【沪教版数学9年级上】 习题试卷-24.4-5 相似三角形（上海各区一模和二模）（沪教版）

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3.0 李江 2024-09-29 6 4 1.2MB 66 页 5积分
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24.4-5 相似三角形（2021 上海各区一模和二模）
一、解答题
1．（2021·上海九年级一模）已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点 H．点 D在边 BC
上，联结 AD，交 CH 于点 E，且 CE＝CD．
（1）求证：△ACE∽△ABD；
（2）求证：△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD 的面积的比例中项．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）先证 ，再证 ，利用相似三角形的判定求解即可；
（2）根据同高的三角形的面积比等于底边的比，得出 和 ，再根据△ACE∽△ABD，
得出结果．
【详解】
证明（1）∵∠ACB=90°，CH⊥AB，
∴∠CHA=90°=∠ACB，
∴∠ACH+∠CAH=∠CBH+∠CAH，
∴，
∵，
∴，
∵∠CED+∠AEC=∠CDE+∠ADB=180°，
∴，
∴；
（2）∵△ACE 与△ACD 同高，
∴，
∵△ACD 与△ABD 同高，
∴ ，
∵CD=CE，
∴，
∵△ACE∽△ABD，
∴ ，
∴ ，
∴△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD 的面积的比例中项．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
2．（2021·上海九年级一模）已知：如图，在梯形 中， ，对角线 、 相交于点 E，过
点A作 ，交对角线 于点 F．
（1）求证： ；
（2）如果 ，求证：线段 是线段 、 的比例中项．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【j解析】
（1）延长 AF 交BC 于点 G，可证 AD=GC，由 ，可证 ，由 ，可
证 ，进而可证结论成立；
（2）证明 ，可证 ，由（1）得 ，即 ，进
而可证线段 是线段 、 的比例中项．
【详解】
证明：（1）如图，延长 AF 交BC 于点 G，
∵， ，
∴四边形 AGCD 是平行四边形，
∴AD=GC．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵ ，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相
似三角形的判定与性质是解答本题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共
边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
3．（2021·上海九年级一模）已知：如图，在四边形 中， ， 、 相交于点 ，
（1）求证： ；
（2）如果 ，求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【j解析】
（1）找到两对相同角即可证明相似
（2）证明出 后可推出．
【详解】
证明：（1）
∵两个三角形有一公共角∠BAC
∴．
（2）
为等腰三角形 为等腰三角形
．
【点睛】
本题考查四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，
4．（2021·上海九年级一模）如图，在 中，点 、 分别在边 、 上， ， ，
与 交于点 ，且 ．
求证：（1） ；
（2） ．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【j解析】
（1）根据题意证明△AFE∽△BFD，即可得到∠FDB=∠AEF，故可求解；
（2）根据题意证明△AEF∽△CBA，得到 ,再得到 AB=CD，故可求解．
【详解】
证明：（1）∵
摘要：

24.4-5相似三角形（2021上海各区一模和二模）一、解答题1．（2021·上海九年级一模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）先证，再证，利用相似三角形的判定求解即可；（2）根据同高的三角形的面积比等于底边的比，得出和，再根据△ACE∽△ABD，得出结果．【详解】证明（1）∵∠ACB=90°，CH⊥AB，∴∠CHA=90°=∠ACB，∴∠ACH+∠CAH...

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