【沪教版数学9年级上】 习题试卷-专题06 相似三角形的性质重难点专练（解析版）（沪教版）

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3.0 李江 2024-09-29 4 4 3.26MB 126 页 5积分
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专题 06 相似三角形的性质重难点专练
第 I 卷（选择题）
一、单选题
1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在 中，
， 为 边的中点，点 是 延长线上一点，把
沿 翻折，点 落在 处， 与 交于点 ，连接 ．当
时， 的长为（ ）
A．B．C．D．
第 II 卷（非选择题）
二、解答题
2．（2021·上海中考真题）如图，在梯形 中，
是对角线 的中点，联结 并延长交边
或边 于 E．
（1）当点 E在边 上时，
①求证： ；
②若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的长．
3．（2021·上海金山区·九年级二模）已知在△ABC 中，AB＝AC＝ ，∠BAC＝
120°，△ADE 的顶点 D在边 BC 上，AE 交BC 于点 F（点 F在点 D的右侧），∠DAE
＝30°．
（1）求证：△ABF∽△DCA；
（2）若 AD＝ED．
①联结 EC，当点 F是BC 的黄金分割点（FC＞BF）时，求 ．
②联结 BE，当 DF＝1时，求 BE 的长．
4．（2021·上海崇明区·九年级二模）已知：如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝
DC，点 E在下底 BC 上，∠AED＝∠B．
（1）求证：CE•AD＝DE2；
（2）求证： ．
5．（2021·上海静安区·九年级二模）如图，已知半圆 O的直径 AB＝4，点 P在线段
OA 上，半圆 P与半圆 O相切于点 A，点 C在半圆 P上，CO⊥AB，AC 的延长线与半圆
O相交于点 D，OD 与BC 相交于点 E．
（1）求证：AD•AP＝OD•AC；
（2）设半圆 P的半径为 x，线段 CD 的长为 y，求 y与x之间的函数解析式，并写出定
义域；
（3）当点 E在半圆 P上时，求半圆 P的半径．
6．（2021·上海松江区·九年级二模）如图，已知在△ABC 中，BC＞AB，BD 平分
∠ABC，交边 AC 于点 D，E是BC 边上一点，且 BE＝BA，过点 A作AG∥DE，分别交
BD、BC 于点 F、G，联结 FE．
（1）求证：四边形 AFED 是菱形；
（2）求证：AB2＝BG•BC；
（3）若 AB＝AC，BG＝CE，联结 AE，求 的值．
7．（2021·上海九年级专题练习）（1）问题发现
如图 1，△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直线
BD，CE 交于点 F，直线 BD，AC 交于点 G．则线段 BD 和CE 的数量关系是　 　，
位置关系是　 　；
（2）类比探究
如图 2，在△ABC 和△ADE 中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直线
BD，CE 交于点 F，AC 与BD 相交于点 G．若 AB＝kAC，试判断线段 BD 和CE 的数量
关系以及直线 BD 和CE 相交所成的较小角的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图 3，在平面直角坐标系中，点 M的坐标为（3.0），点 N为y轴上一动点，连接
MN．将线段 MN 绕点 M逆时针旋转 90 得到线段 MP，连接 NP，OP．请直接写出线段
OP 长度的最小值及此时点 N的坐标．
8．（2021·上海九年级专题练习）（1）证明推断：如图（1），在正方形 中，
点 ， 分别在边 ， 上， 于点 ，点 ， 分别在边 ，
上， ．求证： ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形 中， 将矩形 沿 折叠，
使点 落在 边上的点 处，得到四边形 ， 交 于点 ，连接
交 于点 ．试探究 与 之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接 ，若 ， ，求 的
长．
9．（2021·上海九年级专题练习）如图，P是正方形 ABCD 边BC 上一个动点，线段
AE 与AD 关于直线 AP 对称，连接 EB 并延长交直线 AP 于点 F，连接 CF．
（1）如图（1），∠BAP＝20°，直接写出∠AFE 的大小；
（2）如图（2），求证：BE＝CF；
（3）如图（3），连接 CE，G是CE 的中点，AB＝1，若点 P从点 B运动到点 C，直
接写出点 G的运动路径长．
10．（2021·上海宝山区·九年级期中）如图，在 中， 的平分线交边
于点 ，交 的延长线于点 ，点 在 上，联结
（1）求证： ；
（2）连结 ，如果 ，且 ，求 的长．
11．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，四边形 是菱形，点 、 分
别在边 、 上，联结 、 交对角线 于 、 两点，且
．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： ．
12．（2021·上海九年级专题练习）如图，在 中， ， ，
，过点 作射线 ，点 、 是射线 上的两点（点 不与点
重合，点 在点 右侧），连接 、 分别交边 于点 、 ，
．
（1）当 时，求 的长
（2）设 ， ，求 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围；
（3）联结 并延长交边 于点 ，如果 是等腰三角形，请直接写出
的长．
13．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形 中， ， ，
点E在边 AB 上（点 E与端点 A、B不重合），联结 DE，过点 D作 ，交
BC 的延长线于点 F，连接 EF，与对角线 AC、边 CD 分别交于点 G、H．设 ，
．
（1）求证： ，并求 的正切值；
（2）求 y关于 x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）连接 BG，当 与 相似时，求 x的值．
14．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知正方形 ABCD 中，BC＝4，AC、BD 相
交于点 O，过点 A作射线 AM⊥AC，点 E是射线 AM 上一点，联结 OE 交AB 边于点
F．以 OE 为一边，作正方形 OEGH，且点 A在正方形 OEGH 的内部，联结 DH．
（1）求证：△HDO≌△EAO；
（2）设 BF＝x，正方形 OEGH 的边长为 y，求 y关于 x的函数关系式，并写出定义域；
（3）联结 AG，当△AEG 是等腰三角形时，求 BF 的长．
15．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知 是等边三角形，点 、 分别
在边 、 上，且 ，联结 并延长至点 ，使 ，联结 ，
，联结 并延长交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： ；
16．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知在 中， ，
，点 D为边 上一动点（与点 B、C不重合），点 E为边 上一点，
，过点 E作 ，垂足为点 G，交射线 于点 F．
（1）如果点 D为边 的中点，求 的正切值；
（2）当点 F在边 上时，设 ， ，求 y关于 x的函数解析式及定义
域；
（3）联结 如果 与 相似，求线段 的长．
17．（2020·上海市位育初级中学九年级期中）如图，在边长为 10 的正方形 ABCD 中，
内接有六个大小相同的正方形，点 P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶
点，则每个小正方形的面积为_____．
18．（2021·上海）如图 1，在 中， 是 边上一点，
E是在 边上的一个动点（与点 不重合）， 与射线 相交
于点 F．
（1）如图 2，如果点 D是边 的中点，求证： ；
（2）如果 ，求 的值；
（3）如果 ，设 ，求 y关于 x的函数关
系式，并写出定义域；
19．（2021·上海）如图，在 Rt ABC△中，∠C=90°，AC=BC=6，点 D为AC 中点，点
E为边 AB 上一动点，点 F为射线 BC 上一动点，且∠FDE=90°．
（1）当 DF//AB 时（图 1），联结 EF，求 DE：DF 值；
（2）当点 F在线段 BC 上时（图 2），设 AE=x，BF=y，求 y关于 x的函数关系式，并
写出 x的取值范围；
（3）联结 CE，若△CDE 为等腰三角形，求 BF 的长．
20．（2021·上海）如图．已知在 中 ，点 是边
上任意一点．连接 ，过点 作 ，垂足为点 ，连接 ，使得
，连接
摘要：

专题06相似三角形的性质重难点专练第I卷（选择题）一、单选题1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在中，，为边的中点，点是延长线上一点，把沿翻折，点落在处，与交于点，连接．当时，的长为（）A．B．C．D．第II卷（非选择题）二、解答题2．（2021·上海中考真题）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E．（1）当点E在边上时，①求证：；②若，求的值；（2）若，求的长．3．（2021·上海金山区·九年级二模）已知在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝120°，△ADE的顶点D在边BC上，AE交BC于点F（点F在点D的右侧），∠DAE＝30°．（1）求证：△ABF∽△DCA；（2...

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