可转换债券定价的蒙特卡罗模拟改进方法研究

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3.0 李江 2024-09-24 5 4 1.09MB 83 页 160积分

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浙江财经学院硕士毕业论文

摘要

由于其灵活性，可转换债券自发行以来一直受到投资者和融资者的欢迎，并

且已经成为资本市场上一种重要的融资工具和投资产品，近些年来更是在我国得

到了快速发展。因此，对它进行准确定价具有非常重要的意义。然而，由于可转

债内隐含期权所具有的强路径依赖特性，以及可转债承受的多种风险，对可转换

债券的准确定价成为了一项极具挑战性的工作。目前，可转换债券的定价方法大

致可分为三类，其中，蒙特卡罗模拟方法因为其强面向对象性和擅于处理多维问

题的特点而更具优越性，而其中最小方差蒙特卡罗（LSM）定价方法自被提出后，

更是因为其简易性和有效性而被广泛接受为一种可转换债券的准确定价方法。然

而，由于蒙特卡罗方法本质的低收敛性以及近年来可转债封闭解定价方法和 PDE

定价方法的不断改进，也很有必要对可转换债券现有的蒙特卡罗模拟方法进行改

良。

本文首先对可转换债券的 LSM 定价方法；美式期权 LSM 定价中的模拟方差和

执行策略改良方法；以及针对美式期权 LSM 定价的重要性抽样技术等进行了系统

的分析与评述；在此基础上，受到以上针对美式期权 LSM 定价方法的改良方案启

发，本文将 Rasmussen 式控制变量、重要性抽样方差减少技术、离散化模拟路径

的初始状态方法等四种技术方法，加入到可转换债券蒙特卡罗模拟的 LSM 定价模

型中，有效地改进了可转换债券的蒙特卡罗定价方法；并通过算例进行了实际验

证。研究结论表明，在可转债的 LSM 定价中加入 Rasmussen 式的控制变量，并使

用控制变量改良执行策略将可以有效地改善其模拟结果；而离散初始状态却由于

引入过高的方差所以有效性欠佳；同样改变模拟路径分布的重要性抽样方法效果

却比较好，大幅度减少了模拟方差。值得注意的是，以上几种方法不仅仅能够应

用于可转换债券的模拟定价，还可以被推广到所有复杂美式衍生品的蒙特卡罗模

拟定价当中。

关键词：可转换债券；蒙特卡罗模拟；LSM 方法；Rasmussen 控制变量；

重要性抽样

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Abstract

Because of their flexibility, convertible bonds are very popular among investors

and have been accepted as an important financing tool and investing product in capital

market since they were first issued. In recent years convertible bonds have also

developed quickly in domestic market. All these have made its pricing a very

meaningful job. Whatever, because of the multi-risks it is subject to and its implied

option’s strong path-dependence and structure, convertible bond’s pricing is also quite

challenging .Until now, the approaches for its pricing can be generally divided into three

branches. Among them, Monte-Carlo method has a stronger applicability and

superiority for its strong object-oriented feature and its capacity of handling

multi-dimensional problems, and Least Square Monte-Carlo (LSM) is highly

recommended for its convenience in implementation and now has been most widely

accepted for convertible bond pricing. However, because some superiorities of Monte

Carlo method for convertible bond pricing—challenged by recent improvements of

closed-form solution method and PDE method, have been weakened, further

improvement has also become necessary for it.

This paper first systematically analyzes and comments the principle of LSM

pricing approach for convertible bonds, the improvements focused on the simulation

variance and bias of LSM pricing method for American option, as well as the

specification of combining Importance Sampling into the pricing of American option.

Inspired by these improvement towards the American option pricing approach, we

suggest combine Rasmussen style control variant, dispersion technology and

Importance Sampling into the LSM pricing approach for convertible bond to improve

its simulation efficiency, and implements its empirical study. The empirical result shows

that applying Rasmussen-control variant to LSM approach and combine Rasmussen

style control variant into strategy decision making efficiently improve the simulation

result of convertible bond pricing, and dispersion technology is ill-effective because it

usually introduce simulation variance that is too high while Importance Sampling which

also reduce variance by changing simulation paths performs quite well. What is

noticeable is that all the improvements towards the pricing of convertible bond

mentioned above can also be applied to the Monte Carlo pricing approach of complex

American derivative.

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III

Key words ：Convertible bond ；Monte Carlo method ；LSM approach ；

Rasmussen style control variant；Importance sampling

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第1章导论.....................................................................................................................1

1.1 可转换债券定价问题研究的意义.....................................................................1

1.2 可转换债券定价研究的现状分析.....................................................................2

1.3 本文研究内容框架及创新点.............................................................................7

第2章可转换债券蒙特卡罗模拟定价方法的理论分析...........................................10

2.1 可转换债券的内涵特征...................................................................................10

2.2 可转换债券蒙特卡罗模拟定价的基本方法分析...........................................12

2.3 可转换债券蒙特卡罗模拟LSM定价方法受到的挑战 ..................................18

第3章可转债蒙特卡罗定价的控制变量改进方法...................................................23

3.1 控制变量的基本性质特征分析.......................................................................23

3.2 美式期权蒙特卡罗模拟定价的Rasmussen式控制变量技术.........................24

3.3 可转换债券定价的Rasmussen式控制变量技术应用.....................................28

第4章最佳执行策略控制变量方法 ..........................................................................40

4.1Rasmussen式控制变量执行决策改良方案......................................................40

4.2 初始状态点离散化方法...................................................................................45

4.3 有效性的实证分析...........................................................................................47

4.3.1 数字算例说明................................................................................................47

第5章可转换债券蒙特卡罗定价的重要性抽样技术 ..............................................54

5.1 重要性抽样技术的基本思想与过程...............................................................54

5.2 美式期权蒙特卡罗模拟定价的重要性抽样技术新算法...............................55

5.3 可转换债券蒙特卡罗模拟定价的重要性抽样技术应用...............................57

第6章结论...................................................................................................................62

参考文献.........................................................................................................................64

附录A：使用矩匹配方法 1的Rasmussen式控制变量改进程序（针对LYON可转债）

.........................................................................................................................................68

附录B：使用控制变量改进执行策略的退化可转债定价程序 ..................................73

附录C：使用重要性抽样的可转债定价改进程序 ......................................................76

致谢.............................................................................................................................80

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第 1 章导论

1.1 可转换债券定价问题研究的意义

自从1843年美国NEW YORKERIE公司发行了全世界第一份可转换公司债券

(以下简称可转债)以来,可转债这种兼具债权和股权性质的金融工具便由于其灵

活性而长期受到投资者和融资者的欢迎，可转债市场因而也得以迅速发展。2003

年度美国可转债的发行规模超过了股本融资,其流通市值则达到3050亿美元。这一

年可转债的全球发行量更是达到1650亿美元，2004年这一数目虽然有所减少，但

仍有980亿美元。2005年全球可转债的市场总额超过6000亿美元，目前全球可转债

市场的资本规模已经超过7000亿美元，美林、所罗门等国际大券商的业务重心都

转移到可转债市场,其承销额甚至远远超过股票IPO的承销额。我国自从1992年发

行第一支深宝安可转债发行以来，可转债市场也有了很大的发展。2001年4月28日

《上市公司发行可转换公司债券实施办法》及其三个配套文件正式出台，标志着

可转债成为我国一种常规的融资品种，由此我国的可转债市场进入了全面快速发

展的阶段。从2002年4月沪深两市的第一只可转换债券阳光转债发布发行公告到

2002年10月，两市共发行了5只可转换债券。共筹集资金41.5亿元。此后国内可转

债市场发展较快，可转债数量和规模迅速增加，股市的不断发展也给转债市场带

来了较大的投资机会。截至国内上市交易的可转债总共有30只，共筹集资金370多

亿元。目前，尚有近30家公司拟发行可转换债券，发行规模近400亿元。随着中国

资本市场的全面开放,可转债势必成为我国证券市场上以及中国企业海外融资的

主要金融工具之一。

可转换债券通常包含转股权，回售权和赎回权，以上期权一般都可以在债券

到期前执行，所以它属于美式衍生证券。另外，可转债还往往包含多种附加条例，

使得投资者和发行公司在行使自己的期权时存在着复杂的博弈过程。所以可转债

是一种兼有债券和期权特性，同时面临多种风险，价值形态复杂的复合美式衍生

品种，这使得对它的准确定价极具学术上的挑战性。同时，由于可转债在国内外

金融市场上的重要性，使得它的定价工作还同时极具现实意义。

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1.2 可转换债券定价研究的现状分析

国外最早的可转债定价模型出现于20世纪60年代，其认为可转债的价格等于

可转债作为普通债券的价值与它在未来的某一时点上的转换价值的折现值两者之

间的较大值。这种理论最初由Poensgen在1965年提出,随后Baumol、Malkiel &

Quandt (1966)，Weil 、Segall & Green(1968)等在其基础上做了进一步改进,但是

仍无法克服这类模型的固有缺陷:无法确定行使转股权的时点，难以确定贴现因

子，也没有考虑可转债中的赎回条款。由于以上原因,早期的可转债定价模型难以

准确地对可转债进行定价。

现代通用的可转债定价理论以1973年问世的Black-Scholes期权定价理论为基

础，其思想不仅为衍生产品的定价提供了数学处理的范式,更可以自然地扩展到一

般的衍生产品的定价中来，随后的可转债定价理论主要基于以上衍生品定价的思

想发展而来。国外最早利用衍生品定价思想来研究可转债定价的当属Brennan和

Schwartz（1977）以及Ingersoll（1977）,他们通过分析公司价值(用市值表示)遵循

的随机过程来研究可转换债券的定价；近年来计算机的飞速发展也为一些新的定

价方法提供了技术保障。在国内，由于可转债的发展尚在初级阶段,所以对它的研

究仍然严重不足，大部分研究仍然仅仅是借鉴国外成熟模型对国内可转债进行实

证分析。但是，由于我国目前尚且没有卖空机制，国外基于无套利假设推导得出

的定价模型往往不适于我国的实际情况；此外我国的可转债的强股性，到期前基

本都被转股等特性也难以在国外的成熟模型中得到反映。因此有许多国内研究者

尝试对国外模型作出修改，使之适应我国国情。至今为止，国内系统介绍可转债

定价理论的文献仍然不多，杨华（2003）对基于公司价值和基于股票价格的两种

可转债定价体系进行了系统的介绍，杨立洪，宾海妃和蓝雁书（2006）则从价值

分析、数值方法和利率期限结构三个方面详尽地给出可转换债券的定价模型，魏

刚和刘孝红（2002）则按照时间将可转债的定价研究分为70年点中期以前，70年

代中期至80年代中期和80年代中期至今的三个阶段。接下来，本章按照目前通用

的三类可转债定价方法介绍国内外的可转债定价模型：封闭解模型，偏微分方程

定价模型和蒙特卡罗模拟定价模型。

1.2.1封闭解定价方法

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第一种定价方法尝试得出可转债定价公式的封闭解（closed form solution）。最

早提出此类方法的是Ingersoll（1977）①，他以公司价值为基础标的资产,将其设定

为波动服从对数正态的伊藤( Ito) 过程的随机变量，并且假定股票不支付现金股

息，据此给出了转债价格的解析解。其研究的一个重要结果是在不考虑赎回条款

的情况下,把可转债的价格分解成了一个与可转债有相同的到期期限和本金的贴

现债券的价格，以及一个行权价格等于债券面值的认股权证的价格。之后Ingersoll

又将其扩展到了加入了赎回条款的可转债的定价中,将可转债的价格表示为普通

贴现债券与认股权证的和减去公司的赎回期权的价格；Lewis（1991）随后则发展

出了考虑了更复杂的资本结构的可转债定价公式；Koziol和Buhler（2002）则针对

违约可能性发展出了简单可转债的定价公式。尽管运算速度很快，但是由于无法

包容离散化的息票红利，以及提前执行，路径依赖等可转债的现实特征，封闭解

得出的结果往往与现实不符，所以它并没有被广泛的使用。

首次在国内运用了B-S期权定价公式讨论可转债的定价问题的是华夏证券研

究所的林义湘(1998)，他们沿用Ingersoll（1977）的方法，将他们模型中可转债的

价值拆分为传统的普通债券和期权价值，之后多数国内此类定价模型都沿用他们

的方法。范静（2004）将可转债设定为普通债券和一个欧式看涨权的和，并对机

场债券进行了实证研究，发现其市场价格存在一个6元以内的低估。古国耀（2004）

②则认为可转债价值的价值底限应该由两个因素确定:纯债券价值和转换价值。故

此他将可转债的价值表示为纯债券价值和转换价值二者之间的较大值和期权价值

之和，并对阳光债券和机场债券进行了实证研究，发现在转换价值不高的情况下，

修改模型的定价效果优于传统模型。朱丹，杨向群（2005）③则用鞅方法定价给出

了可转换债券的价格公式。在鞅方法下，可转换债券现在的价格可经过折现其未

来期望现金流量得到，且期望值折现可在风险中性下进行。然而，他们的模型难

以包容回售，赎回等条例，很难得到进一步的扩展。以上的封闭解定价模型都假

设不存在现金股利，并且可转债不支付息票股息,这与现实情况不相符。另外，因

为可转债内嵌期权都是美式的，如果其中一个被提前执行其他期权也都失效，所

①Ingersoll，J.E..A contingent claim valuation of convertible securities[J]。Journal of Financial Economics，1977，

4：289-322.

②古国耀，苏莹.可转换债券的定价理论分析[J].南方金融，2004,5：35-38.

③朱丹，杨向群.可转换债券的鞅定价[J].统计与决策，2005，8：19-21.

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以封闭解定价模型分别计算不同期权价值再将之加总的方法也不符合现实。

1.2.2偏微分方程定价方法

第二种方法通过使用数值方法（通常是树方法或者有限差分方法）解从无套

利假设推导得到的偏微分方程（PDE），来为可转换债券定价。最早提出此类方法

的Brennan和Schwartz（1977）①也以公司价值作为标的，假定可转换债券的价值是

公司市场价值和时间的函数, 并且公司市值的运动过程满足一个伊藤( Ito) 过

程。然后采用风险对冲和风险中性技术导出可转换债券满足的偏微分方程(简称

PDE),并用无套利原理根据可转换债券的条款确定PDE的边界条件和终值条件,最

后用数值算法得出可转换债券的近似值。他们当时的模型没有考虑利率变化对可

转换债券的影响，属于单因素模型，之后Brennan &Schwartz (1980)②又进一步扩

展了自己的模型，将利率的波动影响加入模型中。经过实证他们总结出随机利率

结构的加入对可转债定价影响甚微，在实际应用中可以忽略。他们的模型仍然属

于以公司价值为标的，由于公司价值的难以观测，McConnell和Schwartz（1986）③

开始尝试以股价作为标的，推导出在无套利假设下，任何基于股价的或有债权价

值都服从一个偏微分方程。他们接下来用有限差分方法解这个偏微分方程，为了

处理信用风险，他们使用了一个信用等级放大的利率。他们的理论是后来大多数

可转债定价模型的基础。Barshan，Tsiveriotis和Fernandes（1998）提出一个将可转

债的价值分割成股票部分和直接债券部分的方法，Ammann等（2003）则通过加入

包含多种触发条件的赎回权对其进行了扩展。Hung和Wang（2002）提出一个加入

了随机利率和违约可能性但是未考虑其结合特征的树方法模型，此后

Carayannopoulos和Kalimipalli（2003）提出一个合并了Duffie和Singleton（1999）

信用风险模型的三叉树模型，同样考虑了信用风险的还包括Davis和Lishka（1999），

Takahashi（2001）和Ayache（2003）等人所提出的模型。总而言之，在使用了偏

微分方程的数值方法中，有二/三叉树方法（Takahashi等，2001；Ammann等，2003；

Carayannopoulos和Kalimipalli，2003）；有限差分方法（Brennan和Schwartz，1980；

①Brennan，M.J，Schwartz，E.S.Convertible bonds：Valuation and optimal strategies for call and conversion[J].Journal

of Finance，1977，32 (5)：1699-1715.

②Brennan，M.J.，Schwartz，E.S..Analyzing convertible bonds[J].Journal of Financial and Quantitative Analysis，

1980，15 (4)：907-929.

③McConnell，J.J.，Schwartz，E.S..LYON taming[J].The Journal of Finance，1986，41(3)：561-576.

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Ayache等，2003；Andersen和Buffum，2004），以及有限元方法（Barone—Adesi

等，2003）。遗憾的是，尽管以上的一些模型提供了精密的解析方法，由于偏微分

解析方法无法包容现实中可转换债券的很多具体特征，这些模型无法适用于许多

情况。最后，所有基于偏微分方程的可转债定价模型都存在一些难以解决的问题：

随着状态随机变量数量的增加计算时间的幂数级增长；难以加入路径依赖特征；

标的变量随机过程设定的不灵活等。

偏微分方程方法目前广泛地被我国研究者使用，但是由于我国股市尚未完全

流通，而发行者目标又往往是强制投资者转股，所以国外的一些模型不适于直接

应用于我国的具体情况。针对以上情况，许多国内研究者对偏微分方法进行了改

进。杨立洪（2005）①考虑了可转债的回售和赎回期权，使用二叉树方法对沪深上

市的24个可转债进行了定价，发现它们的市场价格要比理论定价平均低10%左右。

刘兴旺（2005）

②进一步在树模型中加入风险调整因素以处理信用风险，对我国2002

——2004年流通的19个可转债进行了实证定价，同样发现国内可转债存在严重低

估。庄新田（2005）③使用以股价和利率为标的变量的双因素二叉树模型对国内可

转债进行定价，并考虑了其中的信用风险因素，他们对03年和04年发行的14个可

转债进行了实证分析，发现国内可转债被系统低估。范辛亭（2001）④将公司价值

设定为基础标的变量，并用Ho—Lee模型模拟利率及其期限结构的运动,他对企业

市价和利率过程做出一种特别假设，并通过复制方法和无套利假设得到一个偏微

分方程。结合可转换债券的价值边界条件,这一定价模型可以计算出可转换债券的

定价,他的定价方法可适应于可转换债券条款多变的特点。黄建柏，钟美瑞（2003）

⑤在之前范辛亭（2002）工作的基础上，在没有考虑信用风险的可转债定价模型与

风险债券定价模型基础上推导出具有信用风险的转债定价模型的PDE及其约束,边

界条件。郑振龙和林海（2004）针对中国可转债的具体情况，提出了5个推论，并

据此构造了中国可转换债定价的具体模型。通过具体的参数估计,他们对中国的可

①杨立洪，杨霞.二叉树模型在可转换债券定价中的应用[J].华南理工大学学报，2005，3：99-102.

②刘兴旺，王先婷.国内上市公司可转换债券定价实证分析[J].财经视线，2005，18：52.

③庄新田，周玲春.基于双因素的可转换债券定价模型[J].东北大学学报，2006，3.

④范辛亭，方兆本.一种随机利率条件下企业可转换债券定价的离散时间方法[J].系统工程理论与实践，2002，8：

20-40.

⑤黄健柏，钟美瑞.考虑了信用风险的可转换债券定价模型[J].系统工程，2003，21(4).

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