复杂网络上疾病传播行为研究

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摘要

近年来，复杂网络一直被视为复杂系统的一般抽象和描述方式，同时关于复

杂网络的研究也取得了很大的进展。越来越多的国内外学者纷纷从网络结构、网

络上的动力学、网络演化等角度对复杂网络做了大量的研究。以复杂网络形式研

究复杂系统，可以加深人们对系统结构的深入了解。病毒在计算机网络上的扩散、

疾病在人群中的传播、谣言在人际关系网中的蔓延，都可以认为是服从某种规律

的网络传播行为。本文针对复杂网路上的疾病传播行为作了一些初步的研究和探

索，主要涉及以下几方面：

首先，考虑了网络模型差异对于疾病传播的影响，研究了在不同网络模型下

的传播阈值问题，通过理论分析及数值仿真，我们发现小世界网络和无标度网络

中传播阈值的大小是由网络的拓扑结构决定的，而与网络中的个体特性无关。只

有当有效传播率大于传播阈值时，疾病才能在网络中传播扩散，否则，疾病将自

行消亡。

其次，提出了一种具有远程随机感染机制的 SIRS 传染病模型，考虑到染病节

点在以一定概率把疾病感染到其邻接节点的同时，随机选取网络中一个不存在边

连接的非邻接节点，并以一定的远程感染概率进行感染。理论分析和仿真结果表

明：对于小世界网络，有效传播率在一定范围内，重连概率对稳态感染密度和传

播速度有明显的影响，超过这个范围，重连概率对稳态感染密度的影响可以忽略；

而对于无标度网络，感染节点的度数对稳态感染密度和传播速度均有显著的影响。

再次，提出了一种复杂网络上基于再度感染的 SIS 模型。在具有树状分支结

构的网络中运用 SIS 传播模型，针对某个染病节点，在考虑其感染后继节点的同

时，也考查其再次感染祖先节点的情况。分别在小世界网络和无标度网络上的仿

真分析，结果表明：对于小世界网络，基于再度感染的 SIS 传播模型的稳态感染

密度比传统的 SIS 传播模型要大，而且感染周期越短，稳态感染密度越大；而对

于无标度网络，虽然基于再度感染的 SIS 传播模型的稳态感染密度也比传统的 SIS

传播模型要大，但是感染周期对于稳态感染密度的影响微乎其微，甚至可以忽略。

最后，我们对本文的工作进行了总结，并对本领域需要进一步探索和研究的

问题进行了展望。

关键词：复杂网络疾病传播小世界无标度传播阈值免疫策略

ABSTRACT

In recent years, complex networks have been seen as the general abstract way and

description method of complex system, meanwhile the researches about complex

networks has gained great progress. More and more demestic and foreign scholars have

did a lot of researches on complex systems in the view of network structure, dynamics

on the network, network evolving, et al. Exploring the complex system by the form of

complex network can deepen people’s understanding of the system structure. Many

behaviors, such as the diffusion of the virus in computer networks, the spreading of

diseases in the crowd, the prevalence of rumor in society and so on, can be viewed as

the transmission bahaviors on the networks that are subjected to a certain law. In this

paper, we have a pilot study on the behavior of disease spreading on complex networks.

The content is as follows:

At first, by considering the model variation effects on the epidemic spreading, we

study the spreading threshold of different models. Through theoretical analysis and

numerical simulation, we find that the value of spreading thresholds on small-world

networks and scale-free networks is determined by the network topology, but it has no

connection with the individual characteristics. Only if the effective spreading velocity is

larger than the value of spreading threshold can the epidemic spreads, otherwise, it will

die out.

Secondly, an epidemic model with the long-distance spreading is proposed. In this

model, the infected nodes can propagate the viruses to the non-adjacent nodes with a

certain probability while infecting the adjacent nodes. We focused our attention on the

SIRS model. Theoretical analysis and simulated results show that: for small-world

networks, the rewiring probability has evident effect on stationary infected density and

epidemic spreading velocity while the effective spreading rate changing in a range,

however, the effect on the stationary infected density can be neglected once beyond the

range; for scale-free networks, infected nodes’ degree plays an significant role in

altering stationary infected density and epidemic spreading velocity.

Thirdly, we propose a new SIS model based on reinfection on complex networks.

By using the SIS model in the network that has a tree like sturcture, not only do we

consider the descendants of a infected node can be infected but also do we take into

account that the ancestor could be reinfected by the infected node. Through theoretical

analysis and numerical simulation on small-world networks and scale-free networks, we

find that: for small-world networks, the stationary infected density on this new model is

larger than that on the traditional SIS model, and the shorter the infection time is, the

gerater the stationary infected density will be; however for the scale-free networks, the

stationary infected density on this new model is also larger than that on the traditional

SIS model, but the effect on the stationary infected density by the infection time can be

neglected.

Finally, we present a conclusion of this thesis and point out some problems that

need to be resolved further and prospect the development of complex networks.

Key Words: complex networks, epidemic spreading, small world, scale

free, spreading threshold, immunization strategy

中文摘要

ABSTRACT

第一章绪论 ......................................................... 1

§1.1 研究背景 ................................................... 1

§1.2 研究的目的和意义 ........................................... 1

§1.3 研究任务与论文内容安排 ..................................... 2

第二章复杂网络研究概述 .............................................. 4

§2.1 复杂网络统计特性概述 ....................................... 5

§2.1.1 度及其相关属性 ......................................... 6

§2.1.2 平均路径长度 ........................................... 6

§2.1.3 聚集系数及其相关性 ..................................... 6

§2.2 复杂网络的三个基本模型 ..................................... 7

§2.2.1 ER 随机网络模型 ........................................ 7

§2.2.2 小世界网络模型 ......................................... 8

§2.2.3 无标度网络模型 ......................................... 9

§2.3 本章小结 .................................................. 10

第三章复杂网络上的传播动力学研究 ................................... 11

§3.1 经典的疾病传播模型简介 ..................................... 11

§3.2 复杂网络上疾病传播的阈值分析 ............................... 13

§3.2.1 小世界网络上的传播阈值 ................................ 13

§3.2.2 无标度网络上的传播阈值 ................................ 14

§3.2.3 关联网络上的传播阈值 .................................. 16

§3.3 社区结构网络上的疾病传播研究 ............................... 16

§3.4 加权网络上的疾病传播研究 ................................... 18

§3.5 疾病传播的免疫策略 ......................................... 19

§3.6 本章小结 ................................................... 22

第四章考虑远程随机感染的疾病传播行为研究 ........................... 24

§4.1 传统的 SIRS 模型 ............................................ 24

§4.2 考虑远程随机感染的 SIRS 模型疾病传播 ........................ 25

§4.2.1 考虑远程随机感染的小世界网络 SIRS 传播模型 ............. 25

§4.2.2 考虑远程随机感染的无标度网络 SIRS 传播模型 ............. 26

§4.3 仿真分析 ................................................... 28

§4.4 本章小结 ................................................... 30

第五章基于再度感染的 SIS 传播模型研究 ............................... 32

§5.1 SIS 模型与 SIR 模型的比较 ................................... 32

§5.2 基于再度感染的 SIS 传播模型 ................................ 32

§5.2.1 模型描述 .............................................. 32

§5.2.2 模型分析 .............................................. 33

§5.3 仿真分析 ................................................... 35

§5.4 本章小结 ................................................... 37

第六章总结 ........................................................ 38

附录 .............................................................. 40

参考文献 ............................................................ 45

在读期间公开发表论文和承担科研项目及取得的成果 ...................... 50

致谢 ............................................................... 51

第一章绪论

§1.1 研究背景

自古以来，疾病就是危害人类健康的第一大杀手，人来历史上任何一次疾病

的大规模流行都给人类的生存和发展带来了巨大的挑战。长期以来，我们与各种

疾病进行着不屈不挠的抗争，不断总结经验教训，促使医学等学科有了显著的进

步。与此同时，各领域内的科学家和众多的科研工作者一直致力于积极地研究疾

病传播的特点，以及疾病的预防和控制措施。例如，生物学家们通过研究病毒细

胞的结构特点和传播方式，开发出新的疫苗；计算机病毒专家们通过研究计算机

病毒的程序代码及其传播特点，开发出病毒防火墙和杀毒软件，建立计算机病毒

的监控网；计算机安全领域的专家们则通过研究计算机内部可能存在的系统漏洞，

提出各种防范措施防患于未然。除了这些专业领域的科研学者对所在领域的病毒

进行研究外，来自其他学科比如数学、物理的学者们从更抽象的层次来研究病毒

传播，研究不同领域内病毒传播的共同点。这样，更抽象的层次的研究结果将适

用于不同领域的病毒传播。

然而，随着社会全球化和国际交往的频繁、生态环境因素的变化和病原体抗

药性的增强，之前已被控制或者已经灭绝的许多疾病，如性病、结核病等再次流

行并且有不断扩散的趋势，另外新近发现的疾病，如艾滋病、

SARS

（非典型肺炎）

和H1N1甲型流感等也对人类健康带来了严重的影响。历史和现实都告诫我们：人

类正面临着疾病长期而严峻的挑战，我们必须对疾病的发病机制、传染规律和防

治策略等进行更加深入和系统的研究[1-3]。自从人类诞生的那天起，疾病就一直与

我们为伴。当人类重视它时，就能够对它加以控制；当人类忽视它时，就会受到

它的惩罚。对于这一点，我们千万不能忘记！

在当今人类生活中，疾病已不再是一个单纯的公共卫生问题，而是一个与政

治、经济、日常生活密切相关，影响社会稳定乃至人类安全的重大社会问题。

§1.2 研究的目的和意义

长期以来，关于复杂网络的研究工作表明了现实世界中的大部分系统都可以

在复杂网络的层次上进行建模分析，如互联网、人际关系网、航空网等。而这些

现实网络通常就是某些传染病，如计算机病毒、流感病毒等传播的重要载体。从

这个意义上讲，研究复杂网络上的疾病传播行为，对于控制疾病和病毒，如计算

机病毒、禽流感、SARS和H1N1甲型流感等的传播均具有重要的现实意义。

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摘要：

摘要近年来，复杂网络一直被视为复杂系统的一般抽象和描述方式，同时关于复杂网络的研究也取得了很大的进展。越来越多的国内外学者纷纷从网络结构、网络上的动力学、网络演化等角度对复杂网络做了大量的研究。以复杂网络形式研究复杂系统，可以加深人们对系统结构的深入了解。病毒在计算机网络上的扩散、疾病在人群中的传播、谣言在人际关系网中的蔓延，都可以认为是服从某种规律的网络传播行为。本文针对复杂网路上的疾病传播行为作了一些初步的研究和探索，主要涉及以下几方面：首先，考虑了网络模型差异对于疾病传播的影响，研究了在不同网络模型下的传播阈值问题，通过理论分析及数值仿真，我们发现小世界网络和无标度网络中传播阈值的大小是...

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