【沪教版数学9年级上】习题试卷-26.2（2）二次函数的图像

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3.0 李江 2024-09-29 4 4 658.41KB 31 页 5积分

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第二十六章二次函数

26.2（2）二次函数的图像

一、基础巩固

一．填空题

1．若二次函数 y=mx2+2x+1的图象于 x轴有交点，则 m的取值范围为　 m ≤ 1

且

m ≠ 0 　．

【分析】利用二次函数的定义和判别式的意义得到 m≠0且△=224m﹣≥0，然后求出两个不等式的公共部

分即可．

【解答】解：根据题意得 m≠0且△=224m﹣≥0，

解得 m≤1且m≠0．

故答案为 m≤1且m≠0．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数 a决定

抛物线的开口方向和大小．当 a＞0时，抛物线向上开口；当 a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数 b

和二次项系数 a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即 ab＞0），对称轴在 y轴左；当a与b异

号时（即 ab＜0），对称轴在 y轴右；常数项 c决定抛物线与 y轴交点位置：抛物线与 y轴交于

（0，c）．抛物线与 x轴交点个数由△决定：△=b24ac﹣＞0时，抛物线与 x轴有 2个交点；△=b2﹣

4ac=0 时，抛物线与 x轴有 1个交点；△=b24ac﹣＜0时，抛物线与 x轴没有交点．

2．已知函数 y=ax2﹣（a 1﹣）x 2a﹣+1，当 0＜x＜3时，y随x的增大而增大，则 a的取值范围是　﹣

≤ a ≤ 1 　．[来源:学科网]

【分析】分 a＜0，a=0 及a＞0三种情况考虑：当 a＜0时，利用二次函数的性质可得出﹣ ≥3，解

之可得出 a的取值范围；当 a=0 时，原函数为一次函数 y=x+1，由一次函数的性质可得出 y随x的增大

而增大，进而可得出 a=0 符合题意；当 a＞0时，利用二次函数的性质可得出﹣ ≤0，解之可得

出a的取值范围．综上此题得解．

【解答】解：根据题意得：当 a＜0时，﹣ ≥3，

解得：﹣ ≤a＜0；

当a=0 时，原函数为一次函数 y=x+1，

∵1＞0，

∴y随x的增大而增大，

∴a=0 符合题意；

当a＞0时，﹣ ≤0，

解得：a≤1．

综上所述：a的取值范围是﹣ ≤a≤1．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，分 a＜0，a=0 及a＞0三种情况找出 a的取值范围是解题

的关键．

3．已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：① abc＜0；② b24ac﹣＞0；

③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2其中正确的结论有　 ②④ 　（填序号）

【分析】①由二次函数 y=ax2+bx+c的图象开口向下、对称轴在 y轴左侧及与 y轴交于正半轴，可得出 a＜

0，﹣ ＜0，c＞0，进而可得出 abc＞0，结论①错误；②由二次函数 y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，

可得出△=b24ac﹣＞0，结论②正确；③由当 x=1 时y＜0，当 x= 2﹣时y＜0，可得出 a+b+c＜0，4a﹣

2b+c＜0，用 2（a+b+c）+（4a 2b﹣+c）＜0可得出 2a+c＜0，再结合 a＜0即可得出 3a+c＜0，结论③错

误；④由当 x= 1﹣时y＞0及当 x=1 时y＜0，可得出 a b﹣+c＞0，a+b+c＜0，二者相乘即可得出（a+c）2

＜b2，结论④正确．综上即可得出结论．

【解答】解：①∵二次函数 y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴在 y轴左侧，与 y轴交于正半轴，

∴a＜0，﹣ ＜0，c＞0，

∴b＜0，

∴abc＞0，结论①错误；

②∵二次函数 y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，

∴△=b24ac﹣＞0，结论②正确；

③∵当 x=1 时，y＜0，当 x= 2﹣时，y＜0，

∴a+b+c＜0，4a 2b﹣+c＜0，

∴2（a+b+c）+（4a 2b﹣+c）＜0，

∴6a+3c＜0，即 2a+c＜0．

由∵a＜0，

∴3a+c＜0，结论③错误；

④∵当 x= 1﹣时，y＞0，当 x=1 时，y＜0，

∴a b﹣+c＞0，a+b+c＜0，

∴（a b﹣+c）（a+b+c）=（a+c）2b﹣2＜0，

∴（a+c）2＜b2，结论④正确．

综上所述，正确的结论有②④．

故答案为：②④．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用

二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误是解题的关键．

4．已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论；

①b24ac﹣＜0

②x＜0时，y随x的增大而增大

③a b﹣+c＜0

④abc＞0

⑤2a+b＞0

其中，正确结论是　 ②③⑤ 　

【分析】利用抛物线与 x轴有 2个交点和判别式的意义对①进行判断；利用二次函数的性质对②进行判断；

利用 x= 1﹣时，y＜0可对③进行判断；由抛物线开口向下得到 a＜0，由抛物线的对称轴在 y轴右侧得 b

＞0，由抛物线与 y轴的交点在 x轴上方得 c＞0，则可对④进行判断；利用对称轴方程得到﹣ ＞1，

则可对⑤进行判断．

【解答】解：∵抛物线与 x轴有 2个交点，

∴△=b24ac﹣＞0，所以①错误；

∵x＜0在对称轴的左侧，

∴y随x的增大而增大，所以②正确；

∵x= 1﹣时，y＜0，

∴a b﹣+c＜0，所以③正确；

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线的对称轴在 y轴右侧，

∴a、b异号，即 b＞0，

∵抛物线与 y轴的交点在 x轴上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以④错误；

∵﹣＞1，

而a＜0，

∴b＞﹣2a，即 2a+b＞0，所以⑤正确．

故答案为②③⑤．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小．当 a＞0

时，抛物线向上开口；当 a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数 b和二次项系数 a共同决定对称轴的

位置：当 a与b同号时，对称轴在 y轴左；当a与b异号时，对称轴在 y轴右．常数项 c决定抛物线与

y轴交点：抛物线与 y轴交于（0，c）．抛物线与 x轴交点个数由判别式确定：△=b24ac﹣＞0时，抛物

线与 x轴有 2个交点；△=b24ac=0﹣时，抛物线与 x轴有 1个交点；△=b24ac﹣＜0时，抛物线与 x轴没

有交点．

5．已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，现有下列结论，① abc＞0； ②a+b+c＜0；③ b=2a；

④a+b＞0；则其中正确的结论是　 ①②③ 　（只填写序号）．

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摘要：

第二十六章二次函数26.2（2）二次函数的图像一、基础巩固一．填空题1．若二次函数y=mx2+2x+1的图象于x轴有交点，则m的取值范围为　m≤1且m≠0　．【分析】利用二次函数的定义和判别式的意义得到m≠0且△=224m﹣≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m≠0且△=224m﹣≥0，解得m≤1且m≠0．故答案为m≤1且m≠0．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同...

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