【沪科版数学9年级上】 专项练习-专题12 相似三角形的证明与计算50道大题专训（解析版）

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3.0 周伟光 2024-09-30 4 4 6.99MB 118 页 5积分
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专题 12 相似三角形的证明与计算 50 题大题专训
【精选 2023 年最新考试题型专训】
【题型目录】
1．（2023 秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，点 D是 边 AB 一点，连接 ， 的平分线交
于点 E，交 于点 F， ．

(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 AF 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由 ，得 ，进一步证得 ，于是 ；
（2）由 ，得 ， ，可证 ，得 ，可得
，相应求得 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵ ，
∴， ．
又∵ ，
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键．
2．（2023 春·安徽合肥·九年级校考开学考试）如图，点 D、E分别在等边 的边 、 上，且
，连接 、 ，过点 作 交 于点 ．

(1)求证： 的度数；
(2)求证： ；
(3)求证： 的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）通过证明 ，出 ，则
；
（2）根据 ， ，得出 ，则 ，易得 ，
，推出 ，则 ，即可求证 ；
（3）根据 ，得出 ，通过证明 ，得出 ，根据 ，
推出 ，则 ，进而得出 ，则 ．
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴， ，
在 和 中，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵ ， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，则 ，
又∵ ，
∴；
（3）解：∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，则 ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即 ，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题
的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等；相似三角形对应边成比例．
3．（2023 秋·全国·九年级专题练习）已知在等腰三角形 中， ，取 中点 Q，过 Q作
，且 E，F关于 成轴对称 ，连接 ， ， ， ，分别交 ， 于点
G，H．

(1)求证：四边形 为菱形．
(2)记 的面积为 ，菱形 的面积为 ，且 ，当 时，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）由垂直平分线的性质可得 ， ，由轴对称的性质可得 ， ，
进而可得 ，即可证明四边形 为菱形；
（2）根据 可得 ，依次证明 ， ，根据相似三角形对应边成
比例即可求解．
【详解】（1）证明：∵Q为 中点， ，
为 的中垂线，
， ，
∵E，F关于 成轴对称，
， ，
，
∴四边形 为菱形；
（2）解：如图， 与 的交点记为 N，

∵， ， ，
∴，
，
， ，
，
∵且Q为 的中点，
∴，
设 ，则 ， ， ，
，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质、轴对称的性质、菱形的判定、相似三角形的判定与性质等，掌握菱
形的判定方法，牢记相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
4．（2023 春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图．在 中， ，D是 上一点（不与点
A、B）重合， ，交 于点 E．设 的面积为 S， 的面积为 ．
(1)当D是 中点时，求 的值；
(2)设 ， ，求 y与x的函数表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出 和 的面积相等，再根据平行线得出 ，推出
把 代入求出即可；
（2）求出 ① ②，联立①②即可求出函数关系式 ．
【详解】（1）解： 为 中点，
，
，
，
的边 上的高和 的边 上的高相等，
，
，
，
；
（2）解： ， ，
①，
，
， ，
，
，
的边 上的高和 的边 上的高相等，
②，
÷① ② 得： ，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积的计算方法，熟练掌握相似三角形的判
定和性质定理是解题的关键．
5．（2023 春·安徽·九年级专题练习）如图 1，已知四边形 是矩形，点 E在 的延长线上，
． 与 相交于点 G，与 相交于点 F， ．

(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长；
(3)如图 2，连接 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）证明 ，得出 ，证得 ，则结论得出；
（2）证明 ，得出 ，即 ，设 ，则有
，化简得 ，解方程即可得出答案；
（3）在线段 上取点 P，使得 ，证明 ，得出 ，
证得 为等腰直角三角形，可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，点 E在 的延长线上，
∴，
又∵ ，
∴，
∴，
∴，
即 ，
故 ，
（2）解：∵四边形 是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即 ，
设 ，则
∴，
化简得 ，
解得 或 （舍去），
∴．
（3）证明：如图，在线段 上取点 P，使得 ，

在 与 中， ，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，
等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
6．（2023 秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，在 中，
， ， ，垂足为 D，点 P为 边上一点，以 为边向上作 ，
， ．

(1)如图 1，求证： ；
(2)如图 2，连接 并延长交 于 F， ， 的面积为 12，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，得 ， ， ，
从而得出 ， ，即可得证 ，利用相似三角形的性质即可得出结论．
（2）根据相似三角形的性质与平行线的判定证明 ，从而得 ，得 ，所以
，再由（1）可得 ，再根据等腰三角形性质与勾股定理求出 ，
则 ， ，最后根据 ，即
，则 ，解方程即可求解．
摘要：

专题12相似三角形的证明与计算50题大题专训【精选2023年最新考试题型专训】【题型目录】1．（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，点D是边AB一点，连接，的平分线交于点E，交于点F，．  (1)求证：；(2)若，，，求AF的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由，得，进一步证得，于是；（2）由，得，，可证，得，可得，相应求得．【详解】（1）解：∵，∴．∵，∴．∵，∴．（2）解：∵，∴，．又∵，∴．∴．∴．∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键．2．（2023春·安徽合肥·九年级校考开学考试）如图，点D、E分别在等边的边、上，且...

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