【沪教版数学9年级上】 习题试卷-07解直角三角形重难点专练（解析版）（沪教版）

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3.0 李江 2024-09-29 4 4 2.15MB 84 页 5积分
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专题 07 解直角三角形重难点专练（解析版）
一、解答题
1．（2021·上海嘉定区·九年级二模）已知点 P为线段 AB 上的一点，将线段 AP 绕点 A
逆时针旋转 60°，得到线段 AC；再将线段绕点 B逆时针旋转 120°，得到线段 BD；点
M是AD 的中点，联结 BM、CM．
（1）如图 1，如果点 P在线段 CM 上，求证： ；
（2）如图 1，如果点 P在线段 CM 上，求证： ；
（3）如果点 P不在线段 CM 上（如图 12），当点 P在线段 AB 上运动时， 的
正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出
的正切值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）由旋转可得，△APC 是等边三角形，∠PBD=120°，则∠BPM+∠PBD=180°，所
以PM∥BD．
（2）利用三角形的中位线定理解决问题即可．
（3）延长 BM 至点 G，使得 MG=MB，连接 AG，BC，GC，PC，可证△CBG 是等边
三角形且点 M是BG 的中点，可得结论．
【详解】
解：（1）如图 1中，
由题意可得，∠CAP=60°，且 AP=AC，
∴△APC 是等边三角形，
∴∠APC=60°，
∴∠BPM=60°，
又∵∠PBD=120°，
∴∠BPM+∠PBD=180°，
∴PM∥BD；
（2）如图 1中，∵AM=MD，PM∥BD，
∴AP=PB，
∴PM= BD，
∵PA=PC=PB=BD，
∴PC=2PM；
（3）结论：tan∠BCM= ．理由如下：
如图 2，延长 BM 至点 G，使得 MG=MB，连接 AG，BC，GC，PC，GD，
∵AM=MD，GM=BM，
∴四边形 AGDB 是平行四边形，
∴AG=BD，AG∥BD，
∴∠BAG=180°-∠ABD=60°，
∴∠CAG=120°，
∵△APC 是等边三角形，
∴AC=CP，∠CPB=120°，
∵PB=DB=AG，
∴△CAG≌△CPB（SAS），
∴CG=CB，∠ACG=∠PCB，
∴∠GCB=60°，
∴△CBG 是等边三角形，
∵GM=BM，
∴∠BCM= ∠BCG=30°，
tan∴ ∠BCM= ．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性
质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2．（2021·上海奉贤区·九年级三模）已知在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝
，点 D是边 BC 上一点，过点 D作DE⊥AB，垂足为点 E，点 F是边 AC 上一点，联结
DF、EF，以 DF、EF 为邻边作平行四边形 EFDG．
（1）如图 1，如果 CD＝2，点 G恰好在边 BC 上，求∠CDF 的余切值；
（2）如图 2，如果 AF＝AE，点 G在△ABC 内，求线段 CD 的取值范围；
（3）在第（2）小题的条件下，如果平行四边形 EFDG 是矩形，求线段 CD 的长．
【答案】（1） ；（2）0≤CD ；（3）
【分析】
（1）由锐角三角函数的定义求出 BC＝8，由勾股定理求出 AC＝6，由平行线分线段成
比例定理得出 ，求出 CF，则可得出答案；
（2）当点 G恰好在 AB 上时，解直角三角形求出 CD 的长，则可得出答案；
（3）设 CD＝x，则 BE＝ （8﹣x），设矩形 EFDG 的对角线 FG 与DE 相交于点 O，
连接 OA，证明△AFO≌△AEO（SSS），由全等三角形的性质得出∠AFO＝∠AEO＝
90°，过点 E作EH⊥AC 于点 H，由梯形的中位线定理得出 EH＋CD＝2OF＝DE，解方
程[10﹣（8﹣x）]＋x＝ （8﹣x）可得出答案．
【详解】
解：（1）在 Rt△ABC 中，cosB＝ ＝ ，
又BC＝8，
∴AB＝10，
∴AC＝ ＝6，
∵DE⊥AB，
∴在Rt△BDE 中，
cosB＝ ，
又CD＝2，BD＝6，
∴BE＝ ，
∵四边形 EFDG 是平行四边形，
∴EF DG∥，
∵点G在BC 上，
∴EF BC∥，
∴，
∴，
∴CF＝ ，
在Rt△CFD 中，cos ；
（2）∵四边形 EFDG 是平行四边形，
∴DF EG∥，
当点 G恰好在 AB 上时，
∴DF AB∥，
∴，
设CD＝x，则 ，
∴CF＝ ，
在Rt△BDE 中，cosB＝ ，
又CD＝x，则 BD＝8﹣x，
∴BE＝ （8﹣x），
∵AE＝AF，
∴，
∴x＝ ，
当点 G在△ABC 内时，0≤CD ；
（3）设 CD＝x，则 BE＝ （8﹣x），
∴AE＝10﹣（8﹣x），
设矩形 EFDG 的对角线 FG 与DE 相交于点 O，连接 OA，
∵平行四边形 EFDG 是矩形，
∴OF＝OE＝DE，
∵AF＝AE，OA＝OA，
∴△AFO≌△AEO（SSS），
∴∠AFO＝∠AEO＝90°，
过点 E作EH⊥AC 于点 H，
又∠C＝90°，
∴EH HF CB∥ ∥ ，
∵OD＝OE，
∴CF＝HF，
∴EH＋CD＝2OF＝DE，
∵（8﹣x），EH＝[10﹣（8﹣x）]，
∴[10﹣（8﹣x）]＋x＝ （8﹣x），
∴x＝ ，
摘要：

专题07解直角三角形重难点专练（解析版）一、解答题1．（2021·上海嘉定区·九年级二模）已知点P为线段AB上的一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；点M是AD的中点，联结BM、CM．（1）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；（2）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；（3）如果点P不在线段CM上（如图12），当点P在线段AB上运动时，的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出的正切值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）由旋转可得，△APC是等边三角形，∠PBD=120°，则∠BP...

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