【沪教版数学8年级下】 知识总结-第07讲菱形（核心考点讲与练）（沪教版）（解析版)

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3.0 李江 2024-10-12 4 4 860.21KB 42 页 5积分
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第 07 讲菱形（核心考点讲与练）
一．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有 2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ ab．（a、b是两条对角线的长度）
二．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形 ABCD 是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形 ABCD 是平行四边形∴平行四边形 ABCD 是菱形
三．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，
中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等
的四边形的中点四边形定为菱形．）
（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，
特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方
法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是
正方形．
一．菱形的性质（共 7小题）
1．（2021 春•浦东新区校级期末）如果菱形边长是 10，短的对角线长为 12，那么这个菱形的面
积是 　 96 　 ．
【分析】由菱形的性质可得 AC⊥BD，CO＝AO＝6，BO＝DO，在 Rt△BOC 中，由勾股定理
可求 BO，由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：如图，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，CO＝AO＝6，BO＝DO，
∴BO＝ ＝ ＝8，
∴BD＝16，
∴菱形 ABCD＝ ＝ ＝96，
故答案为 96．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的
关键．
2．（2021 春•奉贤区期末）我们定义：联结平行四边形一组对边中点的线段叫做“对边中位
线”，联结平行四边形一组邻边中点的线段叫做“邻边中位线”．如图，在菱形 ABCD 中，
∠A＝60°，对角线 BD＝8，那么“对边中位线”EF 与“邻边中位线”EG、FG 所围成的△EF
G的面积是 　 8 　．
【分析】由题意可证△ABD 是等边三角形，可求菱形 ABCD 的面积＝32 ，可证四边形 AE
FB 是平行四边形，可得▱AEFB 的面积＝16 ，EF∥AB，即可求解．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD 是等边三角形，
∴S△ABD＝×BD2＝16 ，
∴菱形 ABCD 的面积＝32 ，
∵EF 是对边中位线，
∴AE＝AD，BF＝BC，
∴AE＝BF，
且AE∥BF，
∴四边形 AEFB 是平行四边形，
∴▱AEFB 的面积＝16 ，EF∥AB，
∵EG 是邻边中位线，
∴S△EFG＝S▱AEFB＝8，
故答案为 8．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，理
解“对边中位线”与“邻边中位线”定义是解题的关键．
3．（2021 春•金山区期末）已知：如图四边形 ABCD 是菱形，E是对角线 BD 上的一点，联结 AE、
CE．求证：∠DAE＝∠DCE．
【分析】根据菱形的性质可以得到 DA＝DC，∠ADE＝∠CDE，然后即可证明△ADE≌△CDE，
从而证明结论成立．
【解答】证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴DA＝DC，∠ADE＝∠CDE，
在△ADE 和△CDE 中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE．
【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质，本题的关键在于要根据菱形的性
质得到∠ADE＝∠CDE 和AD＝CD．
4．（2021 春•青浦区期末）已知：如图，在菱形 ABCD 中，F为边 AB 的中点，FC 与对角线 BD
交于点 G，过 G作GE⊥BC 于点 E，∠ADB＝∠FCB．
（1）求证：AB＝2BE；
（2）求证：DG＝CF+GE．
【分析】（1）由菱形的性质可得 AB＝BC，AD∥BC，可得∠ADB＝∠DBC＝∠FCB，可证 G
B＝GC，由等腰三角形的性质可得 AB＝BC＝2BE；
（2）由“AAS”可证△AFH≌△BFC，可得 CF＝FH，由“SAS”可证△BGF≌△BGE，可得 FG
＝GE，可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠FCB，
∴∠FCB＝∠DBC，
∴GB＝GC，
又∵GE⊥BC，
∴BC＝2BE，
∴AB＝2BE；
（2）如图，延长 CF，DA 交于点 H，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠H＝∠FCB，
∴∠H＝∠ADB，
∴DG＝HG，
∵点F是AB 的中点，
∴AF＝BF，AB＝2BF，
∴BF＝BE，
在△AFH 和△BFC 中，
，
∴△AFH≌△BFC（AAS），
∴CF＝FH，
在△BGF 和△BGE 中，
，
∴△BGF≌△BGE（SAS），
∴FG＝GE，
∴DG＝HG＝HF+FG＝FC+GE．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当
辅助线构造全等三角形是解题的关键．
5．（2021 秋•普陀区校级月考）用一个 2倍放大镜照菱形 ABCD，下面说法中，错误的是（　
　）
A．放大后，边长是原来的 2倍
B．放大后，∠B的大小是原来的 2倍
C．放大后，周长是原来的 2倍
D．放大后，面积是原来的 4倍
【分析】用2倍的放大镜放大一个菱形 ABCD，得到一个与原菱形相似的菱形，再由相似多边
形的性质即可求解．
【解答】解：∵放大前后的两个菱形相似，
∴放大后菱形的内角度数不变，面积为原来的 4倍，周长和边长均为原来的 2倍，
故选项 A、C、D不符合题意，选项 B符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、相似多边形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质，熟记相
似多边形的性质是解题的关键．
6．（2021 春•浦东新区期末）如图，在菱形 ABCD 中，AB＝BD，AE＝DF，BF 与DE 相交于点
G，CG 与BD 相交于点 H．下列结论中：①∠DBC＝60°；②△AED≌△DFB；③∠BGE＝6
0°，正确的是（　　）
摘要：

第07讲菱形（核心考点讲与练）一．菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）二．菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或...

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