Lévy跳扩散过程驱动下商业银行的风险最小化

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3.0 李佳 2024-09-20 4 4 589.57KB 58 页 150积分

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浙江财经学院硕士学位论文

摘要

①

商业银行的主要职能是通过从外部取得的存款来获得资金，再用这些资金来

发放贷款。我们构建了 Lévy 跳扩散过程驱动下的准备金模型，并对存款提取问题

求出最优准备策略。我们考虑一同时描述准备金市场和存款合约群体不确定性的

模型，其不完全性来源于准备金的价格的跳扩散和存款合约的提取。我们给出该

模型下的最小鞅测度并在局部风险最小准则下考查以未定权形式出现的存款合约

的套期保值问题。

在Black-Scholes 模型驱动下的完全市场中，一个基本假定是，标的资产的价

格服从对数正态分布，具有连续的样本路径。然而，近年来，人们更多的研究兴

趣转向于 Lévy 跳扩散过程驱动下的金融市场模型。在这样的金融市场下，标的资

产的价格出现不连续的不频繁的跳跃情况。Lévy 跳扩散过程将布朗运动和 Poisson

跳结合起来考虑价格的变化。布朗运动描述了价格连续正常的变化情况，Poisson

跳则描述了价格变化过程中的异常情况。由于 Lévy 跳扩散模型具有独立平稳的增

量，轨迹存在跳和扩散情形，因此，Lévy 跳扩散过程建模更加灵活，可以更好的

拟合“真实世界”。所以，对 Lévy 跳扩散过程驱动下的金融市场的研究，是近十年

来金融数学和金融工程研究的中心问题之一。

本文的主要目的是，在不完全市场下用 Lévy 跳扩散过程工具对准备金市场建

模并对存款提取问题求出最优准备策略，也就是存款合约的局部风险最小套期保

值策略。Gideon et al.（2007）构建了 Lévy 过程驱动下的准备金市场模型，对存款

提取问题进行了研究，在风险中性测度下求出最优准备策略，此最优准备策略是

最小鞅测度下的风险最小套期保值策略，但不是原测度下的局部风险最小套期保

值策略。本文可以说是 Gideon et al.（2007）的后续研究，将试图确定原测度下的

局部风险最小套期保值策略。

本文主要的研究方法是局部风险最小套期保值方法。我们将局部风险最小套

期保值方法应用于商业银行风险管理问题上，不仅对于局部风险最小套期保值方

法应用方面有重要价值，而且对于商业银行本身的风险管理与防范也有研究意义。

关键词: Lévy 跳扩散过程；商业银行风险；局部风险最小；套期保值；未定权

①本论文为国家自然科学基金项目“期权组合非线性 VaR 度量模型及数值方法研究”的子课题研究成果，基

金编号：70771099（G0115）。

浙江财经学院硕士学位论文

ABSTRACT

The primary functions of a bank are to obtain funds through deposits from external

sources and to use the said funds to issue loans. In this spirit, we construct Lévy jump

diffusion process driven models of banking reserves in order to address the problem

of hedging deposit withdrawals from such institutions by means of reserves. We

consider a model describing the uncertainty of the reserves market and a portfolio of

deposit contract simultaneously. The model’s incompleteness is caused by Lévy jump

diffusion market and deposit withdrawals. We give the minimal martingale

measurement under this model and consider the hedging problem of the contingent

claims of deposit withdrawals under local risk minimization.

In a Black-Scholes kind of financial market, asset prices are driven by a Brownian

motion featuring a normal distribution of asset returns and continuous sample paths.

Recent research, however, favors more general Lévy jump diffusion financial market

models, in which the Brownian motion is replaced by a more general Lévy jump

diffusion process resulting in models with more flexible asset return distributions and

discontinuous sample paths. As a consequence, research in Lévy jump diffusion process

financial markets has gained a major role in modern financial mathematics over the last

decade.

The main aim of this thesis is the development of locally risk-minimizing hedging

strategies for deposit withdrawals whose unit is modeled in a Lévy jump diffusion

financial market. Gideon et al. (2007) constructs reserves market model under Lévy

process driving. It focuses on the problem of deposit withdrawals. It obtains an optimal

provision strategy in the risk-neutral measure, which is risk-minimizing hedging

strategy under the minimal martingale measurement, rather than locally risk-minimizing

strategy under the original measure. In summary, this thesis is part of the ongoing

research of the earlier work of Gideon et al. (2007).

The main aim of this thesis is the development of locally risk-minimizing hedging

strategies for deposit withdrawals whose unit is modeled in a Lévy jump diffusion

financial market. In summary this thesis is part of the ongoing research of the earlier

work of Gideon et al. (2007).

Local risk-minimization is the main method of this paper. We apply this method to

浙江财经学院硕士学位论文

III

banking risk management. It is highly valuable not only to the application of local

risk-minimization, but also meaningful to the research of risk management of bank

itself.

Keywords: Lévy jump-diffusion process; Banking risk; Local risk-minimizing;

Hedging strategies; Contingent claims

浙江财经学院硕士学位论文

第一章导论.....................................................................................................................1

第一节研究背景与研究意义..................................................................................1

第二节国内外研究现状..........................................................................................4

第三节预备知识......................................................................................................8

第四节研究思路和方法........................................................................................ 11

第五节本文结构安排和创新之处........................................................................12

第二章风险的基本概念...............................................................................................14

第一节风险最小套期保值....................................................................................14

第二节局部风险最小套期保值............................................................................15

第三章模型描述...........................................................................................................19

第一节准备金过程................................................................................................19

第二节存款合约组合............................................................................................22

第三节整合模型....................................................................................................24

第四章 Q-鞅(, )Ku⋅的正交问题.................................................................................. 25

第一节无套利贴现价格的 K-W 分解..................................................................25

第二节 (, )Ku⋅与*

S在测度 Q下强正交................................................................26

第三节 (, )Ku⋅在测度 P下是半鞅.........................................................................27

第五章存款合约的局部风险最小套期保值...............................................................29

第一节测度变换....................................................................................................29

第二节 F-S 分解和等价鞅测度的确定................................................................. 32

第三节两种测度下的交易策略的比较与风险过程............................................36

第四节存款合约的局部风险最小套期保值策略................................................38

第六章数值计算结果及比较.......................................................................................41

第一节简化情形下的未定权的局部风险最小套期保值策略............................41

第二节几何布朗运动驱动下交易策略的数值计算............................................42

第三节跳扩散过程驱动下交易策略的数值计算................................................44

第四节交易策略的比较分析................................................................................46

第七章总结与展望.......................................................................................................48

第一节总结............................................................................................................48

第二节未来展望....................................................................................................48

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浙江财经学院硕士学位论文I摘要①商业银行的主要职能是通过从外部取得的存款来获得资金，再用这些资金来发放贷款。我们构建了Lévy跳扩散过程驱动下的准备金模型，并对存款提取问题求出最优准备策略。我们考虑一同时描述准备金市场和存款合约群体不确定性的模型，其不完全性来源于准备金的价格的跳扩散和存款合约的提取。我们给出该模型下的最小鞅测度并在局部风险最小准则下考查以未定权形式出现的存款合约的套期保值问题。在Black-Scholes模型驱动下的完全市场中，一个基本假定是，标的资产的价格服从对数正态分布，具有连续的样本路径。然而，近年来，人们更多的研究兴趣转向于Lévy跳扩散过程驱动下的金融市场模型。在这...

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