格子Boltzmann方法的改进

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3.0 赵德峰 2024-11-11 17 4 4.29MB 63 页 15积分

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摘要

格子 Boltzmann 方法是一种具有介观特性、边界处理简单、具有并行运算等特

点的数值模拟方法，吸引着众多学者的关注和研究。但是，它同时又有着自身的

一些局限性。其中之一就是对称形状的离散速度模型不能被直接应用到不规则计

算区域中。一种特殊的处理该问题的思想是在迁移后未能与计算节点重合的粒子

上应用离散速度分布函数空间连续性假设增加一个补充估计过程。这种思想不同

于其他思想的是仍然保留了格子 Boltzmann 方法的并行特点，并且补充估计系数

都可在整个计算前确定好。但是现有的补充估计格式仍然存在着各自的局限性。

本文针对这些补充估计格式的局限性，经过分析和说明给出了一个最小二乘

补充估计格式。通过规则网格下对底部加热自然对流问题的模拟，考核了该格式

数值特性。又以同心圆环自然对流为例，说明了该格式直接应用于不规则网格下

的具体实施细节，并研究了自适应思想在这种方法上的使用情况。还将这种方法

应用于二维扇形顶盖驱动混合对流中，研究了该问题的一些传热特性。本文得到

的主要结果有：

（1）给出了可以应用于补充估计格子 Boltzmann 方法的二维曲面广义拉格朗日插

值格式以及二维曲面最小二乘补充估计格式。其中最小二乘补充估计格式具有较

好的数值实施特性。

（2）通过规则均匀网格下的底部加热自然对流的模拟，证实了最小二乘补充估

计格式在规则均匀网格下是可靠的。.

（3）以同心圆环自然对流的数值模拟为例，给出了该方法直接应用于不规则网

格后的特点以及实施细节，并研究了该方法在不规则网格中引入自适应思想的实

施特点。结果表明该方法在不规则节点分布一定范围内的情况下仍然是可行的。

（4）对二维扇形顶盖驱动流和二维扇形顶盖驱动混合对流进行了模拟，研究了

它们的换热特性及其影响因素。同时，结果也表明最小二乘补充估计格式在不同

物理问题中具有一定通用性。

本文的工作得到了国家自然科学基金资助项目（50876067），国家自然科学基

金面上项目（51076105）,上海教委科研创新重点项目（10ZZ91），上海市重点学

科建设资助项目（J50501）的资助。

关键词：格子 Boltzmann 方法补充估计自适应对流换热

ABSTRACT

The lattice Boltzmann method is a mesoscopic numerical method which has the

merits of the easy boundary treatment and the parallel computational ability, and it

attract many scholars’ attention. However, it also has some limits. One of them is that

the discrete velocity model with a regular shape can not be directly used into the

irregular computational zone. A special one of solutions to this problem is to add a

supplemented approximation process after the transformation of particles. It assumes

that the discrete velocity distribution function is continuous in space. The advantage of

this method is that the parallel computational ability is retained and supplemented

coefficients can be computed before the whole simulation. Many supplemented

approximation formulas have been proposed before, but all of them still have some

limits.

Thus the least square supplemented scheme was proposed from the analysis here.

The numerical character was examined by the simulation of the bottom heating natural

convection on the regular grids. The character and implementation details were studied

when this scheme was directly applied into the irregular grids by the natural convection

in the annulus between horizontal concentric cylinders. The adaptive strategy was also

studied in this case. Then the character of heat transformation of the driven flow and

hybrid convection in the polar cavity was studied by this method. The main results were

as follows:

(1) The general Lagrange interpolation scheme and the least square supplemented

scheme were respectively proposed. The latter one of them had the better numerical

practical character.

(2) The bottom heating natural convection on the regular grids was simulated. The

result proved that the least square supplemented scheme was feasible on the regular

uniform girds.

(3) The character and implementation details were devised when this scheme was

directly applied into the irregular grids through the natural convection in the annulus

between horizontal concentric cylinders. The adaptive strategy was also studied in this

case. The result indicated that the scheme still did well in some range of the irregular

distribution of nodes.

(4) The driven flow and hybrid convection in the polar cavity were simulated by

this method. The character of heat transformation was studied. The result indicated that

the least square supplemented scheme was general in different physical problems.

This work was supported by National Natural Science Foundation of China

(50876067), (51076105), Shanghai education scientific research innovation key project

(10ZZ91) and Shanghai Key discipline construction project (J50501).

Key word: Lattice Boltzmann Method, Supplemented Approximation,

Adaptive, Convection Heat Transfer

第一章绪论

摘要

ABSTRACT

第一章绪论 …………………………………………………………..…………..….1

§1.1 研究背景 ………………………………………………………..………..….1

§1.2 课题相关文献综述 ……………………………………………...…………..2

§1.3 本文主要研究内容 ………………………………………………….......…..7

第二章格子 Boltzmann 方法简介及本文采用的模型 ……………..……….……....8

§2.1 连续和格子 Boltzmann 方程 ………………………………………...……..8

§2.1.1 Boltzmann 方程 ………………………………………………...…….8

§2.1.2 格子 Boltzmann 方程 …………………………………………...……9

§2.2 本文选用的热格子 Boltzmann 模型 …………………………………...…..9

§2.3 边界条件格式 ……………………………………………………………...11

§2.4 计算单位 ………………………………………………………..………….12

§2.5 不可压流体的 Ma ………………………………………………..…………13

§2.6 计算过程 ………………………………………………………..………….14

§2.7 算例验证 ………………………………………………………..………….15

第三章最小二乘格子 Boltzmann 方法………………………………………..……16

§3.1 插值补充格子 Boltzmann 方法及其改进 ………………………..………...16

§3.1.1 插值补充格子 Boltzmann 方法介绍 ……………………..………....16

§3.1.2 广义插值补充格子 Boltzmann 方法 ……………………..………....17

§3.1.3 插值格式的数值收敛性 …………………………………..………...18

§3.2 基于 Taylor 展开系列格子 Boltzmann 方法及其改进 ……………..…….20

§3.2.1 基于 Taylor 展开的最小二乘格子 Boltzmann 方法介绍 ……..……20

§3.2.2 基于 Taylor 展开的插值格子 Boltzmann 方法介绍 ………..……….21

§3.2.3 最小二乘格子 Boltzmann 方法 ……………………………..…..…..23

§3.3 对补充估计格式的比较分析 ……………………………………..……….24

§3.4 算例验证 ………………………………………………………………… 25

§3.4.1 物理问题 … … ..……………………………………………………25

§3.4.2 边界条件对解的影响 ……..………………………………………26

§3.4.3 补充插值方法对解的影响 ……..…………………………………27

§3.4.4 插值节点选取对解的影响 ……..…………………………………27

§3.4.5 边界条件及补充估计过程对解的综合影响 ……..………………29

§3.5 本章小结 …………… ..………..…....……………………………………31

第四章应用于不规则网格的研究 …………………………………….……………32

§4.1 二维同心圆环自然对流 ……………………………………..…………….32

§4.1.1 物理问题 ……………………………………..……………………...32

§4.1.2 计算结果和分析 ……………………………………..……………...33

§4.2 从规则网格到不规则网格 ……………………………………..………….36

格子 Boltzmann 方法的改进及应用

§4.2.1 相邻节点的确定 ……………………………………..……………...36

§4.2.2 计算精度与计算稳定性的矛盾 …………………………………….37

§4.2.3 插值比的限制 …………………………………….…………………39

§4.3 自适应格子 Boltzmann 方法 ……………………………..………………..40

§4.3.1 提高精度的准则 ……………………………..……………………...40

§4.3.2 直接局部加密 ……………………………..………………………...42

§4.3.3 整体优化布置 ……………………………..………………………...43

§4.4 二维扇形顶盖驱动流 ……………………………..……………………….45

§4.4.1 物理问题 ……………………………..……………………………...45

§4.4.2 计算结果和分析 …………………………….....……………………46

§4.5 二维扇形混合对流 ……………………………..………………………….48

§4.5.1 计算结果 ……………………………..……………………………...48

§4.5.2 计算结果比较和分析 ……………………………..………………...53

§4.6 本章小结 …………… ..………..…....……………………………………55

第五章结论 ……………………………..………………………………………….56

附录关于流线不封闭的说明………………..………………………………………57

参考文献 ……………………………..……………………………………………….59

第一章绪论

§1.1 研究背景

随着计算机的广泛应用和发展，通过数值计算对物理现象进行模拟已经成为

了与实验，理论分析一样重要的研究物理问题的方法。数值计算可以解决许多得

不到解析解的数学问题，能够直观地向研究者提供研究对象的物理量信息，从而

发现其中的规律和性质等。数值计算还可以对许多实际情况中难以完成的实验进

行模拟，并较实验研究的成本低廉。在一些情况下，数值计算可以代替实验，对

理论分析的结果进行验证；而在另一些情况下，数值计算则可以代替理论分析解

第一章绪论

对实验的结果可以进行机理和规律的分析。因此，数值计算已经成为了一个研究

物理问题的重要工具。

对于流体流动问题而言，研究者所关注的是通过其控制方程------Navier-

Stokes 方程的结果所反映出的流体在不同工况下的运动性质、力学性质以及热学

性质，从而能够更好地对工程应用问题进行指导和优化。但是，由于Navier-

Stokes 方程是一个复杂的非线性偏微分方程，除了在一些特殊情况下能够得到其

解析解外，其解析解一般很难通过理论分析得到。因此，数值计算在此就成为了

一个研究流体流动和传热机理的主要方法。

在研究流体流动和传热问题的数值模拟方法上，建筑在微观统计理论上求解

牛顿第二定律方程的分子动力学及建筑在宏观连续性假设求解 Navier-Stokes 方程

上的有限差分，有限体积方法等都在长久的发展过程中不断被完善，并成功地在

科研和工程领域中取得广泛应用。相对的，在近20 年兴起的一些流体模拟的数值

计算方法，格子 Boltzmann 方法、无网格法等由于发展时间较短以及本身的一些特

点，暂时限制了它们在工程问题中的应用。因此，对于这些方法的研究已经成为

了流体数值模拟领域中的重点之一。其中，格子 Boltzmann 方法由于具有并行计算

编程简单，边界条件处理简单，具有介观性等一些特性，在解决一些传统的数值

模拟方法比较难解决的物理问题中具有较大优势。故该方法也越来越受到广泛学

者的重视和研究。

格子 Boltzmann 方法来源于最早的格子气自动机，为了克服原来方法的统计

噪声，对 Galilean 不变性的不满足等缺点而发展起来[1]。可以证明该方法也可以

独立建筑在对连续性 Boltzmann 方程的特殊离散情况下得到[2]。通过 Chapman-

Enskog 展开或渐进分析能够将格子 Boltzmann 方程二阶精度地还原到弱不可压

的Navier-Stokes 方程。起初，格子 Boltzmann 方法主要被用来模拟等温流动情况。

随着不断的发展，各种适用于传热问题的模型被逐个提出，其主要分为多速度模

型[3]，双分布函数模型[4]和混合模型[5]。并且，这些模型已经被成功应用到不同的

工程热物理的研究问题当中，有自然对流的模拟[6-8]，混合对流的模拟[9]，微尺度

通道的流动和传热模拟[10]，多组分多相流的流动和传热模拟[11]等。除了在模型上

的巨大发展外，在网格处理、边界条件等方面也随着该方法应用范围的扩展而不

断被完善。在网格方法上有标准格子 Boltzmann 方法，插值补充格子 Boltzmann 方

法[12]，有限差分格子 Boltzmann 方法[13]，有限体积格子 Boltzmann 方法[14]等。在边

界条件上，有启发式格式[15]，动力学格式[16]，外推格式[17]等，以及一些处理复杂

边界而发展起来的边界条件处理方法[18-20]。另外，格子 Boltzmann 方法其独特的对

偏微分方程的求解思想也在该领域中具有较广泛的应用[21]。

虽然格子 Boltzmann 方法取得了如此显著的发展，但是由于其自身的一些缺

陷，比如对于大Ra 问题的求解困难，具有一定对称性的离散速度模型与对不规

则求解区域需要的矛盾，以及自身的模型体系不完善等，该方法还并没有被应用

到工业领域中，只是被应用在一些简单的物理问题和实验室的研究当中。针对这

些缺陷，各种不同的改进措施和思想已经被大量地提出，并且适用范围更广泛的

模型也被不断提出，比如多松弛格子 Boltzmann 模型[22]，熵格子 Boltzmann 模型

[23]，轴对称问题的格子 Boltzmann 模型[24]，预碰撞处理[25]等。

本文则从该方法的网格局限性出发，对一类具有特殊思想的补充估计格子

Boltzmann 方法进行研究和改善。这类方法在粒子迁移后加入一个补充估计过程，

使得格子 Boltzmann 方法能被直接应用于不规则网格中并保留着原有的简单性特

格子 Boltzmann 方法的改进及应用

点。但是，现有的补充估计格式仍然存在着实施上的局限，不是需要坐标变换就

是直接应用于不规则网中的模拟效果较差。为此，有必要给出一些新的补充估计

格式，并对这种方法直接应用于不规则网格下的数值特点进行研究和改进。以期

望这类方法能够取得更广的应用范围。需要说明的是，本文讨论的不规则网格是

在直角坐标系意义下的非矩形网格。

§1.2 课题相关文献综述

本文主要针对建筑于一阶迎风格式的时间离散具有显式推进过程的单松弛格

子Boltzmann 方法的分布函数在空间上的补充估计过程及局部加细过程进行研究。

在这一方面的研究上，近20 年来前人做的主要工作陈述如下：

1996 年，Xiaoyi He 等[12]提出由于流体密度在宏观上是连续的，因此离散后的

分布函数在空间与时间上仍然连续，故迁移后的粒子的位置不一定要与计算网格

节点重合，可以利用插值方法通过所求节点相邻的节点上的分布函数来估计出该

节点上的值，计算精度则取决于插值公式的精度。然后，他们应用这种思想对二

维对称通道内的突扩流动在非均匀规则网格上进行了模拟。在模拟中，线性插值

与二次抛物插值被分别应用，发现在插值比例较大的情况下，具有一阶精度的线

性插值与实验基准解误差较大。另外，在回流区域利用细网格较粗网格能够得到

更精确的解。这种思想对于能够应用于不规则网格的格子 Boltzmann 方法有着重要

的推进作用，但是对于在离散速度后的分布函数仍然在空间与时间上连续的这条

假设是否符合物理事实有待进一步深入分析。另外，数学插值过程是否符合物理

过程也需要详细的分析，因为其对于整个数值计算的稳定性具有重要影响。

1997 年，Xiaoyi He 等[26]将适体网格的思想应用于插值补充格子 Boltzmann 方

法中。流体粒子的迁移过程在物理空间中进行，而为了能方便的应用二维插值公

式，需要将迁移后粒子的坐标变换到规则的计算区域内，然后再对计算节点上的

分布函数进行补充插值。他们用此方法对二维圆柱绕流问题在曲线坐标下进行了

模拟。在低Re 范围内，回流区的长度，圆柱表面的阻力系数与压力分布与前人的

研究结果符合良好。在 Re 较大的非稳定流出现前的处于稳定的演化过程中，各涡

的出现时间与前人的研究结果符合良好。而对Re 大于104的情况，则由于实验数

据的缺乏而未作研究。理论上来说，这种方法可以应用到所有网格中去。但是，坐

标变换过程在许多情况下并不是一个简单而容易实施的过程，有时甚至会带来边

界条件的变化以及一些区域的特殊处理。所以，该方法在实际应用中具有一定的

局限性。

1998 年，Olga Filippova 等[27]把局部网格加细思想应用于格子 Boltzmann 方法

中。他们利用宏观物理场在整个空间上的连续性以及 Chapman-Enskog 展开，给出

了由时间步长不同而得到的不同大小格子的碰撞松弛后的分布函数的耦合关系。

第一章绪论

该思想是先在整个计算区域内的粗格子计算节点上进行一个时间步的碰撞，然后

对细格子边界上的计算节点进行空间和时间的插值，再在局部加细的区域内和相

同的时间步内执行N次细格子上的迁移碰撞演化过程，N受计算稳定性的限制，

需要小于 50，接着按同样的过程进行推进计算。他们用此方法对二维通道内的圆

柱绕流问题在稳定与非稳定二种条件下进行了模拟。阻力系数，升力系数，圆柱

前后压差与回流区长度等在二种条件下均与前人研究结果符合良好。这种方法有

效地提高了格子 Boltzmann 方法在具有局部物理场梯度较大的情况下的计算精度，

比如边界层区域。但是，其粗格子的演化过程在全区域上进行的烦琐性以及一些

稳定性限制等，仍然需要进一步改进。

2000 年，Ching-long Lin 等[28]通过观察四套不同大小的网格对顶盖驱动流的模

拟情况，认为由时间步长不同而得到的不同大小格子上的分布函数是不需要耦合

而可以直接进行交换的。另一方面，他们在粗格子的演化计算过程当中，并不把

细格子的演化结果信息在整个细格子与粗格子相交的区域内传入，而采用单方向

的粗格子信息传入细格子区域的边界当中。通过这些手段可以极大地提高计算效

率。他们以此方法对二维方腔顶盖驱动流用多种大小的格子进行了模拟。模拟得到

的水平和垂直方向上的中线的速度分布与前人研究结果符合良好。虽然这种方法

能极大地提高效率，但并不精确。它忽略了分布函数中的非平衡态部分的一阶项

虽然这一项的值实际上很小。另外，这种单向信息交换的方法也可能对计算精度

具有一定的影响。

2001 年，郭照立等[29]将区域分裂思想应用于非均匀网格格子 Boltzmann 方法

中。这种思想不同于局部加细的是不同大小的格子的信息交换只在不同区域的界

面上通过二阶精度的插值完成，而这些信息又作为各自区域的边界条件用于各自

的演化计算，并且在不同的子区域可以使用不同的计算模型。他们用这种思想对

二维圆柱绕流问题进行了模拟。模拟得到的阻力系数，分离角与回流区长度与前

人研究结果符合良好。这种方法较局部加细思想可以保证计算精度的同时，有效

地提高了计算效率，实施过程也相对比较简单。

2001，2002 年，C. Shu 等[30-31]对迁移后的分布函数在空间上进行二阶精度的

Taylor 展开，通过解由计算节点和插值节点的距离所构成的系数的六元方程组来

补充完成迁移过程，从而获得计算节点上的分布函数。另外，为了避免病态矩阵

的问题，需要利用最小二乘法解超定方程组来获得计算节点上的分布函数。他们

利用此方法对二维腔顶盖驱动流，二维扇形顶盖驱动流等流动问题进行了模拟。

涡的大小，中心点位置等特性参数的结果与前人的研究结果符合良好。这种方法

极大地提高了前人提出的插值补充格子 Boltzmann 方法在计算节点布置上的灵活

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摘要格子Boltzmann方法是一种具有介观特性、边界处理简单、具有并行运算等特点的数值模拟方法，吸引着众多学者的关注和研究。但是，它同时又有着自身的一些局限性。其中之一就是对称形状的离散速度模型不能被直接应用到不规则计算区域中。一种特殊的处理该问题的思想是在迁移后未能与计算节点重合的粒子上应用离散速度分布函数空间连续性假设增加一个补充估计过程。这种思想不同于其他思想的是仍然保留了格子Boltzmann方法的并行特点，并且补充估计系数都可在整个计算前确定好。但是现有的补充估计格式仍然存在着各自的局限性。本文针对这些补充估计格式的局限性，经过分析和说明给出了一个最小二乘补充估计格式。通过规则网格...

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