基于非参数估计方法的违约回收率密度函数估计研究

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3.0 周伟光 2024-09-30 4 4 672.69KB 61 页 15积分

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浙江财经学院硕士学位论文

摘要

对违约概率的研究一直以来是学者关注的重点，模型随着假设条件从简单到

贴近实际和关注角度的变化发展出结构模型、简约模型和信用 VaR 模型。这些模

型的最终意图都是发展出一套科学系统的体系来度量或预测违约概率，以求合理

定价或防范未来可能发生的损失。而对于另一项风险因子违约损失率，大都认为

其属于统计范畴而少有重视，直到近些年，不良资产的增加违约事件的增多才带

动一些学者和机构对损失率的研究。这类研究基本涉及统计方法、分布形态、影

响因素等方面，其中在分布形态研究上，目前主要分为两类：一类是利用直方图

等统计手段观察分布形态，计算均值和方差；一类是使用回收率样本做某种分布

函数的参数估计得到分布函数的显示形式，最常见的是假设服从 Beta 分布。但是

有时候这两种方式会呈现出一种矛盾的现象，如有实证研究发现，某些级别的贷

款和债券回收率不一定呈现偏斜或单峰的分布形态，而是多峰，这就造成了 Beta

分布拟合的局限。

为此，本文研究一种能够解决边界偏差问题、符合回收率分布在闭区间之实

际的边界核非参数估计方法，并对穆迪公司违约贷款和公司债的统计数据做了密

度估计实证分析。

首先，本文概括性介绍了非参数估计方法的原理、类别，对其中常用的核估

计方法进行了具体介绍，细致阐述了评价核估计绩效的诸指标和由此得到的最优

窗宽选择办法。实际窗宽选择中，我们选用 Alexandre 提出的解方程法，它集合了

插入法思想与迭代算法。

然后，本文分析了常规对称核在无界和有界区间上统计性质的差异，发现在

无界区间上运行良好的对称核在有界区间上产生了“边界问题”，这会导致其在边

界区域不满足渐进一致和无偏性，不适宜直接使用。对此，本文将非对称核和在

边界处使用边界核的思想应用到解决方案中，给出两种代表性核——Beta 核和边

界核，随后理论推导其偏差、方差、积分均方误差等统计性质，并进行蒙特卡洛

数值模拟。本文发现两种核均能较为有效地解决边界问题，其中以边界核的统计

性质更优。在具体运用上，本文还给出了边界核在边界区域的变窗宽选择方法，

它有助于改善在样本点稀疏的边界处的估计效果。

最后，本文选取穆迪公司公布的 6年间违约贷款和公司债回收率数据，分别

用上文挑选出的边界核和传统 Beta 分布方法对回收率密度估计做实证分析。为分

析含经济低迷期和不含低迷期数据的异同，本文将数据分为两类，一类为含低迷

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期的全部数据，一类为剔除低迷期数据。分析结果发现，从图形即可直观观察到

边界核的巨大优势，MISE 结果进一步证实了两者效果的差异。随后，本文进行卡

方检验的拟合优度检验，检验结果表明两类数据的非参数估计效果都落在拒绝域

外而 Beta 分布的结果均落在拒绝域内，表明非参数估计拟合效果好于 Beta 分布。

进一步，文本引进 Bootstrap 抽样对两者的差异程度进行进一步衡量，在三组数据

上发现了明显差异。

综上所述，本文考虑边界效应，使用边界核对违约回收率进行密度估计，使

不通过事先设定分布函数而观察回收率分布成为可能。理论上为回收率及信用风

险模型的精确建模打下基础，实际中，投资者更关注极端事件的发生，为投资者

配置经济资本和监管者的监管提供了依据。

关键词：违约回收率；非参数估计；核函数；边界问题

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III

ABSTRACT

The probability of default (PD) has always been the focus of professionals. As the

assumptions go from simple to more pragmatic, and with the change of the attentions of

different entities, Structural model, Reduced form model and Credit VaR model were

advanced. The ultimate purpose of these models is to develop a scientific and systematic

model to measure or predict PD in order to make prices or prevent losses in the future.

However, when refereed to another credit risk factor RR, people always think it belongs

to a statistics category and relatively haven’t paid much attention until recently when

non-performing assets and default events increase. Researches on RR basically involve

statistics, distribution, influencers and so on. The distribution research may generally be

divided into two types, one is to utilize statistical methods like histogram to observe the

distribution, the other is to parametrically estimate its density function which is set

initially. The most common distribution assumption is Beta distribution. But what is

interesting is that sometimes those two results present a contradiction. Some empirical

researches find out that multimodal rather than sloped or unimodal accrues in some

ranks of bonds and loans. This is because of the same micro-economic and seniority that

financial assets are facing with, but this phenomenon results in the limitation of using

Beta distribution.

So in this paper, we research on a nonparametric estimation method called kernel

estimation which is able to settle the “boundary problem” and be utilized in the compact

support where LGD lies in. Then we do an empirical analysis on the LGDs of defaulted

loans and bonds calculated by Moody’s.

Firstly, the principle and categories of nonparametric estimation are overviewed

synoptically. Then several indices are introduced to evaluate the performances of

kernels and the way to choose an optimal bandwidth based on these indices. In practice,

we use a method combining DPI and interactive algorithm called “Solve the Equation”,

which is brought out in 2008, to choose the optimal bandwidth.

Then, the paper analyzes the differences of statistical properties between compact

and unbounded support of common symmetric kernels and find out the boundary

problem occurring in boundary region. It shows that the estimator is no longer of

asymptotic consistency and unbiasedness. To solve this, the thought of importing

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asymmetric or boundary kernel in to boundary region is inspired and two representative

kernels, Beta kernel and boundary kernel, are proposed. Their statistical properties like

variance, bias, MISE and the results of Monte Carlo simulation show that the two both

solve the boundary problem properly, in which boundary kernel is better. In practical

application, we also propose a method to choose the variable bandwidth in the boundary

region, which helps to improve the bad performance where samples are sparse.

Finally, the paper empirically estimates the density function of RRs of defaulted

loans and bonds published by Moody’s using the chosen boundary kernel and Beta

distribution. In order to distinguish between normal years and downturn, we separate

the samples into two categories. The empirical results show that boundary kernel has an

immense advantage no matter in figure curves or MISE. Then a chi-square test is

applied and the result confirms our conclusion. After that a bootstrap sampling is done

to evaluate how one differs from another.

In conclusion, to use a boundary kernel to estimate the density function of RR

makes it possible that visualizing the recovery function without assuming a specific

parametric specification. It lays a foundation for a precise modeling of RR and credit

model in the future and supplies basis for allocating capital and supervising.

Keywords: recovery rate; nonparametric estimation; kernel function; boundary problem

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第一章导论 .................................................................................................................... 1

第一节选题背景及意义.......................................................................................................1

第二节国内外文献综述.......................................................................................................3

第三节论文的研究思路、内容及论文结构 ..................................................................9

第四节论文的创新点 .........................................................................................................10

第二章非参数概率密度估计方法简介 ...................................................................... 12

第一节非参数概率密度估计概念 ..................................................................................12

第二节常用非参数方法.....................................................................................................14

第三节常用的核函数 .........................................................................................................17

第四节窗宽的选取..............................................................................................................19

第五节本章小结 ..................................................................................................................24

第三章边界问题及其解决方法 .................................................................................. 26

第一节边界问题描述 .........................................................................................................26

第二节非对称Beta核函数法 ............................................................................................27

第三节边界核函数方法.....................................................................................................31

第四节三种核的估计效果比较.......................................................................................35

第五节本章小结 ..................................................................................................................39

第四章实证研究 .......................................................................................................... 40

第一节违约回收率的含义 ................................................................................................40

第二节样本的选取..............................................................................................................41

第三节实证结果及分析.....................................................................................................42

第四节本章小结 ..................................................................................................................48

第五章结论与展望 ...................................................................................................... 50

参考文献 ........................................................................................................................ 52

附录 ................................................................................................................................ 57

致谢 ................................................................................................................................ 65

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第一章导论

第一节选题背景及意义

一、研究背景

巴塞尔新资本协议内部评级法(IRB)中对于影响一项金融资产信用风险的三大

主要因素的界定是：(1)违约概率(PD)；(2)违约损失率(LGD)，也可以说是回收率

(RR)，因为这两者之和为 1，可以相互转化；(3)违约风险暴露。一直以来，对违约

概率的研究都非常之多，可以说已经非常成熟，然而对另一重要风险因子违约回

收率或违约损失率的研究却鲜有发展。这一方面归因于信用定价模型和风险管理

方法习惯于更多地关注风险贴水的唯一来源——系统性风险因子，一方面是由于

模型通常假设违约回收率只与自身特征有关，如有无担保，何种评级等等，而这

些特征被认为是与系统性因子无关的，因此违约回收率与违约概率并无相关性。

然而这个相比之下未能吸引绝大部分研究学者目光的因子实际上却并非不重要。

在每一个信用模型中都涉及到对于这个变量的求解或估计，如莫顿(Merton,1974)

的结构化模型，简约模型，信用 VaR 模型等。

在实际运用中，这些信用风险定价模型关于违约回收率的假设通常都非常简

单。例如，首达模型中，学者通常假设回收率是一个未偿贷款的固定比例，是一

个与违约概率和公司价值无关的外生变量。Longstaff and Schwartz(1995)在他们的

文章中指出，人们可以通过观察和自己所研究的公司相似的其他公司的各类债务

的历史违约事件和历史回收率来形成对违约回收率的可靠估计。简约模型中，一

些模型假设不考虑到期距离，相同发行人、等级和面值的债券具有相同的违约回

收率，如 Duffie(1998)假设违约时，债权人会收到一笔与息票率、到期日无关的面

额一定比例的金额，同级别的其他债券也有相同的面额比例。自 90 年代后期以来，

银行和金融机构致力于设计一种旨在测量给定置信水平下资产组合在一定时期内

的潜在损失的模型。这类模型包括 J.P. 摩根的 CreditMetrics 模型，瑞士信贷的

CreditRisk+模型，麦肯锡的 CreditPortfolioManager 和镰仓公司的 Risk Manager 模

型等。某种意义上这类信用 VaR 可以看做是一种简约模型，它们中的违约回收率

本文获得国家自然科学基金项目（71171176）资助

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通常被取做一种与违约概率无关的外生的常量或随机变量，比如在 CreditMetrics

模型中，违约事件中的违约回收率被认为是一个服从 Beta 分布的随机变量。

但是仅仅做这样一些简化的或近似的假设是不够的，穆迪对银行贷款和债券

回收率的研究表明，回收率通常呈双峰分布情形：大量回收率数值集中在 0%和

100%附近，[0,1]区间中的回收率分布成两端峰型情形。不同国家的学者使用本国

数据进行实证后都发现了不同程度的类似现象。那么可以说，回收率的这种形态

在某种程度上不是一个个例，这使我们有理由认为寻找一种更有效的技术刻画回

收率的这种形态是有意义的，不论是对单纯寻找回收率分布规律还是信用风险度

量的建模都大有帮助。回顾国内关于回收率分布的研究可以发现，此类研究大多

只是关注不同行业不同级别或不同时期实证的均值和方差的比较上，鲜有对回收

率特征的高级建模。我们知道，在很多信用模型中，不仅要求知道回收率数值，

还必须知道该数值出现的可能性，这种数理属性的存在是模型理论分析的基础，

因此一个不精确的假设和取值会给实际结论带来误导。与回收率密切相关的一个

变量是在险价值（VaR），它是经济主体尤其关注的一个变量，是主体合理配置经

济资本保证抵抗风险能力的重要参考。Renault and Scaillet(2003)的研究表明，对回

收率的放松假设（常数、Beta 分布）会在不同的置信水平上低估信用 VaR 值，并

且置信水平越高，差距越明显。因此，更深入精确地研究回收率的分布是必要且

重要的。在了解回收率可能分布的基础上依然执着选择简单放松的已知分布来模

拟它，无疑不符合科研要求的严谨精神，也可能在实际应用中造成比较大的误差，

误导经济主体的决策。

二、研究意义

（一）理论意义

一个避险决策主体不仅关注某变量出现概率最大的数值，还极其关注尾部风

险，从概率角度说尾部出现的可能性较小，但是一旦出现就会造成非常大的损失。

国内外研究表明，某些行业、等级的违约贷款和债券的回收率分布呈现双峰特征，

回收率数值大量集中在较低和较高的两端，若以均值衡量则可能忽略高低两端出

现的较高可能性的极端事件。而 Beta 分布随参数的变化而调整形状的特性使其在

拟合偏态、钟型、U型分布上有很大优越性，但对双峰或多峰分布却束手无策。

若能将不需对分布形式做预先假设的非参数方法引进贷款或债券的违约回收率研

究中，则可以避免由于固定了分布形态而造成的拟合不准的缺陷，当然这种方法

是建立在有一定量数据基础上的。如果可以找到用以刻画回收率形状的分布函数

并将其运用到信用风险度量模型中，则可以提高模型精度，使理论更贴近实际。

（二）实际意义

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浙江财经学院硕士学位论文I摘要对违约概率的研究一直以来是学者关注的重点，模型随着假设条件从简单到贴近实际和关注角度的变化发展出结构模型、简约模型和信用VaR模型。这些模型的最终意图都是发展出一套科学系统的体系来度量或预测违约概率，以求合理定价或防范未来可能发生的损失。而对于另一项风险因子违约损失率，大都认为其属于统计范畴而少有重视，直到近些年，不良资产的增加违约事件的增多才带动一些学者和机构对损失率的研究。这类研究基本涉及统计方法、分布形态、影响因素等方面，其中在分布形态研究上，目前主要分为两类：一类是利用直方图等统计手段观察分布形态，计算均值和方差；一类是使用回收率样本做某种分布函数的参数估...

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