复杂网络同步的设计

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3.0 牛悦 2024-11-19 4 4 1.22MB 59 页 15积分

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摘要

复杂网络就是具有复杂拓扑结构和动力学行为的大规模网络，它是由大量的

节点通过边的相互连接而构成的图，复杂网络的节点可以是任意具有特定动力和

信息内涵系统的基本单位，而边则表示这些基本单位之间的关系或联系。复杂动

态网络系统中的同步化行为是自然界和工程技术领域中一种常见现象。但随着对

现实复杂网络结构的深入了解，特别是复杂网络中小世界和无标度特性的发现，

人们开始越来越多的关注网络的拓扑结构对网络动态特性。探索具有复杂拓扑结

构动态网络的同步行为成为当今复杂网络研究领域的一个重要课题。

本文介绍了复杂动态网络方面的背景、意义与研究现状。基于李亚普诺夫稳

定性原理设计了时变耦合复杂网络的自适应控制算法，并在最后进行了 Matlab 数

值仿真，验证了控制律的有效性。并且研究了基于距离的小世界网络和无标度网

络的同步性能，发现距离的小世界网络的同步性能随着幂指数和节点数目的增加

而降低，随着加边概率的增加而将强；距离的无标度网络的同步性能随着指数值

和节点数目的增大而降低，随着每次连接边的数目和区域参数的增加而将强。

分析了距离的小世界网络和无标度网络的鲁棒性和脆弱性。最后与 NW 小世界网络

和 BA 无标度网络进行了比较，发现相对网络的同步性能而言距离的小世界网络与

经典 NW 小世界网络相似，但是距离的无标度网络与 BA 无标度网络相反。

关键词：时变耦合网络小世界网络无标度网络同步自适应控制

ABSTRACT

Complex network is a large-scale network with complex topology and kinetic

behavior, it is the map constituted by a large number of nodes interconnected by edges,

a complex network of nodes can be any power and information content with a specific

system, the basic unit of the edge said the relationship between these basic units or

contact. The synchronization behavior of complex dynamic network system is a

common phenomenon of natural and engineering technology. However, as the

reality-depth understanding of the structure of complex networks, in particular, the

discovery of complex network of small and medium scale-free characteristics of the

world, people began to more and more attention on the network topology of the network

dynamics, including the synchronization characteristics. To explore the synchronous

behavior of the complex dynamic network topology became an important issue of

today's complex networks.

This article describes the background, meaning and research of complex dynamic

networks, design complex network of coupled time-varying adaptive control algorithm

on the basic of the Lyapunov principle, and finally a simulation using Matlab to verify

the research. Do analysis of the Lattice-Embedded Small-World networks and

Lattice-Embedded Scale-Free networks synchronization, find the synchronization of

Lattice-Embedded Small-world networks decrease with the power and the number of

the network increase, increase with the rate of adding side; the synchronization of

Lattice-Embedded Scale-free networks decrease with the power and the number of the

network increase, decrease with the number of side adding every time and the area

parameter. Do analysis of the Lattice-Embedded Small-World networks and Scale-Free

networks’ Robustness and Vulnerability. And at last compare with NW Small-World

networks and BA Scale-Free networks, fine the Lattice-Embedded Small-world

Networks are similar with the NW Small-World Networks about the synchronization,

but the Lattice-Embedded Scale-free networks are opposite to BA Scale-Free networks.

Key Worlds: time-varying coupling networks, small world

network,scale-free network,synchronization,adaptive control

摘要

ABSTRACT

第一章绪论 ..............................................................1

§1.1 引言 ........................................................ 1

§1.2 复杂网络同步研究进展概述 .................................... 2

§1.3 本文的研究内容及其意义 ...................................... 3

§1.4 主要关键技术及实施方案 ...................................... 4

第二章复杂网络理论基础 .....................................................5

§2.1 复杂网络基本概念 ............................................ 5

§2.1.1 网络的图表示 ................................................... 5

§2.1.2 平均路径长度 ................................................... 5

§2.1.3 聚类系数 ....................................................... 6

§2.1.4 度与度分布（degree and degree distribution） ................... 7

§2.1.5 介数（betweenness centrality） ................................. 8

§2.1.6 同配性与异配性（assortativity and disassortativity） ........... 8

§2.2 基本网络模型 ................................................ 9

§2.2.1 规则网络 ....................................................... 9

§2.2.2ER 随机图 ...................................................... 10

§2.2.3 小世界网络 .................................................... 11

§2.2.4BA 无标度网络 .................................................. 13

§2.3 经典网络模型的同步分析 ..................................... 15

§2.3.1 类型 I 网络 .................................................... 15

§2.3.2 类型 II 网络 ................................................... 15

§2.3.3 小世界网络 .................................................... 16

§2.3.4BA 无标度网络 .................................................. 17

§2.4 本章小结 ................................................... 18

第三章复杂网络中的同步 ....................................................21

§3.1 引言 ...................................................... 21

§3.2 复杂网络的完全同步判据 ..................................... 22

§3.2.1 一般连续时间耦合网络完全同步判据 .............................. 22

§3.2.2 连续时间线性耗散耦合网络完全同步判据 .......................... 26

§3.2.3 连续时间时变耦合复杂网络同步判据 .............................. 27

§3.3 本章小结 ................................................... 29

第四章连续时变耦合网络的自适应同步 ...................................... 31

§4.1 引言 ....................................................... 31

§4.2 连续时变耦合复杂网络 ....................................... 31

§4.3 基于李亚普诺夫稳定性的同步判据 ............................. 32

§4.4 自适应控制律 ............................................... 33

§4.5 数值模拟 ................................................... 35

§4.6 本章小结 ................................................... 35

第五章基于距离的小世界网络的同步研究 ................................... 37

§5.1 引言 ....................................................... 37

§5.2 基于距离的小世界网络模型 ................................... 37

§5.3 距离的小世界网络模型的同步分析 ............................. 38

§5.4 距离的小世界网络同步的鲁棒性和脆弱性分析 ................... 40

§5.4.1 距离的小世界网络的鲁棒性分析 .................................. 41

§5.4.2 距离的小世界网络的脆弱性分析 .................................. 41

§5.5 本章小结 ................................................... 43

第六章基于距离的无标度网络的同步研究 ................................... 45

§6.1 引言 ....................................................... 45

§6.2 基于距离的无标度网络模型 ................................... 45

§6.3 距离的无标度网络的同步分析 ................................. 46

§6.4 距离的无标度网络同步的鲁棒性和脆弱性分析 ................... 49

§6.4.1 距离的无标度网络的鲁棒性分析 .................................. 49

§6.4.2 距离的无标度网络的脆弱性分析 .................................. 50

§6.5 本章小结 ................................................... 51

第七章总结与展望 .......................................................... 53

§7.1 全文总结 ................................................... 53

§7.2 展望 ....................................................... 53

参考文献 .....................................................................55

发表文章 .....................................................................58

致谢 ....................................................................... 59

第一章绪论

§1.1 引言

20 世纪 90 年代以来，以 internet 为代表的信息技术的迅猛发展使人类社会

大步迈入了网络时代。从 internet 到 www、从大型电力网络到全球交通网络、从

生物体中的大脑到各种新陈代谢网络、从科研合作网络到各种经济、政治、社会

关系网络等。可以说，人们已经生活在一个充满着各种各样复杂网络的世界中。

网络化社会既给人类生活带来发了极大的便利，提高了人类生成效率和生活质量，

但也给人类社会生活带来了一定的负面冲击，如传染病和计算机病毒的快速传播

以及大面积的停电事故等。因此，人类社会的日益网络化需要人类对各种人工和

自然的复杂网络行为有更好的认识。长期以来，通信网络、电力网络、生物网络

和社会网络等分别是通信科学、电力科学、生命科学和社会科学等不同学科的研

究对象，而复杂网络理论所要研究的则是各种看上去不相同的复杂网络之间的共

性和处理它们的普适方法。从 20 世纪末开始，复杂网络研究正渗透到从数理学科

到生命学科和工程学科等众多不同的领域，对复杂网络的定量与定性特征的科学

理解已成为网络时代科学研究中一个极其重要的挑战性课题，甚至被称为“网络

的新科学（New Science of Networks）”。

复杂非线性动态网络的特点之一就是，不仅网络中节点具有非线性和复杂性，

而且网络的连接结构和时空演化更是错综复杂，其中，复杂动态网络系统在时空

演化过程中出现的同步行为及其控制方法研究是近年来受到关注的一类课题。早

期大多数对于大型动态网络同步工作的研究是假设网络具有完全规则的连接结

构。尽管已有研究结果表明，当网络耦合强度足够大时，网络的节点之间会产生

同步化行为，但这并不能解释为什么即使在耦合强度相当弱时，一些世纪的复杂

网络仍会产生同步。随着复杂网络的小世界效应和无标度特性的发现，探索具有

复杂拓扑结构的动态网络同步化行为成为当前研究复杂网络同步化特性的一个重

点课题。

复杂网络中的同步化行为的研究是复杂动力学系统中具有重要现实意义和理

论价值的问题。同步化现象在耦合激光系统、生化系统和通讯网络等领域普遍存

在。在物理学、数学和理论生物学等领域也已被研究很多年。目前研究具有复杂

拓扑结构网络的同步化行为还处于起步阶段，如何有效的提高或减弱网络的同步

化能力，以及网络中的各种拓扑结构特性对复杂网络同步的影响，究竟何种结构

复杂网络同步的设计

特性更为合理的表征了网络的同步化行为，这些都是尚待解决的问题。本文主要

分析、研究并设计复杂网络的同步性能，具有重要的现实和理论价值。

§1.2 复杂网络同步研究进展概述

网络节点间的同步化行为是复杂动态网络一个非常重要的性质。物理学家惠

更斯早在 1965 年就惊讶的发现，悬挂在同一横梁的两个钟摆经过一段时间以后会

出现同步摆动的现象。在现实生活中，同步现象随处可见。比如，停在同一棵树

上的萤火虫同时闪光又不同时闪光；当精彩演出结束后，观众的掌声起初是凌乱

的，但经过几秒之后，大家会用共同的节奏鼓掌；近期发表在《nature》杂志上

的文章指出，纳米耦合振子之间也会发生同步行为，这有可能用于研制新的无线

通信元件。当然，同步现象有时也可能是有损害的，例如成千上万的人们同时过

桥引起桥体振动；internet 上路由器周期性发送由信息引发网络通信堵塞。

假定一个网络中所有的个体的状态都是周期变化的，例如从发光到不发光，

那么看似巧合的同步现象可以用数学语言来描述。其中，每个个体是一个动力学

系统，而诸多的动力学个体之间存在着某种特定的耦合关系。实际上，在物理学、

数学和理论生物学等领域，耦合动力学系统中的同步现象已经研究了很多年。控

制论的奠基者 wiener 就曾分析过同步现象，而生物学家 winfree 则是被公认为同

步问题研究的一位开拓者。Wenfree 假设每个节点只与它周围有限个节点之间存在

强力作用，这样振子的幅值变化可以忽略，从而将同步问题简化成研究相位变化

的问题。在此基础上，日本学者 kuramoto 做了重要的简化：一个具有有限个恒等

振子的耦合系统，无论系统内部各个振子之间的耦合强度多么微弱，它的动力学

特性都可以由一个简单的相位方程来表示。此后，kuramoto 模型成为了研究网络

系统相位同步的经典标准模型。但 20 世纪的工作大多集中在具有规则拓扑形状的

网络结构上，其中的两个典型例子是耦合映象格子（CML）和细胞神经网络（CNN）。

研究这些结构比较简单的网络，可以使得人们将研究重点放在网络节点的非线性

动力学所产生的复杂行为上，而暂时不去考虑网络结构复杂性对网络行为的影响。

进入 21 世纪以来，人们开始关注具有小世界和无标度等网络拓扑结构特性的

复杂网络相位同步问题。网络中形成的同步簇中节点个数占整个网络节点数的比

例反映了网络相位同步的程度。人们通过对小世界模型的相位同步研究发现，随

着网络中长程边的增多，开始出现同步簇，并且簇中的节点逐渐增多，最终所有

节点形成一个同步簇，相位同步出现饱和态，整个网络达到相位同步。无标度网

络模型发生相位同步时，首先是度大的节点与周围相邻节点发生相位锁定，如果

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摘要：

摘要复杂网络就是具有复杂拓扑结构和动力学行为的大规模网络，它是由大量的节点通过边的相互连接而构成的图，复杂网络的节点可以是任意具有特定动力和信息内涵系统的基本单位，而边则表示这些基本单位之间的关系或联系。复杂动态网络系统中的同步化行为是自然界和工程技术领域中一种常见现象。但随着对现实复杂网络结构的深入了解，特别是复杂网络中小世界和无标度特性的发现，人们开始越来越多的关注网络的拓扑结构对网络动态特性。探索具有复杂拓扑结构动态网络的同步行为成为当今复杂网络研究领域的一个重要课题。本文介绍了复杂动态网络方面的背景、意义与研究现状。基于李亚普诺夫稳定性原理设计了时变耦合复杂网络的自适应控制算法，并在最...

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