随机非完整系统镇定问题研究

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摘要

反馈控制是随机非线性系统镇定中的基本问题之一，它主要包括状态反馈镇

定和输出反馈镇定两种。本文主要讨论了随机非完整系统的镇定问题。首先论述

了研究对象的背景和目前的研究现状，引入了一类带有随机扰动的非完整移动机

器人模型，并给出了随机非完整链式系统的一般形式，简要介绍了本文需要的基

础知识；然后探讨了三类不确定随机非完整链式系统的状态反馈镇定问题；对于

带有马尔科夫切换的随机非完整系统，设计了状态反馈和输出反馈镇定器；最后

研究了一类随机非完整移动机器人的状态反馈镇定问题。主要研究内容可分为以

下几个方面：

1、针对三类不确定随机非完整系统，基于 Backstepping 技术，设计了自适应

状态反馈控制器，给出了切换策略，它们能够保证闭环系统是依概率渐近稳定的；

2、对于带有马尔科夫切换和漂移项的随机非完整系统，当部分状态不可测时，

设计了输出反馈控制器，该控制器能够使闭环系统是大范围依概率渐近稳定的，

并给出了随机非线性系统解几乎必然有界的一个充分条件；

3、当全部状态可测时，讨论了带有马尔科夫切换的随机非完整系统的状态反

馈镇定问题。

4、给出了视觉伺服随机非完整移动机器人的模型，该模型不是严格满足三角

结构，针对该模型设计了状态反馈控制器和切换策略，它们能保证系统状态依概

率渐近镇定到平衡点。

5、对上述研究结果，结合 Matlab 给出了仿真实例，特别是非完整移动机器人，

仿真结果验证了控制器的有效性。

关键词:随机非完整系统状态反馈输出反馈反步技术镇定

ABSTRACT

Feedback control, which mainly contains state-feedback control and output-

feedback control, is one of the basic problems for the stabilization of stochastic

nonlinear systems. This paper is largely concerned with the stabilization problems of

stochastic noholonomic systems. Firstly, the backgrounds and developments of

nonholonomic control systems, stochastic nonlinear systems and stochastic

nonholonomic systems are introduced. A model of stochastic nonholonomic mobile

robots is given and the general form of stochastic nonholonomic chained systems is

introduced. Some basic concepts and results are briefly given. The problems of

state-feedback stabilization for three types of uncertain stochastic nonholonomic

systems are discussed. Then, for stochastic nonhlonomic systems with Markovian

switching, we design state-feedback and output-feedback controllers. In the end, the

problem of state-feedback stabilization for stochastic nonhlonomic mobile robots is

studied. The main results and innovative points can be summarized as follows:

1．For three types of uncertain stochastic nonholonomic systems, based on

backstepping method, we design the adaptive state-feedback controllers and switching

law, which guarantee that the closed systems are asymptotically stabilized in

probability.

2．When parts of the states are unmeasured, the output-feedback stabilization for

stochastic nonhlonomic systems with Markovian switching is discussed. A Sufficient

condition for almost surely bounded solution of stochastic nonholonomic systems with

Markovian switching is given. The designed controllers and switching law guarantee

that the closed systems are largly asymptotically stabilized in probability.

3．If all states can be measured, we studied the state-feedback stabilization for

stochastic nonhlonomic systems with Markovian switching.

4．We establish the model of stochastic nonholonomic mobile robots based on

visual servoing, which are not strict triangle structure. The state-feedback controllers

and switching law, which guarantee that the closed systems are asymptotically

stabilized in probability, are presented for stochastic nonhlonomic systems.

5．Based on the research results mentioned above, some simulation examples,

especially, stochastic nonholonomic mobile robots, are given. These simulation results

with MATLAB show the effectiveness of designed controllers.

Key words: Stochastic nonholonomic systems, State-feedback control,

Output-feedback control, Backstepping, Stabilization

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论 ...............................................................................................................1

1.1 非完整系统的控制方法与研究现状 .................................................................1

1.1.1 非完整系统概述 .......................................................................................1

1.1.2 非完整系统控制问题 ...............................................................................2

1.1.3 非完整链式系统的研究进展 ...................................................................3

1.1.4 非完整移动机器人研究进展 ...................................................................4

1.2 随机系统研究现状 .............................................................................................5

1.3 随机非完整系统控制方法和研究进展 .............................................................6

1.3.1 一个随机非完整移动机器人的例子 .......................................................6

1.3.2 随机非完整系统控制方法与研究进展 ...................................................7

1.4 本文研究的主要问题 .........................................................................................7

1.5 预备知识 .............................................................................................................9

1.5.1 随机非线性系统稳定性基本理论介绍 ...................................................9

1.5.2 马尔科夫切换基本理论介绍 .................................................................11

第二章随机非完整链式系统的自适应状态反馈镇定 ...............................................13

2.1 引言 ...................................................................................................................13

2.2 一类带有不确定参数的随机非完整系统自适应状态反馈镇定 ...................13

2.2.1 问题的提出 .............................................................................................13

2.2.2 主要结论 .................................................................................................14

2.2.3 仿真研究 .................................................................................................23

2.3 一类带有非齐次不确定的随机非完整系统自适应状态反馈镇定 ...............25

2.3.1 问题描述 .................................................................................................25

2.3.2 主要结论 .................................................................................................26

2.3.3 仿真研究 .................................................................................................42

2.4 一类带有漂移项和不确定参数的随机非完整系统自适应状态反馈镇定 ...47

2.4.1 问题描述 .................................................................................................47

2.4.2 主要结论 .................................................................................................48

2.4.3 仿真研究 .................................................................................................59

2.5 本章小结 ...........................................................................................................63

第三章带有马尔科夫切换的随机非完整系统的镇定 .............................................65

3.1 引言 ...................................................................................................................65

3.2 一类带有马尔科夫切换的随机非完整系统输出反馈镇定 ...........................65

3.2.1 问题的提出 .............................................................................................65

3.2.2 主要结论 .................................................................................................67

3.2.3 仿真研究 .................................................................................................78

3.3 一类带有马尔科夫切换的随机非完整系统状态反馈镇定 ...........................79

3.3.1 问题的提出 .............................................................................................79

3.3.2 主要结论 .................................................................................................79

3.3.3 仿真研究 .................................................................................................84

3.4 本章小结 ...........................................................................................................84

第四章随机非完整机器人状态反馈镇定 .................................................................85

4.1 引言 ...................................................................................................................85

4.2 一类基于视觉伺服的随机非完整移动机器人状态反馈镇定 ........................87

4.2.1 问题的提出 .............................................................................................87

4.2.2 主要结论 .................................................................................................88

4.2.3 仿真研究 .................................................................................................93

4.3 本章小结 ...........................................................................................................94

结论与展望 .....................................................................................................................95

参考文献 .........................................................................................................................97

在读期间公开发表的论文和承担科研项目及取得成果 ...........................................108

致谢 ...........................................................................................................................109

第一章绪论

1.1 非完整系统的控制方法与研究现状

1.1.1 非完整系统概述

非完整系统的概念来自于力学系统，比如轮式移动机器人，为了避免实际中

发生的滑动现象（包括侧向和纵向滑动），通常都假定轮式移动机器人只做纯滚动

运动，在系统描述中一般用一个约束条件来表示它。事实上，由于许多力学系统

需要考虑一些特定的因素，都会伴随一定的约束条件，这类系统通常称为受限系

统，比如冰刀。系统的约束条件一般可分为两类：完整约束和非完整约束。下面

给出受限系统的一般形式：

 

, ,x H x u t



,(1.1)

 

, , 0F x x t 



,(1.2)

其中

Rx 

为状态变量，

Ru 

为控制输入，

为时间，

 

, ,F x x t



为系统约束。

若存在函数

 

,M x t

且此函数不为常数, 使下式成立：

   

d , , ,

M x t F x x t

t

,(1.3)

则称系统(1.1)是完整系统, 约束(1.2)称为完整约束；反之称其为非完整系统, 约

束为非完整约束。

非完整系统是一类有很强应用背景的受限系统，常见的轮式移动机器人、汽

车、自行车、冰刀、摩托车等都属于此类系统，但是由于非完整约束不能通过积

分将其表示成几何约束形式，并且空间自由度也没有减少，造成非完整系统控制

问题的研究具有相当大的难度，近二十年来它已成为非线性系统控制领域中非常

活跃的一个方向。从技术上讲，困难可分为两个方面：1) Brockett[1]曾指出，即便

非完整系统是完全能控的，也不存在连续的时不变纯状态反馈镇定器；2) 非完整

系统非线性非常强，通常处理非线性系统的方法，如一阶近似或反馈线性化方法，

不能用于大部分非完整系统的控制问题，所以需要新的方法处理此类问题。

非完整系统的运动学模型可表示如下[2,3]

     

1 1 2 2 m m

x f x v f x v f x v   



, (1.4)

其中

nm 2

 

1 2

, , , n

x x x x

为系统状态,

1, 2, ,i m

,为控制输入,

为指

随机非完整系统镇定问题研究

定的向量场。

下面介绍两类常见的有两个控制输入的非完整系统：链式系统和幂系统。

阶非完整链式系统:

1 1

2 2

1 1

3, , .

i i

x v

x x v i n











 







(1.5)

阶非完整幂系统:

1 1

2 2

3, , .

( 2)!

x v

x v i n















 









(1.6)

一般来说，这两类系统可以称为同一类系统，因为在光滑的状态输入变换下它们

是等价的，另外，大部分实际机械系统，如轮式移动机器人和冰刀等，都可以转

化为上述形式，这样这类系统的控制问题和稳定性分析就可以转换为链式系统来

进行，同时也为链式系统等控制问题的研究提供了物理背景和仿真实验基础。

1.1.2 非完整系统控制问题

非完整系统的基本控制问题主要包括：镇定问题、运动规划和轨迹跟踪。

镇定问题指的是设计满足要求的控制器，对包含平衡点的某一区域的任意初

值，系统状态都能收敛到平衡点。根据区域范围的大小，一般分为局部镇定和全

局镇定。由于非完整系统的特殊性，设计非完整系统的控制器一直是很多学者关

注的热点和难点。

运动规划是指在有限的时间内，对任意初始状态，能够找到有界的控制输入

序列，使被控系统到达希望状态。运动规划实际上是开环控制，在很多领域都有

应用，但是与完整系统不同，因为一组独立的广义坐标不能表示非完整系统，故

只有满足非完整约束的运动才是非完整系统研究的对象。

轨迹跟踪主要目的是对任意给定的初始状态，设计满足要求的控制器，使系

统能够按照对于所研究的非完整系统是可行的参考轨迹运动。文献[4]给出了在被

跟踪的参考轨迹不包含停止运动的情况下不满足 Brockett 必要条件。基于这个结

论，一些非线性控制方法就可以用到非完整系统的轨迹跟踪问题中。

虽然部分非线性控制的方法能够应用到非完整系统中，比如反馈线性化等传

统的非线性设计方法，可以解决非完整系统中镇定到特定曲线、路径跟踪等控制

第一章绪论

问题，但是非完整本质特性和一些特殊的控制目标大大增加了此类特殊非线性系

统设计控制器的难度。如果要非完整系统镇定到某一平衡点或者研究轨迹跟踪等

问题，那么传统的非线性控制方法，如反馈线性化，则不能应用。

1.1.3 非完整链式系统的研究进展

因为非完整系统的特殊性，其控制问题的研究一直是一个难点，如果一个受

一阶非完整约束的系统能够转化成链式系统的话，特别是满足三角结构的链式系

统，那么研究会相对容易一些，文献[3]指出利用状态和输入变换多数上述系统能

够转化为链式系统,为非完整系统的研究指出了一条新方向。一般情况下，常用的

控制器设计方法有 3种：不连续反馈镇定控制[5-7]、连续时变反馈镇定控制[8-10]和混

合控制[11]。下面主要介绍非完整系统镇定和跟踪问题的国内外进展。

对于镇定问题，Astolfi A[12-13]讨论了非完整系统的镇定问题，设计了不连续反

馈控制器，给出了切换策略。文献[14-16]研究了不确定非完整系统的自适应反馈

镇定，Wang Q 等[17]设计了带有非线性参数的不确定非完整系统的自适应控制器。

Dong W 等[18-19]探讨了不确定非完整动力学系统的镇定问题。为了解决不连续反馈

控制器的缺陷，很多学者用其他非线性控制的方法对非完整系统进行了成功的尝

试。文献[20-21]利用滑模控制研究了非完整系统的镇定问题。基于滑模控制，Wang

C等[22-23]设计了非完整动力学系统的镇定控制器。但是滑模控制也有缺点，设计的

控制器经常发生抖动现象，于是研究的目标更多的转向连续时变反馈控制器的设

计，Jiang Z 等[24]基于反步技术设计了非完整系统的时变控制器，Tian Y 和Huo W

等[9,25]讨论了非完整系统的指数镇定，给出了光滑时变镇定器，Hu Y 等[26]设计了

时变滑模控制器，研究了不确定非完整系统的镇定问题。文献[27]研究了不确定非

完整链式系统的有限时间镇定。当系统的状态全部可量测时，一般可以用状态反

馈镇定来处理，但是实际中系统的部分状态可能是不可量测的，这样的问题可以

用输出反馈来解决，Jiang Z [28]利用反步技术和切换控制，设计了一类包含漂移项

的不确定非完整链式系统的输出反馈控制律，讨论了系统的全局指数调节问题。

文献[29]设计了输出反馈镇定器，探讨了不确定非完整系统的指数镇定问题。

Wu Y

等[30]给出了一类带有强非线性漂移项的不确定非完整系统的自适应输出反馈镇定

器，同时也讨论了其状态反馈镇定问题。

跟踪问题是非完整系统控制中的另一类基本问题，引起了很多学者的研究兴

趣[31-33]，Jiang Z 等[34-35]利用递归的设计方法，讨论了一类非完整链式系统的跟踪

问题，设计了反步跟踪控制器。基于终端滑模控制，文献[36]设计了非完整扩展链

随机非完整系统镇定问题研究

式系统的跟踪控制器，得到了系统能够全局有限时间跟踪的结果。Tian Y 等[37]讨

论非完整系统的 LMI 跟踪控制器，给出了误差系统能够 K-指数全局镇定的结论。

近几十年，关于非完整系统的研究越来越多，方法也日趋丰富，针对不同的控制

目标，涌现了许多非常好且在实际中很好用的控制方法：最优控制[38-40]，智能控

制[41-47]等。

1.1.4 非完整移动机器人研究进展

移动机器人的镇定问题是非线性控制研究的一个重要分支，是目前科学研究

的热点内容之一。对于经常作为研究对象 [3-4]的(2,0)型非完整轮式移动机器人如下

图，

图1-1 非完整轮式移动机器人

其中，

表示固定轮半径，

表示机器人机身短半径，

 

,X Y

大地坐标系，

 

1 2

,X X

为机器人坐标系，

穿过质心

和两个固定轮中心，

垂直于

,用

 

,P x y

表

示机器人质心位置，



表示水平轴和前进方向的夹角，若

表示前向线速度，

表

示转向角速度，则如图 1-1 所示的非完整受限系统的约束条件如下：

sin cos 0x y

 

 

 

.(1.7)

且系统方程为：

cos ,

sin ,

x v

y v















(1.8)

利用如下状态和输入变换，

1 2 3 1 2

, , tan , cos , sec ,x x x y x u v u w

  

    

(1.9)

则系统(1.8)可通过变换(1.9)化为下面的链式系统：

1 1 2 3 1 3 2

, , .x u x x u x u  

  

(1.10)

第一章绪论

对于非完整移动机器人的镇定问题，Xi Z 等[48]基于切换控制设计了不确定非

完整系统的镇定控制器，并将结果应用到非完整轮式移动机器人的停车问题中。

文献[49]讨论了带有位置常输入的非完整移动机器人的指数镇定，Wang C 等[50]研

究了在实际控制中应用广泛的输入受限情况下的实际镇定问题，设计了半全局实

际镇定控制器。为了克服切换控制带来的不便，文献[51-53] 设计了时变镇定器，

探讨了不确定非完整轮式移动机器人的镇定问题。在实验中会发现，实际机器人

的质心和几何中心一般是不重合的，针对这类现象，李传峰、马海涛等研究了质

心和几何中心不重合的不确定非完整移动机器人的鲁棒镇定问题[54-55]。Yang F 等[56]

研究了不确定非完整移动机器人动力学系统的镇定问题，设计了自适应镇定器。

文献[57-59]给出了非完整移动机器人跟踪问题的相关结论，与非完整链式系统类

似，智能控制，包括神经网络和机器学习等方法成功运用到非完整移动机器人的

控制问题中[60-62]。

1.2 随机系统研究现状

自1967 年，Kushner H[63]提出随机稳定和控制概念以来，随机系统的稳定性

和控制问题才开始引起众多学者的关注，出现了一批关于随机稳定性的结果[64-66]。

但是由于随机李雅普诺夫理论和其他控制手段的缺乏，随机非线性系统的控制问

题一直是一个难点。直到 Pan Z 等[66]利用 Backstepping 设计方法首次解决了一类严

反馈随机系统的稳定问题，随机非线性系统的稳定性和控制问题，才开始了较快

发展。

与确定型问题类似，随机非线性控制问题主要包括两部分：镇定问题和跟踪

问题。对于镇定问题，Tsinias J[67-68]给出了一类随机非线性系统状态反馈和输出反

馈的充分条件。基于 Backstepping 技术和李雅普诺夫理论，Deng H 等[69-71]得到了

一系列随机非线性系统状态镇定方面的基础性结论。由于系统本身的不确定和建

模过程中存在的未建模动态等因素，随机系统往往带有不确定，处理这类不确定

随机非线性系统的主要方法有：滑模变结构控制[72]和自适应控制[73] 。

Tian J, Xie X

和Li W 等[74-77]讨论了一系列高阶随机非线性系统的状态反馈问题。与此同时，很

多学者开始了随机非线性系统输出反馈镇定问题的讨论，并得到了很多非常好的

结果[78-89,98]。

Wu Z 和Yu X 等[90-91]建立了随机非线性系统的小增益定理，并利用它

研究了随机非线性系统的镇定问题。Chen W 等[92-93]研究了随机非线性系统的有限

时间镇定问题。对于跟踪问题，Ji H, Wu Z 和Xie X 等[94-96]探讨了随机非线性系统

的输出反馈跟踪问题。Wu Z 等[97]给出了随机 Barbalat 引理。

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摘要：

摘要反馈控制是随机非线性系统镇定中的基本问题之一，它主要包括状态反馈镇定和输出反馈镇定两种。本文主要讨论了随机非完整系统的镇定问题。首先论述了研究对象的背景和目前的研究现状，引入了一类带有随机扰动的非完整移动机器人模型，并给出了随机非完整链式系统的一般形式，简要介绍了本文需要的基础知识；然后探讨了三类不确定随机非完整链式系统的状态反馈镇定问题；对于带有马尔科夫切换的随机非完整系统，设计了状态反馈和输出反馈镇定器；最后研究了一类随机非完整移动机器人的状态反馈镇定问题。主要研究内容可分为以下几个方面：1、针对三类不确定随机非完整系统，基于Backstepping技术，设计了自适应状态反馈控制器，给...

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