【沪教版数学8年级下】 知识总结-第08讲矩形（核心考点讲与练）（沪教版）（解析版)

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3.0 李江 2024-10-12 4 4 824.54KB 46 页 5积分
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第 08 讲矩形（核心考点讲与练）
一．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有 2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直
线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半．
二．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的
对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
三．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，
进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质
矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的
问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC 都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，
∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
一．矩形的性质（共 9小题）
1．（2021 春•松江区期末）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
【分析】菱形的性质有四边相等，对角相等，对角线平分、垂直且平分每组对角；矩形的性
质有对边相等，四角相等，对角线平分且相等．
【解答】解：选项 A，菱形和矩形都是平行四边形，对边都相等，不符合题意；
选项 B，菱形和矩形都是特殊的平行四边形，对角都相等，不符合题意；
选项 C，菱形的对角线互相平分且互相垂直，而矩形的对角线相等且互相平分但不垂直，符
合题意；
选项 D，矩形的对角线相等，而菱形的对角线不相等，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查菱形与矩形的性质，需要同学们对各种平行四边形的性质熟练掌握并区分．
2．（2021 春•奉贤区期末）已知 AC、BD 是四边形 ABCD 的两条对角线．如果将“AC⊥BD”记
为①，“四边形 ABCD 是矩形”记为②，“四边形 ABCD 是菱形”记为③，那么下列判断
正确的是（　　）
A．由①推出②B．由①推出③C．由②推出①D．由③推出①
【分析】根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直即可即可进行判断．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD．
∴由③推出①．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的性质；熟练掌握矩形、菱形的性质是解题的关键．
3．（2021 春•普陀区期末）已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE⊥AC，DF⊥AC，点 E、F是垂足．
（1）联结 DE、FB，求证：四边形 DFBE 是平行四边形；
（2）如果 AF＝EF＝2，求矩形 ABCD 的面积．
【分析】（1）先根据矩形的性质得到 AB＝CD，AB∥CD，再证明 BE∥DF，接着证明△ABE
≌△CDF，从而得到 BE＝DF，然后根据平行四边形的判定方法得到结论；
（2）矩形 ABCD 的面积＝AC•DF，想办法求 DF，AC 即可．
【解答】证明：（1）如图：
∵四边形 ABCD 为矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠EAB＝∠FCD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
在△ABE 和△CDF 中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∴四边形 BEDF 是平行四边形；
（2）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△DAF 和△BCE 中，
，
∴△DAF≌△BCE（AAS），
∴AF＝CE，
连接 BD 交AC 于点 O，
∵AF＝FE＝2，
∴AC＝BD＝6，
又∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AO＝DO＝3，
在△ODF 中，OD＝3，OF＝1，∠OFD＝90°，
∴DF＝ ＝ ＝2，
∴矩形 ABCD 的面积＝AC×DF＝6×2 ＝12 ．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的
关键是正确寻找全等三角形解决问题．
4．（2021 春•嘉定区期末）如图，在矩形 ABCD 中，点 E是边 AD 上，将△ABE 沿直线 BE 翻折，
点A落在 AD 与BC 之间的点 F处，如果∠CBF＝20°，那么∠BEF＝　 55 　 度．
【分析】根据四边形 ABCD 是矩形，∠CBF＝20°，求出∠ABF＝70°，再根据翻折的性质求出
∠CBE＝55°，从而求出∠BEF 的值．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
又∵∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝90° 20°﹣＝70°，
∵△FBE 是△ABE 沿直线 BE 翻折得到的，
∴∠ABE＝∠FBE，∠AEB＝∠FEB，
∴∠FBE＝ ∠ABF＝×70°＝35°，
∴∠CBE＝∠CBF+∠FBC＝20°+35°＝55°，
∴∠FEB＝∠AEB＝∠CBE＝55°，
故答案为：55．
【点评】本题考查了矩形的性质、翻折的性质，关键是矩形性质的应用．
5．（2021 秋•青浦区期末）如图，在矩形 ABCD 中，∠BCD 的角平分线 CE 与边 AD 交于点 E，
∠AEC 的角平分线与边 CB 的延长线交于点 G，与边 AB 交于点 F，如果 AB＝ ，AF＝2B
F，那么 GB＝　 　．
【分析】证明△AFE∽△BFG，得 AE＝2BG，设 BG＝a，则 AE＝2a，根据平行线的性质和角
平分线的定义可得 CD＝DE＝AB＝3，CE＝CG＝CD＝×＝6，从而得结论．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴△AFE∽△BFG，
∴，
∵AF＝2BF，
∴AE＝2BG，
设BG＝a，则 AE＝2a，
∵CE 平分∠DCB，EF 平分∠AEC，
∴∠DCE＝∠ECB，∠AEF＝∠CEF，
∵AD∥CG，
∴∠AEF＝∠G，∠DEC＝∠ECG，
∴∠CEF＝∠G，∠DEC＝∠DCB，
∴CD＝DE＝AB＝3，CE＝CG＝CD＝×＝6，
∴a+2a+3 ＝6，
∴a＝2﹣，
∴GB＝2﹣．
故答案为：2﹣．
【点评】本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，
等腰三角形的性质和判定的运用，解答时运用角平分线的定义和平行线得等腰是本题的关键．
6．（2021 秋•普陀区期中）如图，矩形 DEFG 的边 DE 在△ABC 的边 BC 上，顶点 G、F分别在
边AB、AC 上，已知 BC＝6cm，DE＝3cm，EF＝2cm，那么边 BC 上的高的长是 　 4 　 cm．
摘要：

第08讲矩形（核心考点讲与练）一．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．二．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是...

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