【沪教版数学9年级上】 习题试卷-07解直角三角形重难点专练（解析版）（沪教版）

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3.0 李江 2024-09-29 4 4 2.15MB 84 页 5积分
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专题 07 解直角三角形重难点专练（解析版）
一、解答题
1．（2021·上海嘉定区·九年级二模）已知点 P为线段 AB 上的一点，将线段 AP 绕点 A
逆时针旋转 60°，得到线段 AC；再将线段绕点 B逆时针旋转 120°，得到线段 BD；点
M是AD 的中点，联结 BM、CM．
（1）如图 1，如果点 P在线段 CM 上，求证： ；
（2）如图 1，如果点 P在线段 CM 上，求证： ；
（3）如果点 P不在线段 CM 上（如图 12），当点 P在线段 AB 上运动时， 的
正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出
的正切值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）由旋转可得，△APC 是等边三角形，∠PBD=120°，则∠BPM+∠PBD=180°，所
以PM∥BD．
（2）利用三角形的中位线定理解决问题即可．
（3）延长 BM 至点 G，使得 MG=MB，连接 AG，BC，GC，PC，可证△CBG 是等边
三角形且点 M是BG 的中点，可得结论．
【详解】
解：（1）如图 1中，
由题意可得，∠CAP=60°，且 AP=AC，
∴△APC 是等边三角形，
∴∠APC=60°，
∴∠BPM=60°，
又∵∠PBD=120°，
∴∠BPM+∠PBD=180°，
∴PM∥BD；
（2）如图 1中，∵AM=MD，PM∥BD，
∴AP=PB，
∴PM= BD，
∵PA=PC=PB=BD，
∴PC=2PM；
（3）结论：tan∠BCM= ．理由如下：
如图 2，延长 BM 至点 G，使得 MG=MB，连接 AG，BC，GC，PC，GD，
∵AM=MD，GM=BM，
∴四边形 AGDB 是平行四边形，
∴AG=BD，AG∥BD，
∴∠BAG=180°-∠ABD=60°，
∴∠CAG=120°，
∵△APC 是等边三角形，
∴AC=CP，∠CPB=120°，
∵PB=DB=AG，
∴△CAG≌△CPB（SAS），
∴CG=CB，∠ACG=∠PCB，
∴∠GCB=60°，
∴△CBG 是等边三角形，
∵GM=BM，
∴∠BCM= ∠BCG=30°，
tan∴ ∠BCM= ．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性
质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2．（2021·上海奉贤区·九年级三模）已知在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝
，点 D是边 BC 上一点，过点 D作DE⊥AB，垂足为点 E，点 F是边 AC 上一点，联结
DF、EF，以 DF、EF 为邻边作平行四边形 EFDG．
（1）如图 1，如果 CD＝2，点 G恰好在边 BC 上，求∠CDF 的余切值；
（2）如图 2，如果 AF＝AE，点 G在△ABC 内，求线段 CD 的取值范围；
（3）在第（2）小题的条件下，如果平行四边形 EFDG 是矩形，求线段 CD 的长．
【答案】（1） ；（2）0≤CD ；（3）
【分析】
（1）由锐角三角函数的定义求出 BC＝8，由勾股定理求出 AC＝6，由平行线分线段成
比例定理得出 ，求出 CF，则可得出答案；
（2）当点 G恰好在 AB 上时，解直角三角形求出 CD 的长，则可得出答案；
（3）设 CD＝x，则 BE＝ （8﹣x），设矩形 EFDG 的对角线 FG 与DE 相交于点 O，
连接 OA，证明△AFO≌△AEO（SSS），由全等三角形的性质得出∠AFO＝∠AEO＝
90°，过点 E作EH⊥AC 于点 H，由梯形的中位线定理得出 EH＋CD＝2OF＝DE，解方
程[10﹣（8﹣x）]＋x＝ （8﹣x）可得出答案．
【详解】
解：（1）在 Rt△ABC 中，cosB＝ ＝ ，
又BC＝8，
∴AB＝10，
∴AC＝ ＝6，
∵DE⊥AB，
∴在Rt△BDE 中，
cosB＝ ，
又CD＝2，BD＝6，
∴BE＝ ，
∵四边形 EFDG 是平行四边形，
∴EF DG∥，
∵点G在BC 上，
∴EF BC∥，
∴，
∴，
∴CF＝ ，
在Rt△CFD 中，cos ；
（2）∵四边形 EFDG 是平行四边形，
∴DF EG∥，
当点 G恰好在 AB 上时，
∴DF AB∥，
∴，
设CD＝x，则 ，
∴CF＝ ，
在Rt△BDE 中，cosB＝ ，
又CD＝x，则 BD＝8﹣x，
∴BE＝ （8﹣x），
∵AE＝AF，
∴，
∴x＝ ，
当点 G在△ABC 内时，0≤CD ；
（3）设 CD＝x，则 BE＝ （8﹣x），
∴AE＝10﹣（8﹣x），
设矩形 EFDG 的对角线 FG 与DE 相交于点 O，连接 OA，
∵平行四边形 EFDG 是矩形，
∴OF＝OE＝DE，
∵AF＝AE，OA＝OA，
∴△AFO≌△AEO（SSS），
∴∠AFO＝∠AEO＝90°，
过点 E作EH⊥AC 于点 H，
又∠C＝90°，
∴EH HF CB∥ ∥ ，
∵OD＝OE，
∴CF＝HF，
∴EH＋CD＝2OF＝DE，
∵（8﹣x），EH＝[10﹣（8﹣x）]，
∴[10﹣（8﹣x）]＋x＝ （8﹣x），
∴x＝ ，
∴CD＝ ．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定
和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题
的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，学会利用参
数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
3．（2021·上海杨浦区·九年级三模）已知在 中， ， ，
，点 是边 上一点，过点 作 ，垂足为点 ，点 是边
上一点，联结 、 ，以 、 为邻边作平行四边形 ．
（1）如图 1，如果 ，点 恰好在边 上，求 的余切值；
（2）如图 2，如果 ，点 在 内，求线段 的取值范围；
（3）在第（2）小题的条件下，如果平行四边形 是矩形，求线段 的长．
【答案】（1） ；（2）0≤CD＜ ；（3）
【分析】
（1）由锐角三角函数的定义求出 ，由勾股定理求出 ，由平行线分线段
成比例定理得出 ，求出 ，则可得出答案；
（2）当点 恰好在 上时，解直角三角形求出 的长，则可得出答案；
（3）设 ，则 ，设矩形 的对角线 与 相交于点 ，
连接 ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ，
过点 作 于点 ，由梯形的中位线定理得出 ，解方程
可得出答案．
【详解】
解：（1）在 中， ，
又 ，
，
，
，
在 中，
，
又 ， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
点 在 上，
，
，
，
，
在 中， ；
（2） 四边形 是平行四边形，
，
当点 恰好在 上时，
，
，
设 ，则 ，
，
在 中， ，
又 ，则 ，
，
，
，
，
当点 在 内时， ；
（3）设 ，则 ，
摘要：

专题07解直角三角形重难点专练（解析版）一、解答题1．（2021·上海嘉定区·九年级二模）已知点P为线段AB上的一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；点M是AD的中点，联结BM、CM．（1）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；（2）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；（3）如果点P不在线段CM上（如图12），当点P在线段AB上运动时，的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出的正切值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）由旋转可得，△APC是等边三角形，∠PBD=120°，则∠BP...

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