【沪教版数学8年级下】 知识总结-第06讲多边形与平行四边形（核心考点讲与练）（沪教版）（解析版)

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3.0 李江 2024-10-12 6 4 760.28KB 43 页 5积分
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第 06 讲多边形与平行四边形（核心考点讲与练）
一．多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所
在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于 180°，通常所说的多边形
指凸多边形．
（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，
此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．
常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的
交点（4）任意多边形．
二．多边形的对角线
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n3﹣）条对角线．从 n个顶点出发引出（n3﹣）条，而每条
重复一次，所以 n边形对角线的总条数为：n（n3﹣）2（n≥3，且 n为整数）
（3）对多边形对角线条数公：n（n3﹣）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个
邻点相连成对角线，故可连出（n3﹣）条．共有 n个顶点，应为 n（n3﹣）条，这样算出的数，
正好多出了一倍，所以再除以 2．
（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数 n的值计算，而计算边数时，需利用方程
思想，解方程求 n．
三．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n2﹣）•180° （n≥3 且n为整数）
此公式推导的基本方法是从 n边形的一个顶点出发引出（n3﹣）条对角线，将 n边形分割为（n
2﹣）个三角形，这（n2﹣）个三角形的所有内角之和正好是 n边形的内角和．除此方法之和还
有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边
形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于 360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则 n边形取 n个外角，无论边数是几，其外角和永
远为 360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n2﹣）•180°＝360°．
四．平面镶嵌（密铺）
（1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间
不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．
（2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形
的内角之和为 360°．
判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构
成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
（3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形．
（4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和 2个正方形、四个正三角形和 1个正六边形、2个正
三角形和 2个正六边形、1个正三角形和 2个正十二边形、1个正方形和 2个正八边形等．
（5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案．
五．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
六．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行 ABC
D是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行 ABC
D是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行 ABCD 是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行 ABCD 是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行 ABCD
是平行四边形．
七．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线
段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直
线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到
上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，
有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形
的性质和判定去解决问题．
一．多边形（共 2小题）
1．（2019 春•浦东新区校级月考）以线段 a＝7，b＝8，c＝9，d＝10 为边作四边形，可以作（　
）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
【分析】根据四边形具有不稳定性，可知四条线段组成的四边形可有无数种变化．
【解答】解：四条线段组成的四边形可有无数种变化．
故选：D．
【点评】本题主要考查四边形的不稳定性，理清题意，熟记四边形的不稳定性是解答本题的
关键．
2．（2005•天津）如图，已知五边形 ABCDE 中，AB∥ED，∠A＝∠B＝90°，则可以将该五边形
ABCDE 分成面积相等的两部分的直线有　无数　条．
【分析】过点 C作与 AB 平行的直线将该五边形分割为一个矩形和一个梯形，经过梯形中位线
的中点及矩形对角线的交点的直线可将该五边形的面积均分；设该直线与边 DE、AB 的交点
分别为 P、Q，线段 PQ 的中点为 O，则经过点 O且与边 DE、AB 相交的任意一条直线均可将
该五边形的面积均分．
【解答】解：将该五边形 ABCDE 分成面积相等的两部分的直线有无数条．
【点评】应把多边形问题转换为特殊的四边形来进行解决．
二．多边形的对角线（共 3小题）
3．（2021 秋•城固县期末）从七边形的一个顶点出发可以画出　 4 　 条对角线．
【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的
对角线，可知n边形从一个顶点出发可引出（n3﹣）条对角线，据此求解即可．
【解答】解：∵n边形（n＞3）从一个顶点出发可以引（n3﹣）条对角线，
∴从七边形的一个顶点出发可以画出 7 3﹣＝4条对角线．
故答案是：4．
【点评】本题主要考查了多边形的对角线的定义，n边形从一个顶点出发可引出（n3﹣）条对
角线是需要熟记的内容．
4．（2019 春•浦东新区期中）一个多边形共有 9条对角线，那么这个多边形的边数为 　 6 　 ．
【分析】根据 n边形共有 条对角线列出方程，解方程即可．
【解答】解：设多边形有 n条边，
则 ＝9，
解得n1＝6，n2＝﹣3（舍去），
即这个多边形的边数为 6．
故答案为 6．
【点评】本题考查了多边形的对角线，这类根据多边形的对角线，求边数的问题一般都可以
化为求一元二次方程的解的问题，求解中舍去不符合条件的解即可．
5．（2018 春•奉贤区期末）在四边形 ABCD 中，AB＝AD，对角线 AC 平分∠BAD，AC＝8，S四边
形ABCD＝16，那么对角线 BD＝　 4 　 ．
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAO＝∠DAO，根据 SAS 可证△BAO≌△DAO，再根据
全等三角形的性质可得∠BOA＝∠DOA，可得AC⊥BD，再根据对角线互相垂直的四边形面积
公式计算即可求解．
【解答】解：∵对角线 AC 平分∠BAD，
∴∠BAO＝∠DAO，
在△BAO 与△DAO 中，
，
∴△BAO≌△DAO（SAS），
∴∠BOA＝∠DOA，
∴AC⊥BD，
∵AC＝8，S四边形 ABCD＝16，
∴BD＝16×2÷8＝4．
故答案为：4．
【点评】考查了多边形的对角线，角平分线，全等三角形的判定与性质，四边形面积，关键
是根据 SAS 证明△BAO≌△DAO．
三．多边形内角与外角（共 5小题）
6．（2021 春•闵行区期中）如果一个多边形的内角和等于 900°，那么这个多边形的边数是（　
）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】n边形的内角和为（n2﹣）180°，由此列方程求 n的值．
【解答】解：设这个多边形的边数是 n，
则（n2﹣）180°＝900°，
解得n＝7，
故选：B．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行
正确运算、变形和数据处理．
7．（2021 春•浦东新区期中）若一个多边形的内角和的 比一个四边形的内角和多 90°，那么这
个多边形的边数是多少？
【分析】设这个多边形的边数是 n，由题意“一个多边形的内角和的 比一个四边形的内角
和多 90°”列出方程，解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是 n，
由题意得： （n2﹣）×180°＝360°+90°，
解得：n＝12，
答：这个多边形的边数是 12．
【点评】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和定理是解题的关键．
8．（2020 秋•上海期末）我们知道：三角形的内角和为 180°，所以在求四边形的内角和时，我
们可以将四边形分割成两个三角形，这样其内角和就是 180°×2＝360°；同理五边形的内角和
是　 540 　 度；那么 n边形的内角和是　（ 180 n 360﹣ ）　 度；如果有一个 n边形的内角和是 1
620°，那么 n的值是　 11 　 ．
摘要：

第06讲多边形与平行四边形（核心考点讲与练）一．多边形（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．常见图形的重心（...

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