际，但资产价格的跳跃幅度仍假
设服从正态分布，描述了对称信息的价格变化，与实际统计数据分析的非对称、
非高斯分布特征有差异。因此，Kou 考虑跳跃幅度服从非对称的双指数分布，推
广了 Merton 结果。本章我们首先介绍 Kou 的双指数跳扩散模型，利用最小鞅测度
方法重新推导定价公式，该定价方法又被称为最小风险定价。
第一节 双指数跳扩散模型的密度函数特点分析
Kou(2002)认为资产价格变动可以分别由一个几何布朗运动驱动的连续随机过
程和一个离散的跳跃过程来表示。其中跳跃规模的对数服从双指数分布，跳跃时
间服从泊松分布。具体来说：假设 St是t时刻某种资产的价格，那么在双指数跳扩
散模型里有：
()
()
i
1
dd1
Nt
t
t
i
t
Sdt dW V
S
μσ
=
−
⎛⎞
=+ + −
⎜⎟
⎝⎠
∑
这里 Wt是标准布朗运动，Nt为参数为λ的泊松过程，Vi是独立同分布的非负的随
机变量，Y=log(Vi)服从双指数分布，概率密度为：
}0{2}0{1 21
)( ≤
−
≥
−+= y
y
y
y
YIeqIepyf
ηη
ηη
0,1,1,0, 21 >>
=
+
≥
η
η
qpqp
其中 p
，
q分别表示向上和向下跳的概率。并且，Y=log(Vi)有如下特点：
()
,
log ,
dp
Vq
ξ
ξ
+
−
⎧
⎫
⎪
⎪
=
⎨
⎬
⎪
⎪
⎩⎭
概率
概率
ξ
+、
ξ
−为指数分布的随机变量，期望值分别为 1
1/
η
、2
1/
η
，d
=
表示为在概率上相
等。
Kou(2002)证明了该模型可以从均衡理论导出，具有明显的经济学意义。此外，
双指数跳跃扩散模型具有行为金融理论意义和心理学解释意义。模型中的跳跃部
分可以看作是市场对外部消息的反应。也就是说，随着泊松流的利好或不利消息
传来，金融资产价格根据跳跃规模分布做出反应和改变。双指数分布的主要特征，
即尖峰特征反映了市场对外部消息的反应不足；而次要特征，即肥尾特征可以反
硕士学位论文
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映市场对外部消息的过度反应。此外双指数分布的非对称特征可以刻画市场对好
消息与不利消息的不同反应程度，η1表征市场对好消息的反应程度，η2而表征了
市场对不利消息的反应程度。另外η1(η2)越大，η1(η2)则反映市场对外部消息的反
应不足程度越高。
下面分析一下双指数跳扩散模型的图形特点。通过解微分方程我们得到 St的
解：
() ( )
(){}
∏
=
+−= t
N
i
i
VtWtStS
1
2)(5.0exp0
σσμ
通过上式，我们试列出标的资产收益率的表达式：
()
2
1
() ( ) 1 exp 0.5 [ ( ) ( )] 1
() ()
tt
t
N
i
iN
St St t tWttWt X
St St
μσ σ
+Δ
=+
⎛⎞
Δ+Δ
=−=−Δ++Δ−+−
⎜⎟
⎝⎠
∑
如果Δt足够小，比如一天，由上式表示的资产收益率中求和的部分可以近似的表
示，使用 Euler 方法离散化近似：
()
222
1
1
() 0.5 [ ( ) ( )] 0.5 [ ( ) ( )]
()
tt
t
tt
t
N
i
iN
N
i
iN
St t WttWt X WttWt
St
tZt X
μσ σ σ
μσ
+Δ
+Δ
=+
=+
Δ≈− Δ+ +Δ− + + +Δ−
≈Δ+ Δ+
∑
∑
这里，
Z是一个正态随机变量，
Nt是一个泊松随机变量，且发生一次跳跃的概率为
λ
Δt，发生大于一次跳跃的概率为 o(Δt)，所以当Δt非常小的时候，可以忽略多次的
跳跃：
1
,
0, 1
tt
t
N
i
i
iN
t
Xt
λ
λ
+Δ
=+
Δ
⎧
≈⎨
−
Δ
⎩
∑以概率
以概率
所以可以推出：
()
()
St tZtBX
St
μσ
Δ
≈
Δ+ Δ+ •
B为伯努利变量。我们能够表示出上式的概率密度：
22
11
1
22
22
2
2
()/2() 1
2
()/2() 2
1
() ( ) ( )
()
txt
txt
x
tttx t
gx t p e e
tt t
xt t
qe e t
ση μ η
ση μ η
μσηλμ
ϕλη
σσ σ
μση
ησ
Δ−−Δ
Δ−Δ
⎧
−
Δ− Δ−Δ −Δ
=+Δ Φ
⎨
ΔΔ Δ
⎩
⎫
−Δ− Δ
+Φ−
⎬
Δ⎭
计算期望值和方差得到如下式子：
12
())(//
gtpEG q t
μ
λη η
=−Δ+ Δ
(
)
{
}
2222
12 1 2
2
12
(1/ ) /
(
() 1/ /
)//)(1
gtpq p t
p
DG q
tqt
σ
ηη η ηλ
ηηλ λ
=++Δ+ + Δ
+Δ−Δ−
在图 2-1 中画出具有相同期望和方差的正态分布的图，与之比较。其中参数为：
摘要：

硕士学位论文I摘要Black-Scholes模型在期权定价领域获得了前所未有的成功，但是模型无法解释标的资产收益的一些己知统计特征，如尖峰、波动集聚和长记忆性。众多的学者通过对Black-Scholes研究成果提出许多拓展的模型，从而达到了更好地描述资产收益分布的经验特征。实证研究表明股票收益的变化具有跳跃性。一个合理的解释是，股票收益率是一个跳跃扩散过程，于是对Black-Scholes模型进行修正，加入跳跃项。实证分析证实，这类模型可在某些情形下克服隐含波动率的“微笑”与“偏差”效应，且根据该模型得到的欧式期权定价与市场价格吻合程度更好。S.G.Kou提出的双指数跳扩散模型便是其中的一种，...

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